2008 - Liceo scientifico, scuole italiane all'estero (Americhe)

Corso di ordinamento - Sessione ordinaria all’estero (Americhe) - a.s. 2007-2008

Soluzione di De Rosa Nicola

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Ministero della Pubblica Istruzione

Scuole italiane all’estero (Americhe)

Esami di Stato di liceo scientifico

Sessione ordinaria a.s. 2007/08

Problema 1

Si fissi nel piano la semicirconferenza Γ che ha centro in C e diametro AB = 2 e si affrontino le seguenti questioni:

1. Si determini su Γ un punto P tale che, detta Q la sua proiezione ortogonale sulla tangente in B a Γ, si abbia AP + PQ = k, ove k è un parametro reale diverso da zero.
2. Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in Γ.
3. Si calcoli il volume del solido che ha per base il semicerchio delimitato da Γ e tale che, tagliato con piani ortogonali ad AB, dia tutte sezioni quadrate.

Problema 2

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche:

1. Si studino e si rappresentino graficamente le funzioni f e g definite per ogni numero reale non nullo, rispettivamente, da f(x) = 1/x e g(x) = x, e si dica se è vero che la somma di un numero positivo e del suo inverso è almeno 2.
2. Si calcoli l’area della parte di piano compresa tra i grafici di f e g per 1 ≤ x ≤ 10² e, disponendo di una calcolatrice elettronica, se ne dia un valore approssimato a meno di 10⁻².
3. Sia P un punto del piano di coordinate (t, 1/t), al variare di t ≠ 0. P descrive un luogo geometrico del quale si chiede l’equazione cartesiana e il grafico.

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Questionario

1. Una strada rettilinea in salita supera un dislivello di 150 m con un percorso di 3 km. Quale è la sua inclinazione?

2. Si provi che fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte dell’altezza del cono.

3. Quale significato attribuisci al simbolo ¹²√12? Esiste un k tale che ^k√k = 12?

4. Si diano esempi di funzioni i cui grafici presentino due asintoti verticali e un asintoto orizzontale.

5. Si calcolino il numero delle soluzioni dell’equazione: x² − kx = 0 al variare di k ∈ R.

6. Quante diagonali ha un poligono di 2008 lati?

7. Dati nel piano cartesiano i punti di coordinate reali P(x, x²) e Q(x, 4 − x²), si determini, al variare di x, l’insieme dei punti Q la cui ordinata è minore dell’ordinata di P.

8. La regione R delimitata dal grafico di y = x², dall’asse x e dalla retta x = 2 è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S.

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Problema 1

Si fissi nel piano la semicirconferenza Γ che ha centro in C e diametro AB = 2 e si affrontino le seguenti questioni:

Punto 1

Si determini su Γ un punto P tale che, detta Q la sua proiezione ortogonale sulla tangente in B a Γ, si abbia AP + PQ = k, ove k è un parametro reale diverso da zero.

Si consideri la figura seguente: AP = x, PQ = y.

Poniamo 0 ≤ x ≤ 2. Notiamo innanzitutto che se x = 0 allora AP = 0 e PQ = AB = 2; pertanto k = 2. Analogamente, se x = 2, AP = 2 e PQ = 0; pertanto k = 2.

Per il teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo APB, si ha AH² = AB · AP.

In questo modo la relazione diventa PQ = √(2x − x²) e AP + PQ = k.

La discussione dell’equazione parametrica sarà effettuata per via grafica, discutendo il sistema:

y = −x² + 2x

y = k.

La curva di equazione y = −x² + 2x è una parabola con concavità verso il basso, vertice in V(1, 1), e in x = 0 vale y = 0, mentre in x = 2 vale y = 0, come già anticipato.

La retta di equazione y = k è una retta parallela all’asse delle ascisse.

Nella figura sottostante sono state rappresentate nell’intervallo [0, 2] la parabola e la retta di equazione y = 5/2.

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Dal grafico si traggono le seguenti conclusioni:

• Se k < 2 non ci sono soluzioni.
• Se 2 ≤ k < 5/2 ci sono 2 soluzioni distinte.
• Se k = 5/2 ci sono 2 soluzioni coincidenti con x = 1.
• Se k > 5/2 non ci sono soluzioni.

In conclusione:

• Se k < 2 oppure k > 5/2 non ci sono soluzioni.
• Se 2 ≤ k ≤ 5/2 ci sono due soluzioni.

Punto 2

Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in Γ.

Il rettangolo di area massima può essere trovato attraverso differenti soluzioni. Se ne presenteranno 3:

• Uso della geometria analitica e dell’analisi.

Si consideri la figura sottostante in cui il rettangolo e la semicirconferenza sono rappresentati in un sistema di riferimento cartesiano con l’origine coincidente con il centro della semicirconferenza.

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La base HI del rettangolo FGHI si trova sulla retta generica di equazione y = k, k ∈ [0, 1]. I punti di intersezione di suddetta retta con la circonferenza di equazione x² + y² = 1 sono rispettivamente H(−√(1 − k²), k), I(√(1 − k²), k), mentre F e G hanno coordinate F(−√(1 − k²), 0), G(√(1 − k²), 0).

Con queste coordinate la base del rettangolo sarà pari a b = FG = HI = 2√(1 − k²), e l’altezza h = HG = IF = k. L’area del rettangolo è allora S(k) = 2k√(1 − k²), con k ∈ [0, 1].

Massimizziamo la funzione area attraverso il calcolo della derivata prima:

S′(k) = 2√(1 − k²) − 2k²/√(1 − k²).

Per cui, in k = 1/√2, la funzione è strettamente crescente, in [0, 1/√2], e strettamente decrescente, in [1/√2, 1].

Il valore massimo si assume in k = 1/√2. Quindi il rettangolo di area massima ha vertici: