Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2011, matematicamente.it
PROBLEMA1
Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:
3
f x x 4 x e g x sin x
1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si
studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici e .
G G g
f
2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di con la retta
G f
. Successivamente, si considerino i punti di a tangente
G
y 3 g
6
,
6
orizzontale la cui ascissa è compresa nell' intervallo e se ne
indichino le coordinate. G G
3. Sia R la regione del piano delimitata da e sull'intervallo
g
f
0
, 2 . Si calcoli l'area di R.
4. La regione R rappresenta la superficie libera dell'acqua contenuta in
una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall'asse y la misura della
profondità dell'acqua nella vasca è data da . Quale integrale
h x 3 x
definito dà il volume dell'acqua? Supposte le misure in metri, quanti
litri di acqua contiene la vasca?
RISOLUZIONE
Punto 1
3
Studiamo la funzione :
f x x 4 x
Dominio: R;
Intersezione ascisse:
3
f x x 4 x 0 x x 2 x 2 0 x 2 x 0 x 2
;
x 0 f 0 0
Intersezioni ordinate: ;
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto somma di funzioni dispari;
3 3
infatti ;
f x x 4 x x 4 x f x
1
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3 2
f x x 4 x f x x x 4
Positività: la cubica è fattorizzabile in ;
lo studio del segno dei singoli fattori e della funzione stessa sono
rappresentati nel quadro a lato:
- - +
x 0 +
-
+ +
2
x 4 0 -
2 2 x
0
- - +
+
3
f x x 4 x 0 2 x 0 x 2
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;
Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;
lim f x
x
f x
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;
lim
x
x
Crescenza e decrescenza: la
derivata prima è
2
f ' x 3 x 4
2 3 2 3
f ' x 0 x x x
3 3 2 3 2 3
2 3 2 3 3 3
f ' x 0 x +
minimo
massimo
3 3
2 3
f ' x 0 x 3
2 3 2 3
per cui è strettamente crescente in e
, ,
3 3
2 3 16 3
2 3 2 3
strettamente decrescente in per cui è
, M ,
3 3 3 9
2
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2 3 16 3
un massimo e è un minimo come raffigurato nel
m ,
3 9
quadro dei segni:
f ' ' x 6 x
Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità
verso l’alto in F 0
,
0
e verso il basso in quindi è un
0
, ,
0
flesso a tangente obliqua di equazione .
y 4 x
flesso
f ' ' x 0 x 0
f ' ' x 0 x 0
x
f ' ' x 0 x 0 - 0 +
G
Il grafico è di seguito
f
presentato:
g x sin x
La funzione
è una classica funzione
sinusoidale, dispari, di
periodo che interseca
T 2
l’asse delle ascisse nei punti
x k k Z
con e il
G
grafico è il seguente:
g 3
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Punto 2
Le intersezioni di f con la retta si calcolano risolvendo
y 3
l’equazione utilizzando la regola di Ruffini l’equazione
3 ;
x 4 x 3 0
1 13
2
diventa da cui .
x 1 x x 3 0 x 1 x
1 2 , 3 2
g x
I punti di a tangente orizzontale sono i punti in cui si annulla la
g ' x cos x
derivata prima e cioè
1 1
k Z
con e
g ' x cos x 0 x k x k
2 2
nell’intervallo tali punti sono :
6
,
6
1 3 5 7 9 11
, 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 .
2 2 2 2 2 2
Possiamo procedere in un altro modo. Poiché i punti a tangente
orizzontale sono i massimi e i minimi della sinusoide, si avrà:
1
k Z
sin x 1 x 2 k x 2 k
Massimi: con
2 2
3 3
k Z
sin x 1 x 2 k x 2 k
Minimi: con
2 2
Nell’intervallo 6
,
6 comprendente 6 periodi ci sono 6 massimi e sei
1
x 2 k
minimi: i massimi hanno ascissa con
2
1 13 11
6 2 k 6 k Z k k Z k 3
, 2
, 1
,
0
,
1
, 2
2 4 4
11 7 3 1 5 9
y 1
ed ordinata e sono ;
,
1 , ,
1 , ,
1 , ,
1 , ,
1 , ,
1
2 2 2 2 2 2
3
x 2 k
i minimi hanno ascissa con
2
3 15 9
6 2 k 6 k Z k k Z k 3
, 2
, 1
,
0
,
1
, 2
2 4 4
4
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ed ordinata e sono
y 1
9 5 1 3 7 11
.
, 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , 1
2 2 2 2 2 2
Abbiamo così ritrovato gli stessi punti precedentemente calcolati.
Punto 3 R di cui calcolare l’area
La regione è di seguito raffigurata in grigio:
G 0
, 2
Dalla figura soprastante si evince chiaramente che il grafico in
g
G
sta sempre al di sopra del grafico ; tuttavia prima di procedere al
f
x
f x g x 0
, 2
calcolo mostriamo analiticamente che .
Nell’intervallo 0
,
1 la disuguaglianza è verificata in quanto dal segno
f x 0 g x
di entrambe deduciamo che .
3
Nell’intervallo g x sin x 1
1
, la funzione in quanto la
2
1
,
1
funzione seno ha come codominio mentre la funzione
è concava verso l’alto,
3
f x x 4 x infatti la sua derivata seconda
5
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f 1 3 1
è positiva e, inoltre, poiché e
f ' ' x 6 x
3
3 45
per convessità è minore di in tutto .
f 1 1
,
1
2 8 2
3
Per dimostrare che vale la disuguaglianza anche in
f x g x , 2
2
nell’unione dei due sotto-intervalli
suddividiamo suddetto intervallo
3 5 5
e iniziamo a provare che in entrambi i sotto-intervalli
, , 2
2 3 3
. In ognuno dei due sotto-intervalli entrambe le funzioni
g ' x f ' x
sono crescenti per cui valgono le seguenti catene di disuguaglianze:
5 11 3
g ' x cos x g ' f ' f ' x
3 2 4 2
13 5
g ' x cos x g ' 2 f ' f ' x
3 3
3
da cui deduciamo .
g ' x f ' x x , 2
2
f 2 g 2 0
Ora poiché vale la seguente disuguaglianza:
2 2 2 2
g ' t f ' t
f x f 2 f ' t dt f ' t dt g ' t dt g 2 g ' t dt g x
x x x x
3
f x g x
cioè anche in ; in conclusione abbiamo provato che
, 2
2
x
f x g x 0
, 2 .
l’area richiesta vale
In definitiva, 2
2 2 4
cos x x
3 2
S R g x f x dx sin x x 4 x dx 2 x
4
0 0 0
1 1
4 8 4
6
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Punto 4
Per il calcolo del volume si può ragionare in quersto modo. Un piano
libera dell’acqua interseca quest’ultima
perpendicolare ala superficie
secondo un segmento di lunghezza per cui la sezione è un
g x f x
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La prova di matematica per il liceo scientifico di ordinamento
Esame di Stato 2010/2011. Sessione ordinaria.
Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento, sessione ordinaria. Prova di matematica 2011
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