Appunti Matematica

Verifica della continuità e derivabilità di una funzione

Esempio 1

f(x) = { log(x) x > 1 kx - 1 x ≤ 1

La funzione è continua ∀ x ≠ 1.

È continua con x = 1:

f(x) = lim_x→1⁻ f(x) = lim_x→1⁺ f(x)
f(x) = log(1) = 0
lim_x→1⁺ log(1) = 0
lim_x→1⁻ kx - 1 = k - 1

La funzione è continua se k - 1 = 0 → k = 1

È derivabile?

lim_x→1⁻ f'(x) = lim_x→1⁺ f'(x)
lim_x→1⁺ log(1) = 0
lim_x→1⁻ kx^k - 1 = 0

I due limiti sono uguali, quindi la funzione è continua e derivabile per k = 1.

Esempio 2

P(x) = { log(x) x > 1 Kx - 1 x ≤ 1

La funzione è continua ∀ x ≠ 1.

È continua con x = 1:

f(x) = lim_x→1⁻ f(x) = lim_x→1⁺ f(x)
f(x) = log(1) = 0
lim_x→1⁺ log 1 = 0
lim_x→1⁻ K⋅1 - 1 = K - 1

La funzione è continua se K - 1 = 0 ⟹ K = 1

È derivabile?

lim_x→1⁻ f'(x) = lim_x→1⁺ f'(x)
lim_x→1⁺ log(1) = 0
lim_x→1⁻ K_x/₁⋅1 - 1 = 0

I due limiti sono uguali, quindi la funzione è continua e derivabile per k = 1.

Esercizi di continuità di una funzione

Tema d'esame 22 Dic. 2020

f(x) = { e^αx + 1   x ≤ 0     3x + β   x > 0

f(0) = e^α⋅0 + 1 = 2

lim_x→0^- e^αx + 1 = 2
lim_x→0⁺ 3⋅0 + β = β

Continua se β = 2

f '(x) ={ e^αx⋅α   x < 0     3     x > 0

lim_x→0^- e^α⋅0⋅α = α
lim_x→0⁺ 3 = 3

α = 3

Tema d'esame 13 Genn. 2021

f(x) = { x² + α   x > 0     -b⋅x + 4   x ≤ 0

f(0) = -b⋅0 + 4 = 4

lim_x→0^- -b⋅0 + 4 = 4
lim_x→0⁺ e⁰ + α = 1 + α

1 + α = 4
α = 3

Tema 3 febbraio 2020

f(x) = (x - α)   x ≤ 1
ln(2x + β)  x > 1

f(1) = α . 1 - α = 0

lim_x→1^– α . 1 - α = 0
lim_x→1⁺ ln(2 + β) = ln(2 + β)

ln(2 + β) = 0   → ln(2 + β) = 1_e e⁰   → 2 + β = 1 → β = -1

f(x) = α   x < 1
1^z/(2x + β) . 2 = 2/(2x + β)  x > 1

lim_x→1^– α = α
lim_x→1⁺ 2/(2 . 1 + (-1)) = 2/(2 - 1) = 2/1 = 2

α = 2

Schema sui domini

1. Funzioni razionali intere (lineari, quadratiche, cubiche)
   • Es. y=5x+2, y=(x-2)², y=x³+4, y=|5x+2|...
   • D: ⇒ (-∞, +∞)
2. Funzioni razionali fratte (omografiche)
   • Es. y = ^5x+2⁄_x+3
   • D: x+3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3
   • D: (-∞, -3) ∪ (-3, +∞)
3. Funzioni irrazionali (Radici)
   • Indice Pari ⇒ D: Radicando ≥ 0
   • Es. √5x+2 ⇒ D: 5x+2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -²⁄₅ ⇒ [-²⁄₅, +∞)
   • Indice Dispari ⇒ D: ⇒
   • Es. ³√5x+2 ⇒ D: ⇒
4. Funzione esponenziale (La x compare all'esponente)
   • Es. y=e^x ⇒ D: ⇒ D: (-∞, +∞)
   • y=(3^x)^x-1 ⇒ D: 3x>0 ⇒ x>0 ⇒ (0, +∞)
   • La base dell'esponenziale deve essere > 0
5. Funzione logaritmica
   • Es. y=log(5x+2) ⇒ D: 5x+2>0 ⇒_{5x > -2} ⇒ x>-²⁄₅ ⇒ (-²⁄₅, +∞)
   • D: Argomento > 0
6. Se ho più di una condizione faccio il sistema

Disequazioni irrazionali

Indice di radice dispari - elevo ambo i membri per n e faccio i calcoli.
ⁿ√A(x) > B(x) → A(x) > B(x)ⁿ
Questo perché con l'indice di radice dispari il radicando può essere sia positivo sia negativo.

Indice di radice pari - il radicando deve essere positivo. Per questo motivo abbiamo due casi:

1. ⁿ√A(x) ≤ B(x)
2. A(x) > 0
3. B(x) > 0
4. A(x) ≤