Appunti di Matematica

Marco Barlotti

Appunti di Istituzioni di matematica per il corso di laurea triennale in Scienze Naturali

Vers. 2.22

Anno Accademico 2007-2008

In copertina un disegno originale (© Disney) di Luciano Gatto.

Marco Barlotti - appunti di ISTITUZIONI DI MATEMATICA - vers. 2.22 - Pagina I

Perché questi appunti, e come usarli

(Prefazione alla vers. 2.22)

Questi appunti nascono come supporto alle lezioni che tengo per l’insegnamento di “Istituzioni di Matematica” per il Corso di Laurea triennale in Scienze Naturali presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali all’Università di Firenze.

Penso che tale insegnamento debba proporsi essenzialmente tre scopi:

• Fornire una preparazione di base nella materia a livello universitario;
• Presentare i concetti matematici fondamentali mantenendo un “punto di vista superiore” rispetto alla Scuola Secondaria;
• Mettere i futuri laureati nelle condizioni di usare alcuni specifici strumenti di calcolo.

Questa impostazione comporta una certa ampiezza nell’arco degli argomenti trattati e, di conseguenza, la rinuncia allo sviluppo di procedimenti avanzati di calcolo. Sono però convinto che una buona preparazione di base metta in condizione di apprendere, se necessario, tecniche specialistiche; mentre, d’altro lato, la padronanza di molti strumenti di calcolo non garantisce di per sé una corretta visione della materia.

Forse al lettore sembrerà di incontrare troppe definizioni. Per convincersi della loro necessità, consideri che la Matematica è strumento fondamentale per descrivere la realtà (fisica, biologica, economica, ecc.); una buona descrizione è necessariamente anche un’accurata tassonomia delle possibili situazioni, che per essere correttamente formalizzata ha bisogno di un linguaggio assolutamente preciso.

Nell’usare questi appunti, lo studente deve tenere presente che, per la loro stessa natura di testo scritto, essi non sono la stessa cosa delle lezioni tenute in aula. Ad esempio, la trattazione è talvolta più formale (e quindi più “pesante”) rispetto a quanto consente l’immediatezza dell’esposizione orale, dove ci si può “lasciare andare” all’uso di qualche notazione non del tutto ortodossa.

Inoltre, rispetto al programma effettivamente svolto a lezione, questi appunti¹ comprendono alcune dimostrazioni in più ( ) ma molti esercizi in meno (e quelli riportati non sono, in generale, svolti). Le dimostrazioni in più vogliono consentire allo studente interessato qualche approfondimento e servire comunque come riferimento per eventuali consultazioni future.

¹ Per la preparazione all’esame lo studente è invitato a fare riferimento al programmma consuntivo del corso disponibile su Internet all’URL http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Programma.html oppure http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Programma.html

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Alla carenza di esercizi dedicati all’Analisi Matematica il lettore può ovviare utilizzando qualcuno degli appositi testi reperibili in commercio (si veda anche, al termine della bibliografia posta dopo questa introduzione, l’elenco dei libri consigliati). Dovrebbero invece essere sufficienti per un’adeguata preparazione sull’argomento gli esercizi sui sistemi lineari riportati nel capitolo 14, fra l’altro in buona parte svolti nei dettagli e comunque corredati delle soluzioni.

Si noti che alcuni degli esercizi proposti sono contrassegnati con un asterisco fra parentesi quadre ([*]): si tratta di esercizi “di approfondimento”, generalmente più difficili degli altri, che non è necessario saper risolvere per superare l’esame, anche con un buon voto.

Molti studenti affrontano questo corso di lezioni col timore di possedere una preparazione insufficiente a causa del tipo di Scuola Secondaria frequentato o per altri motivi. Raramente tale timore è giustificato: infatti, sia a causa del carattere “istituzionale” di questo corso sia per i criteri con cui esso viene impostato, i prerequisiti richiesti sono minimi; per tranquillizzare il lettore è comunque opportuno precisarli.

Nozioni supposte note dagli studi precedenti

ℕ ™ ℤ

L’insieme dei numeri naturali, l’insieme dei numeri interi relativi, l’insieme dei numeri razionali; le operazioni di “somma” e “prodotto”, la relazione di “minore o uguale”, ℕ ™ ℤ sottrazione, divisione, divisione euclidea, elevamento a potenza in , in e in ; principali proprietà di tali operazioni e relazioni. La scomposizione in fattori primi dei numeri naturali; massimo comun divisore e minimo comune multiplo. L’insieme dei numeri reali verrà introdotto durante il corso; tuttavia, a quel punto sarà data per acquisita (dai precedenti studi nella Scuola Secondaria) una certa capacità di calcolo con i numeri reali, e in particolare con i radicali.

