Insiemi numerici

TEORIA ELEMENTARE DEGLI INSIEMI

Il concetto di insieme è primitivo, vale a dire che non è derivabile da altri concetti più elementari e lo considereremo come dato, noto, assunto.

Come per tutti gli oggetti matematici primitivi, la definizione "diretta" è impossibile, ovvero non si possono costruire frasi del tipo "Si definisce insieme....." senza ricadere in formulazioni che contengano ancora termini da definire a loro volta, in una catena senza fine. Tuttavia, le definizioni non dirette, seppur improprie, concorrono alla formazione del concetto matematico.

Possiamo dire, secondo questa metodologia, che un insieme è una "collezione", un "aggregato", una "famiglia" di "elementi" (in questo caso le virgolette indicano che anche il concetto di elemento, famiglia, aggregato e collezione sono primitivi), con la proprietà che sia sempre possibile rispondere alla domanda:

L'elemento x appartiene a un certo insieme A

Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole, A, B, C, ...,etc, mentre gli elementi contenuti in un insieme, con lettere minuscole, a, b, c, ...,etc.

Per scrivere sinteticamente che un certo elemento a appartiene all'insieme A scriveremo

a ∈ A

e se a non è elemento di A scriveremo

a ∉ A

Il simbolo "E" si dice simbolo di appartenenza.

Penseremo anche a un "tutto", insieme universo o insieme ambiente U, in cui si trovano tutti gli elementi e tutti gli insiemi. Il fatto di assegnare l'insieme universo U, in cui scegliere gli elementi che soddisfano una certa proprietà caratteristica, evita contraddizioni e libera da ambiguità.

Come si può rappresentare un insieme?

Una prima via è quella di elencare, una sola volta e con qualsiasi ordine, gli elementi che vi appartengono racchiudendoli in parentesi graffe (insieme dato per elencazione):

A = {1,2,8,10}

E' chiaro che gli insiemi che possono essere rappresentati in questo modo sono solo quelli finiti e comunque non tutti gli insiemi finiti possono essere rappresentati per elencazione; ad esempio, l'insieme dei nati nella Repubblica di San Marino dal 1900 al 2000 è senz'altro un insieme finito ma di difficile elencazione.

Un altro modo per rappresentare un insieme è tramite l'individuazione di una proprietà caratteristica che tutti gli elementi devono soddisfare (insieme dato per proprietà); per esempio, l'insieme dei numeri naturali con la caratteristica di essere pari può essere rappresentato nel seguente modo:

B = { m ∈ N : m = 2n, n ∈ N }

e si legge "B è l'insieme di tutti gli m ∈ N tali che m = 2n con n ∈ N"

Gli elementi di un insieme potranno essere, a loro volta, insiemi; si riflette bene sulla possibilità per un insieme di avere altri insiemi come elementi.

Sia A = {1, 2, {3,9}, 4, 3}. L'insieme {3,9} è elemento di A e avrà pertanto senso scrivere

{3,9} ∈ A

Definizione

Dati due insiemi A e B si dice che A è contenuto in B, o che A è sottoinsieme di B, se ogni elemento di A appartiene anche a B, e si scrive:

A ⊆ B

Diremo che A è contenuto propriamente in B, o che A è un sottoinsieme proprio di B, se A è un sottoinsieme di B e, in più, esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A, e si scrive:

A ⊂ B

Esempio

Nell'esempio si è raffigurato un insieme universo U in cui operano due insiemi A e B, con A sottoinsieme proprio di B, x è elemento di B ma non di A, y è elemento sia di A che di B.

Definizione

Due insiemi A e B si dicono uguali se gli elementi di A sono anche elementi di B e viceversa, ovvero:

A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A

Un insieme di importanza sostanziale nella teoria degli insiemi è l'insieme vuoto, cioè l'insieme che non contiene alcun elemento e per il quale la domanda "x è elemento di questo insieme?" ammette sempre come risposta "No". Il simbolo che lo identifica è ∅.

Si consideri, ad esempio, l'insieme {x ∈ U : x ≠ x}, esso è uguale all'insieme vuoto, cioè l'insieme vuoto può essere definito come ∅ = {x ∈ U : x ≠ x}, infatti, ogni elemento è uguale a sé stesso e quindi a tale insieme non può appartenere alcun elemento, nessun x ∈ ∅.

Si noti che l'insieme vuoto è unico e non cambia al variare dell'universo U; infatti, poiché due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi, tutti gli insiemi senza elementi sono uguali fra loro.

Inoltre, l'insieme vuoto gode di una particolare proprietà: è ragionevole porre la condizione, che verrà dimostrata nel prossimo capitolo, secondo cui esso è contenuto in ogni altro insieme cioè

∅ ⊆ A    ∀A

Gli insiemi i cui elementi sono numeri si dicono insiemi numerici.

