2011 - Liceo scientifico di ordinamento, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2011, matematicamente.it

PROBLEMA1

Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

    

  

3

f x x 4 x e g x sin x

1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si

studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici e .

G G g

f

2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di con la retta

G f

  . Successivamente, si considerino i punti di a tangente

G

y 3 g

 

 6

,

6

orizzontale la cui ascissa è compresa nell' intervallo e se ne

indichino le coordinate. G G

3. Sia R la regione del piano delimitata da e sull'intervallo

g

f

 

0

, 2 . Si calcoli l'area di R.

4. La regione R rappresenta la superficie libera dell'acqua contenuta in

una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall'asse y la misura della

   

profondità dell'acqua nella vasca è data da . Quale integrale

h x 3 x

definito dà il volume dell'acqua? Supposte le misure in metri, quanti

litri di acqua contiene la vasca?

RISOLUZIONE

Punto 1    

3

Studiamo la funzione :

f x x 4 x

Dominio: R;

Intersezione ascisse:

    

             

3

f x x 4 x 0 x x 2 x 2 0 x 2 x 0 x 2

;

 

  

x 0 f 0 0

Intersezioni ordinate: ;

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto somma di funzioni dispari;

       

         

3 3

infatti ;

f x x 4 x x 4 x f x

1

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 

   

   

3 2

f x x 4 x f x x x 4

Positività: la cubica è fattorizzabile in ;

lo studio del segno dei singoli fattori e della funzione stessa sono

rappresentati nel quadro a lato:

- - +



x 0 +

-

+ +

 

2

x 4 0 - 

 2 2 x

0

- - +

+

          

3

f x x 4 x 0 2 x 0 x 2

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

   

Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;

lim f x

 

x  

f x  

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;

lim

  x

x

Crescenza e decrescenza: la

derivata prima è

   

2

f ' x 3 x 4

  2 3 2 3

     

f ' x 0 x x x

3 3 2 3 2 3



  2 3 2 3 3 3

    

f ' x 0 x +

minimo

massimo

3 3

  2 3

   

f ' x 0 x 3    

2 3 2 3

   

   

per cui è strettamente crescente in e

, ,

3 3

   

 

  2 3 16 3

2 3 2 3  

 

 

strettamente decrescente in per cui è

, M ,

 

3 3 3 9

 

 

2

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 

2 3 16 3

 



un massimo e è un minimo come raffigurato nel

m ,

 

3 9

 

quadro dei segni:   

f ' ' x 6 x

Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità

 

   

  

verso l’alto in F 0

,

0

e verso il basso in quindi è un

0

, ,

0

 

flesso a tangente obliqua di equazione .

y 4 x

     flesso

f ' ' x 0 x 0

    

f ' ' x 0 x 0

  x

  

f ' ' x 0 x 0 - 0 +

G

Il grafico è di seguito

f

presentato:    





g x sin x

La funzione

è una classica funzione

sinusoidale, dispari, di



periodo che interseca

T 2

l’asse delle ascisse nei punti

 

x k k Z

con e il

G

grafico è il seguente:

g 3

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Punto 2  

Le intersezioni di f con la retta si calcolano risolvendo

y 3

  

l’equazione utilizzando la regola di Ruffini l’equazione

3 ;

x 4 x 3 0  

 

  1 13

      

2

diventa da cui .

x 1 x x 3 0 x 1 x

1 2 , 3 2

 

g x

I punti di a tangente orizzontale sono i punti in cui si annulla la

   

 



g ' x cos x

derivata prima e cioè

   

    1 1

    

       

    k Z

con e

g ' x cos x 0 x k x k

   

2 2

 



nell’intervallo tali punti sono :

6

,

6

           

1 3 5 7 9 11

        

           

  

, 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 .

           

2 2 2 2 2 2

Possiamo procedere in un altro modo. Poiché i punti a tangente

orizzontale sono i massimi e i minimi della sinusoide, si avrà:

 1

   

       k Z

sin x 1 x 2 k x 2 k

Massimi: con

2 2



3 3

   

        k Z

sin x 1 x 2 k x 2 k

Minimi: con

2 2

 



Nell’intervallo 6

,

6 comprendente 6 periodi ci sono 6 massimi e sei

1

 

x 2 k

minimi: i massimi hanno ascissa con

2

1 13 11

                

6 2 k 6 k Z k k Z k 3

, 2

, 1

,

0

,

1

, 2

2 4 4

           

11 7 3 1 5 9

   

           

y 1

ed ordinata e sono ;

,

1 , ,

1 , ,

1 , ,

1 , ,

1 , ,

1

           

2 2 2 2 2 2

3

 

x 2 k

i minimi hanno ascissa con

2

3 15 9

                

6 2 k 6 k Z k k Z k 3

, 2

, 1

,

0

,

1

, 2

2 4 4

4

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 

ed ordinata e sono

y 1

           

9 5 1 3 7 11

        

            .

, 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1

           

2 2 2 2 2 2

Abbiamo così ritrovato gli stessi punti precedentemente calcolati.

Punto 3 R di cui calcolare l’area

La regione è di seguito raffigurata in grigio:

 

G 0

, 2

Dalla figura soprastante si evince chiaramente che il grafico in

g

G

sta sempre al di sopra del grafico ; tuttavia prima di procedere al

f  

   

 x 

f x g x 0

, 2

calcolo mostriamo analiticamente che .

 

Nell’intervallo 0

,

1 la disuguaglianza è verificata in quanto dal segno

   

 

f x 0 g x

di entrambe deduciamo che .