Polinomi, prodotti notevoli di polinomi e alcuni casi di scomposizione di polinomi;! ! teorema di Ruffini. Equazioni algebriche; risoluzione delle equazioni algebriche di 1 e 2! grado; risoluzione di quelle equazioni algebriche di grado superiore al 2 che possono essere affrontate mediante la scomposizione dei polinomi e il teorema di Ruffini. Disequazioni intere! ! ! e fratte di 1 e 2 grado. Disequazioni di grado superiore al 2 che possono essere affrontate mediante la scomposizione dei polinomi e il teorema di Ruffini.

Nozioni essenziali di geometria piana: rette, angoli, triangoli; segmenti commensurabili; misura dei segmenti commensurabili con l’unità di misura fissata; le isometrie del piano.

Trigonometria piana: definizione delle funzioni sin, cos, tg, cotg; le due relazioni! Ñ sin (# #Ð ! Ñ) ℓ Ð ! Ñ œ Ð ! Ñ œ fondamentali: sin cos 1 , tg ; le “formule di addizione” per sin e! Ñ cos (cos; il “teorema dei seni” e il “teorema del coseno”.

Per i fatti essenziali sulle isometrie del piano e le nozioni utili di trigonometria piana il lettore può utilmente consultare [1], distribuito in rete assieme a questi appunti.

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È inevitabile la presenza in questi appunti di errori materiali; inoltre, per quanto mi sia sforzato di conciliare il rigore con la chiarezza, alcuni brani del testo possono risultare poco comprensibili. Sarò grato a tutti coloro, e specialmente agli studenti, che vorranno segnalarmi qualunque problema, dai più banali errori di stompa alle oscurità nell’esposizione.

Firenze, 26.1.2008 Marco Barlotti

Bibliografia

• [1] M. Barlotti
  Richiami su isometrie, angoli orientati e trigonometria piana
  http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Richiami.pdf
  http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Richiami.pdf
• [2] G. C. Barozzi, C. Corradi
  Matematica Generale per le scienze economiche
  il Mulino, Milano (1997)
• [3] G. C. Barozzi, C. Corradi
  Matematica Generale per le scienze economiche: Esercizi
  il Mulino, Milano (1998)
• [4] G. Choquet
  L’ enseignement de la Geometrie
  Hermann, Paris (1964)
• [5] G. Devoto, G. C. Oli
  Il dizionario della lingua italiana
  Le Monnier, Firenze (1990)
• [6] E. Giusti
  Esercizi e complementi di analisi matematica
  Bollati Boringhieri, Torino (1991)
• [7] P. R. Halmos
  Naive set theory
  Van Nostrand, Princeton NJ (1966)
• [8] P. R. Halmos
  Teoria elementare degli insiemi
  Feltrinelli, Milano (1970)

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• [9] D. Hilbert
  Fondamenti della Geometria
  Feltrinelli, Milano (1970)
• [10] P. Marcellini, C. Sbordone
  Esercitazioni di Matematica
  Liguori, Napoli (1988)
• [11] G. Peano
  Aritmetica generale e algebra elementare
  Paravia, Torino (1902)
• [12] G. Prodi
  Istituzioni di Matematica
  McGraw Hill, Milano (1994)
• [13] R. Scozzafava
  Matematica di base
  Masson, Milano (1992)
• [14] A. Spinelli, L. Scaglianti
  Guida all’esame di Matematica generale
  CEDAM, Padova (1984)

A chi preferisca studiare su altri libri, segnalo come abbastanza omogenei al programma che svolgo (in ordine decrescente di omogeneità) [12], [13] e [2].

Fra i libri di esercizi che conosco, credo di poter consigliare (in ordine crescente di difficoltà) [14], [3], [10] e [6].

Per approfondimenti, sono ottimi testi [4], [8] e [9].

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L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senza riserve di quanto sopra.

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Sommario

1. - Introduzione

• 1.1 - L’impostazione assiomatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 1
• 1.2 - La teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2
• 1.3 - Prime notazioni sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3
• 1.4 - Gli assiomi di Hilbert per la geometria piana . . . . . . . . . . . . . pag. 3
• 1.5 - Gli assiomi di Peano per i numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . pag. 4
• 1.6 - Ancora sull’insieme dei numeri naturali. . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5
• ™1.7 - L’insieme dei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6
• ℤ1.8 - L’insieme dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7

2. - Elementi di logica

• 2.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 9
• 2.2 - Elementi di calcolo delle proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 9
• 2.3 - Elementi di calcolo dei predicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14
• 2.4 - I teoremi, e come si dimostrano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 20
• 2.5 - Dimostrazioni per induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23