Esempi

N = {1, 2, 3, 4, ...} è l'insieme dei numeri naturali (non includeremo lo zero)

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} è l'insieme dei numeri interi

Q = {m/n : m ∈ Z, n ∈ N} è l'insieme dei numeri razionali; in forma decimale rappresentano i numeri decimali finiti e i numeri decimali periodici.

inoltre

N ⊆ Z    Z ⊆ Q    N ⊂ Q

Si presti attenzione alle seguenti scritture:

• 1 ⊆ N è una scrittura che non ha significato
• 1 ∈ N è una scrittura che ha significato (1 è elemento di N, 1 non è sottoinsieme di N)
• {1} ⊆ N ha significato
• {1} ⊆ {1} ha significato
• {1} ∈ {1} non ha significato
• 1 ∈ {1} ha significato
• A ⊆ A ha significato
• ∅ ∈ A non ha significato
• a ∈ ∅ non ha significato
• {1} = {1, 1} ha significato
• {1, 2} = {1, 2} non ha significato
• {1, 2} = {2, 1} ha significato
• {1, 2} ∈ A = {{1}, {2}, {1, 2}} ha significato

Definizione

Chiameremo cardinalità di un insieme il numero dei suoi elementi e la indicheremo col segno # anteposto al simbolo dell'insieme.

INSIEME DELLE PARTI

Dato un insieme A chiameremo insieme delle parti (o insieme dei sottoinsiemi) di A e si indica con il simbolo P(A), l'insieme costituito da tutti i suoi sottoinsiemi.

Esempio

Sia A = {1, 2, 3}.

Le parti dell'insieme A, ovvero l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi (non si dimentichi di considerare l'insieme vuoto, che è sottoinsieme di qualsiasi insieme) è:

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

L'esempio appena presentato ci fa intuire una formula: partendo da un insieme di 3 elementi, si è ottenuto l'insieme delle parti formato da 8 elementi, quindi la cardinalità di P(A) è 8 e si scrive #P(A) = 8.

In quale relazione stanno i 3 elementi di A con gli 8 elementi finali di P(A)?

Si potrebbe ipotizzare la formula 8 = 2³.

Ci si chiede: è lecito supporre in generale che un insieme di n elementi abbia un insieme delle parti costituito da 2ⁿ elementi?

In effetti accade proprio così e lo si può dimostrare rigorosamente.

La nostra ipotesi o supposizione, in matematica si chiama congettura: una certa formula rimane una congettura fino a quando non si riesce a dimostrarla rigorosamente.

L'insieme vuoto è elemento di un insieme A solo se si tratta dell'insieme delle parti di A, pertanto avrà significato la scrittura ∅ ∈ P(A).

TEOREMA DEL CONTEGGIO DELLE PARTI

Un insieme B con n elementi ha 2ⁿ sottoinsiemi.

In formule:

#P(B) = 2^#B

OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

Le operazioni tra insiemi sono leggi che trasformano uno o piu insiemi in un altro insieme.

Definizione

Si definisce unione di due insiemi A e B, e si indica col simbolo A U B, l'insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono ad A o che appartengono a B:

A U B = { x : x e A v x e B }

e si legge "A U B e l'insieme degli elementi che appartengono ad A o a B"

Nota

Il significato di "o", indicato col simbolo v si deve intendere al pari del vel latino e cioe una "o" inclusiva che non esclude che gli elementi appartengano ad entrambi gli insiemi: si prenderanno quindi gli elementi che appartengono ad A, o quelli che appartengono a B o che appartengono ad entrambi. Cio si puo anche esprimere dicendo che l'unione di due insiemi A e B e l'insieme i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B; (si approfondira meglio questo concetto nel capitolo di logica proposizionale).

Graficamente, utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn, si ha:

Dalla definizione segue subito che:

A U O = A

A U B = B U A

A U A = A

(A U B) U C = A U (B U C)

Definizione

Si definisce intersezione di due insiemi A e B, e si indica A n B, l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A e anche a B, ovvero che appartengono sia ad A che a B.

A n B = { x : x e A n x e B }

e si legge "A n B e l'insieme degli elementi che appartengono ad A e a B".

Graficamente, tramite i diagrammi di Eulero-Venn si ha:

Dalla definizione segue subito che:

A n O = O

A n B = B n A

A n A = A

(A n B) n C = A n (B n C)

Definizione

Due insiemi A e B si dicono disgiunti quando la loro intersezione e l'insieme vuoto: A n B = O

Definizione

Si definisce differenza tra due insiemi A e B, e si indica con A \ B, l'insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.

