Istituzioni di matematica - Analisi matematica - Schemi e mappe concettuali

TRIGONOMETRIA

180° = pi (rad) -> CONVERSIONE GRADI -> RADIANTI: x pi / 180

cos(a) = ascissa

sin(a) = ordinata

tan(a) = sin(a) / cos(a) (cos a != 0)

DOMINIO: R -> [-1, 1]

DOMINIO: R / {pi/2 + kpi, k in Z} -> R

VALORI NOTEVOLI

a | sin(a) | cos(a) | tan(a)

0 = 0 | 0 | 1 | 0

pi/6 = 30° | 1/2 | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(3)

pi/4 = 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 | 1

pi/3 = 60° | sqrt(3)/2 | 1/2 | sqrt(3)

pi/2 = 90° | 1 | 0 | I

pi = 180° | 0 | -1 | 0

3pi/2 = 270° | -1 | 0 | I

PARITA'

cos(-a) = cos(a)

DISPARITA'

sin(-a) = -sin(a)

tan(-a) = -tan(a)

IDENTITA' FONDAMENTALE

sin²a + cos²a = 1

tan²(a) + 1 = 1 / cos²a

IDENTITA' ANGOLI SUPPLEMENTARI

sin(pi - a) = sin(a)

cos(pi - a) = - cos(a)

IDENTITA' ANGOLI COMPLEMENTARI

sin(pi/2 - a) = cos(a)

cos(pi/2 - a) = sin(a)

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

sin(a + b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)

cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)

tan(a + b) = tan(a) ± tan(b) / 1 ∓ tan(a)tan(b)

DUPLICAZIONE

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

cos(2a) = cos²(a) + sin²(a)

tan(2a) = 2tan(a) / 1 - tan²(a)

BISEZIONE (WERNER)

cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2

sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

LOGARITMI

log_a x = y ↔ a^y = x, con a > 0 e a != 1x > 0

→ log_a 1 = 0

→ log_a a = 1

→ log_a a^k = k, k ∈ R

→ a^{log_a x} = x, x > 0

REGOLE DI CALCOLO

log_a (xy) = log_a x + log_a y

log_a (x/y) = log_a x - log_a y

log_a (x^k) = k log_a x, k ∈ R

CAMBIO BASE (a -> b con b > 0, b != 1)

log_a x = log_b x / log_b a

log_a x = ln x / ln a

FUNZIONE ESPONENZIALE f(x) = a^x

a > 1crescente

a < 1

FUNZIONE LOGARITMICA f(x) = log_a x

a > 1

a < 1

DOMINIO: RCODOMINIO: (0, +oo)PASSA DA (0,1)

DOMINIO: (0, +oo)CODOMINIO: RPASSA DA (1,0)

Per x -> + oo le funzioni crescono nell'ordine ln x << x^a << a^x << x^x

EQUAZIONI LOGARITMICHE

• log_a k(x) = log_a g(x) → k(x) = g(x) con k(x) > 0 e g(x) > 0
• log_a k(x) = K → k(x) = a^K con k(x) > 0

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

log_a k(x) > log_a g(x)

a > 1 CRESCENTE → k(x) > g(x)

a < 1 DECRESCENTE → k(x) < g(x)

LIMITI NOTEVOLI

• lim_x->0 ln(1 + x) / x = 1
• lim_x->0 (e^x - 1) / x = 1
• lim_x->0 (1 + x)^1/x = e
• lim_x->+oo (1 + 1/x)^x = e

INSIEMI NUMERICI, MASSIMI, MINIMI

• N = {0, 1, 2, ...} NUMERI NATURALI
• Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} NUMERI INTERI
• Q = {P/q con P e Z, q e N, q != 0} NUMERI RAZIONALI
• R = {numeri interi + numeri razionali} NUMERI REALI (come 2, pi, e)

INCLUSIONI: N c Z c Q c R

Q e DENSO in R -> tra 2 numeri reali ce n'e sempre uno razionale -> ma esclude sqrt(2), pi, e

INTERVALLI

con a,b e R e a<b

• (a, b) = {a < x < b} APERTO
• [a, b] = {a