Schemi di Analisi matematica 1 sui logaritmi e gli esponenziali

Logaritmi e esponenziali

Proprietà delle potenze

• x y x+y ∗→ a = a prodotto di pot ugual base a x a x y
• x−y → quoziente di pot ugual base a : a = = a y a x y x
• x∗y → potenza di potenza (a ) = a x x x → ∗
• Prodotto di pot ugual esponente a b = (a + b) x a a x x x x → )
• Quoziente di pot ugual esponente a : b = (a : b) = (x b b

Esempio 1

1 1 Base = siamo nel caso 0 < a < 1 il grafico sarà del tipo : 1 2 2x−1) f (x) = ( 2 −

Esponente = 2x 1

Per le proprietà delle potenze posso scrivere l’esponente come 2x a 2x−1 2x x 2 → = a = (a )a 1a x12 2 x x 2 ( ))(a 1 1 2 →= ∗= con a = = 2 ( )11a 2 2

La funzione è decrescente.

2 la funzione è sempre positiva, mettendo l’esponente uguale a 0 1 → − trovo il punto in cui vale 1 2x 1 = 0 x = 2

Esempio 2

Siamo nel caso a > 1 il grafico sarà del tipo :

Base = 5 2 −x x − f (x) = 5 25 2 − x

Esponente = x

Termine noto = 25

Analizzo la funzione senza termine noto 2 −x x x ∗(x−1)= f (x) = 5 f (x) = 5

L’esponente è nullo in x=0 e in x=1 2 2−x −x x x− →0=5 25 25 = 5

→ Dove la funzione si annulla? Cioè f (x) = 0 2 → − introduco la funzione logaritmo funzione inversa della funzione esponenziale x x = log (25)5

La funzione logaritmo risponde alla domanda: n →→ (b) b = a

A quale esponente n devo elevare la base a per ottenere l’argomento b? n = log a

2 2 2− → − −1, in questo caso x x = log (25) 25 = 5 log (25) = 2 la funzione vale 0 in x x = 2 x = x = 25 5

Il termine noto abbassa o alza la curva sull’asse y →

̸ f (x) = log (b) esiste quando a > 0, a = 1, b > 0 con a a = base, b = argomento

Proprietà dei logaritmi

• ∗ ̸(b) + log (c) = log (b c) con a > 0, a = 1, b > 0, c > 0 1) log a a a b
• ̸− ) con a > 0, a = 1, b > 0, c > 0 2) log (b) log (c) = log (a a a c n
• ∗ ̸3) log (b) = n log (b) con a > 0, a = 1, b > 0 a a
• −log ̸3) log (b) = (b) con a > 0, a = 1, b > 0 1 a a

Il grafico interseca l'asse x nel punto x=1 ovvero dove: y → y = log (b) a = b a 0 → = 1 se y = 0 a

2 −x x −0 = 5 25

Il grafico della funzione l