A \ B = { x : x ∈ A ^ x ∉ B }

Graficamente:

A \ B

Definizione

Sia A contenuto in B. Si dice complementare di A l'insieme differenza tra B ed A, e si indichera con il simbolo B \ A, o anche con i simboli A_R o C_R(A).

Graficamente:

B \ A

Esercizio

Dati gli insiemi:

A = { a ∈ N : a ≤ 5 }

B = { b ∈ Z : -2 < b < 2 } trovare A U B e A ⋂ B

Soluzione

Aiutandosi con la rappresentazione per elencazione:

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { -1, 0, 1 }

si trova

A U B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

A ⋂ B = { 1 }

Osservazione

Gli insiemi di cui stiamo parlando sono totalmente ordinati secondo la relazione ≤.

Tale relazione soddisfa le seguenti proprieta:

• a ≤ a    ∀a∈Q    (proprieta riflessiva)
• a ≤ b ^ b ≤ a ⇒ a = b    ∀a,b∈Q    (proprieta antisimmetria)
• a ≤ b ^ b ≤ c ⇒ a ≤ c    ∀a,b,c∈Q    (proprieta transitiva)
• a ≤ b v b ≤ a    ∀a,b∈Q    (ordinamento totale: gli elementi sono sempre confrontabili, vale sempre almeno una delle due).

QUANTIFICATORE UNIVERSALE

Una delle locuzioni piu comuni in matematica e "Per ogni....". Il simbolo che si utilizza per abbreviarla e "∀" ed e detto quantificatore universale.

La frase:

"Per ogni x appartenente ad R si ha che x al quadrato e non negativo"

diviene

"∀x∈R si ha x² ≥ 0"

Dire che una proprieta e verificata "∀x∈R" equivale a dire che vale "comunque si scelga x appartenente a R" o equivalentemente, "per tutti i numeri reali".

QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

Un'altra locuzione comune e "Esiste almeno...". Il simbolo che si utilizza per abbreviarla e "∃" ed e detto quantificatore esistenziale.

La frase:

"Esiste x appartenente ad R tale che x + 1 = 2"

diviene

"∃ x∈R : x + 1 = 2"

Significa che esiste almeno un x appartenente a R che soddisfa la condizione x + 1 = 2.

"∃ x∈R" non significa che ne esiste uno solo, ma che ne esiste almeno uno, quindi uno o piu di uno.

Il simbolo ∃! indica la condizione piu restrittiva "Esiste un solo..." (esistenza e unicita), o "esiste uno ed un solo...", che non e ridondante poiche sta a significare che ne esiste uno (almeno uno) e questo e unico.

La Differenza simmetrica tra due insiemi

è l'insieme che contiene gli elementi presenti solo in uno dei due insiemi

Derivata come A _Δ B

A = {1,2,3}

B = {3,4,5}

A _Δ B = {1,2,4,5}

(A \ B) U (B \ A)

Uguaglianza da dimostrare

Vogliamo dimostrare che:

(A \ B) U (B \ A) = (A U B) \ (A n B)

Passi della dimostrazione

Passo 1: Consideriamo la differenza simmetrica

Immagina di avere due insiemi A e B in un diagramma di Venn, e che X rappresenti un elemento qualsiasi.

1. Se X è in A ma non in B:
2. Allora X è un elemento di A \ B.
3. Se X è in B ma non in A:
4. Allora X è un elemento di B \ A.
5. Combinando queste due situazioni:
6. Se X è in A \ B oppure X è in B \ A, allora X è parte della differenza simmetrica, che rappresenta tutti gli elementi che sono solo in uno dei due insiemi.

Passo 2: Consideriamo (A U B) \ (A n B)

1. Immagina ora X in A U B:
2. Questo significa che X è in almeno uno dei due insiemi, A o B.
3. Immagina che X sia in A n B:
4. Questo significa che X è in entrambi gli insiemi.
5. Togliamo A n B da A U B:
6. Se X è solo in A o solo in B, allora rimane in (A U B) \ (A n B).
7. Questo è proprio ciò che descrive la differenza simmetrica: X è presente se è solo in uno dei due insiemi, e non è in entrambi.

Conclusione finale

Dopo aver analizzato entrambi i lati, possiamo concludere che:

(A \ B) U (B \ A) = (A U B) \ (A n B)

In parole semplici, questo significa che se X è solo in uno dei due insiemi, allora è presente in entrambi i lati dell'uguaglianza. Gli elementi che sono solo in A o solo in B sono gli stessi che sono in uno dei due insiemi ma non in entrambi.

Se hai altre domande o punti che non ti sono chiari, chiedi pure!