3. - Come si definisce un insieme

• 3.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 25
• 3.2 - Definizione mediante elenco degli elementi . . . . . . . . . . . . . . pag. 25
• 3.3 - Definizione mediante una proprietà caratteristica . . . . . . . . . . . . pag. 26
• 3.4 - Definizione come unione di insiemi già definiti . . . . . . . . . . . . . pag. 27
• 3.5 - L’insieme delle parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 27
• 3.6 - Unione, intersezione, differenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 27
• 3.7 - Unione e intersezione di una famiglia di insiemi. Partizioni . . . . . . . . pag. 29
• 3.8 - Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 29
• 3.9 - -ple ordinate. Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 30

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4. - Funzioni

• 4.1 - Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 31
• 4.2 - Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32
• 4.3 - Dominio. Immagine, immagine inversa. Punti fissi . . . . . . . . . . . pag. 32
• 4.4 - Iniettività e suriettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 33
• 4.5 - Restrizione a un sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 34
• 4.6 - La funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 35
• 4.7 - Composizione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 35

5. - Relazioni di ordine

• 5.1 - Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 37
• 5.2 - Relazioni di ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38
• 5.3 - Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39
• 5.4 - Minimo e massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39
• 5.5 - Limitazioni inferiori e limitazioni superiori . . . . . . . . . . . . . . pag. 40
• 5.6 - Estremo superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 41
• 5.7 - Estremo inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 42
• 5.8 - Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 44

6. - Relazioni di equivalenza

• 6.1 - Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 45
• 6.2 - Classi di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 46
• 6.3 - Insieme quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 47
• 6.4 - Le classi di resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49

7. - Operazioni in un insieme

• 7.1 - Operazioni in un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 51
• 7.2 - Chiusura rispetto a un’operazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52
• 7.3 - Associatività e commutatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52
• 7.4 - Elemento neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52
• 7.5 - Il simmetrico di un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 53
• 7.6 - La proprietà distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 54

8. - Gruppi e anelli

• 8.1 - Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 55
• 8.2 - Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 56
• 8.3 - Omomorfismi e isomorfismi tra gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 56
• 8.4 - Anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 57
• 8.5 - Omomorfismi e isomorfismi tra anelli . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59
• ™8.6 - L’anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59
• ℤ8.7 - I criteri di divisibilità per i numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 62

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9. - Campi

• 9.1 - Campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65
• 9.2 - Isomorfismo tra campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 66
• 9.3 - Sottocampi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 66
• 9.4 - Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 67

10. - Il campo dei numeri reali

• ‘10.1 - Definizione di . Numeri razionali, irrazionali, algebrici, trascendenti . . . pag. 73
• 10.2 - La rappresentazione dei numeri reali sulla retta . . . . . . . . . . . . pag. 74
• 8 10.3 - La radice -sima di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 75
• ‘10.4 - Potenze in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 75
• 8 ‘10.5 - L’insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78

11. - Elementi di calcolo combinatorio

• 11.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 79
• 5 11.2 - -disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 79
• 5 11.3 - -disposizioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 81
• 5 11.4 - -combinazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 83
• 5 11.5 - -combinazioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 87
• 11.6 - Esercizi di ricapitolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 89

12. - Sistemi di riferimento cartesiani nel piano

• 12.1 - Orientamento della retta e del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 91
• 12.2 - Il “metodo delle coordinate” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 92
• 12.3 - Sistemi di riferimento nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93
• 12.4 - Cambiamento del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . pag. 95
• 12.5 - Distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 96
• 12.6 - Coordinate del punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . pag. 96

13. - Le rette nel piano

• 13.1 - Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 97
• 13.2 - Forma generale dell’equazione cartesiana di una retta . . . . . . . . . . pag. 97
• 13.3 - Equazione della retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 98
• 13.4 - Forma esplicita dell’equazione di una retta . . . . . . . . . . . . . . pag. 99
• 13.5 - Equazione della generica retta passante per un punto assegnato . . . . . . pag. 100
• 13.6 - Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra rette . . . . . . . . . . . pag. 100
• 13.7 - Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102
• 13.8 - Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti dati . . . . . . . . pag. 103

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14. - Sistemi lineari

• 14.1 - Richiami sulle equazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 105
• 14.2 - Generalità sui sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106
• 14.3 - Matrici associate a un sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 107
• 14.4 - Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema . . . . . . . . . . pag. 108
• 14.5 - Operazioni elementari sulle righe di una matrice . . . . . . . . . . . . pag. 110
• ´14.6 - Teorema di Rouché-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 113
• 14.7 - Esercizi sui sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 115
• 14.8 - Esercizi sui sistemi lineari dipendenti da un parametro . . . . . . . . . pag. 122
• 14.9 - Soluzione degli esercizi proposti nella sezione 14.7 . . . . . . . . . . . pag. 129
• 14.10 - Soluzione degli esercizi proposti nella sezione 14.8 . . . . . . . . . . pag. 131

15. - Funzioni IR IR

• 15.1 - Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 135
• 15.2