     

3 

  

Nell’intervallo g x sin x 1

1

, la funzione in quanto la

 

 

2  

 1

,

1

funzione seno ha come codominio mentre la funzione

    è concava verso l’alto,

3

f x x 4 x infatti la sua derivata seconda

5

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       

 f 1 3 1

è positiva e, inoltre, poiché e

f ' ' x 6 x  

  3

3 45

    

  per convessità è minore di in tutto .

f 1 1

,

1  

 

2 8 2  

    3



Per dimostrare che vale la disuguaglianza anche in

f x g x , 2

 

 

2

nell’unione dei due sotto-intervalli

suddividiamo suddetto intervallo

   

3 5 5

 e iniziamo a provare che in entrambi i sotto-intervalli

, , 2

   

2 3 3

   

 . In ognuno dei due sotto-intervalli entrambe le funzioni

g ' x f ' x

sono crescenti per cui valgono le seguenti catene di disuguaglianze:



   

     

5 11 3

 

     

   

g ' x cos x g ' f ' f ' x

   

3 2 4 2

 

       

13 5

  

     

 

g ' x cos x g ' 2 f ' f ' x

 

3 3

 

    3

  

da cui deduciamo .

g ' x f ' x x , 2

 

 

2

   

 

f 2 g 2 0

Ora poiché vale la seguente disuguaglianza:

   

2 2 2 2



g ' t f ' t

               

   

        

f x f 2 f ' t dt f ' t dt g ' t dt g 2 g ' t dt g x

x x x x

 

    3



f x g x

cioè anche in ; in conclusione abbiamo provato che

, 2

 

 

2

 

   

 x 

f x g x 0

, 2 .

l’area richiesta vale

In definitiva,   2



 

 

2 2 4

 

        cos x x

  

         

3 2

 

S R g x f x dx sin x x 4 x dx 2 x



 

4

0 0 0

   

1 1

      

   

4 8 4

 

    6

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Punto 4

Per il calcolo del volume si può ragionare in quersto modo. Un piano

libera dell’acqua interseca quest’ultima

perpendicolare ala superficie  

   



secondo un segmento di lunghezza per cui la sezione è un

g x f x

 

 

    

   

3

rettangolo di base ed altezza

g x f x sin x x 4 x

 

     



      

3

e quindi di area con

h x 3 x A x sin x x 4 x 3 x

 

 . Se si considera uno spessore il volumetto infinitesimo è

x 0

, 2 dx

 

 

   



       

3 pertanto il volume

dV A x dx sin x x 4 x 3 x dx

 

 

2  

 

    

3

V sin x x 4 x 3 x dx

richiesto è 0

Utilizzando l’integrazione per parti e la formula di integrazione delle

funzioni polinomiali, il volume è

2    

  



     

3

V sin x x 4 x 3 x dx

 

0

2 2  

   

 



     

  4 3 2

3 x sin x dx x 3 x 4 x 12 x dx

 

0 0

      2

 



 

5 4 3

x 3 cos x sin x x 3 x 4 x

     

2

 

6 x

  2

 

5 4 3 0

     

1 32 32 3 2 116

         3

     

12 24 m

  

     

5 3 15

 

3 3 3

Poiché e i litri contenuti nella vasca sono

1m 1000dm 1dm 1l

 

2 116

  

  .

1000 litri 8369

,

95 litri



 

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PROBLEMA2

Sia f la funzione definita sull'insieme R dei numeri reali da

x



   

  

3

f x ax b e 3

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che I

  

f 0 2

ammette un massimo nel punto d'ascissa 4 e che .

1. Si provi che a = l e b = -1 . x



   

  

3

2. Si studi su R la funzione e se ne tracci il

f x ax b e 3



grafico nel sistema di riferimento Oxy.

3. Si calcoli l'area della regione di piano del primo quadrante delimitata

 

da , dall'asse y e dalla retta y 3

4. Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato

nella tabella sottostante designando con l'anno di osservazione e con

x i

il corrispondente profitto.

y i Anno 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

x 0 1 2 3 4 5 6

i

y 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65

i

Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell'andamento del

profitto giudicando  x

accettabile una funzione g definita su se per ciascun , oggetto

R i

dell'osservazione, si ha:

  

  1

g x y 10 . Si verifichi, con l'aiuto di una calcolatrice, che è

i i

accettabile la funzione f

del punto 2 e si dica, giustificando la risposta, se è vero che, in tal caso,

l'evoluzione del

fenomeno non potrà portare a profitti inferiori ai 3 milioni di euro.

8

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RISOLUZIONE

Punto 1  



Per avere un massimo dobbiamo supporre altrimenti f x

a 0

avrebbe l’andamento di una classica funzione esponenziale che non ha

massimo. x



   

  

3

La derivata della funzione è

f x ax b e 3

 

   

x x x

 

  

  ax b ax 3

a b

    

3 3 3 . Imponendo la

f ' x ae e e

 

3 3   

  

f ' 4 0

presenza del massimo in e quindi si ricava ;

x 4 a b 0

    

f 0 2

imponendo invece si ricava ; in conclusione

b 1

     .

a 1

, b a 1

Punto 2

Invece di studiare la funzione data

x



   

  

3

f x x 1 e 3

procederemo allo studio della funzione ausiliaria

x



   

  3

g x x 1 e    

f x g x

e poi ricaveremo il grafico di da quello di traslando

quest’ultimo verso le ordinate positive di una quantità pari a 3.

x

