Appunti di Fisica I sulla parte di cinematica

CINEMATICA = descrizione di un moto indipendentemente dalle sue cause

Il moto di un punto e descritto al variare della sua posizione, che e il vettore r, rispetto al sist di riferim

Equaz oraria = espressione parametrica della posizione del corpo in funzione del tempo

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

Traiettoria = percorso che un corpo segue attraverso lo spazio durante il moto

Quindi l'equaz oraria ci dice come la traiettoria viene percorsa

Spostamento

Delta r = r(t2) - r(t1)

Velocita

Vel media -> V_a = [r₂(t₂) - r₁(t₁)] / (t₂ - t₁)

Vel istantanea -> V = dr/dt

in C. intrinseche V = v_s u_T

ds/dt = V_isr scal

dr/dt = u_T

info spaz

info versore

info spazio

info versore

in c. cartesiane V = Vx i + Vy j + Vz k

|V| = sqrt(Vx² + Vy² + Vz²)

in c. polari V = (dP/dt) u_r + p d^g/dt u_g

dP/dt u_r = comp radiale che indica la rapidita con cui cambia d tra P e origine

p d^g/dt u_g = comp trasversa che indica la rapidita con cui varia e angolo g

V_A = 1/(t₁-t₀) ∫ from t₀ to t₁ V dt

ACCELERAZIONE

acc. media → a_A = (V(t₁) - V(t₀)) / (t₁ - t₀)

acc. istant → a = dV/dt = d²r/dt²

in c. intrinseche a = dV_s/dt u_t + V_s²/R u_n

dV_s/dt u_t = acc tangenziale che indica la variaz del modulo della velocita

V_s² u_n = acc centripeta che depend.

v²/R = a_n = ACC CENTRIPETA che dipende dal fatto che se io mi muovo lungo una traiett la v cambia puntando verso il centro (a_n) R e il cerchio oscillatore

in C. CARTESIANE a⃗ = a_xî + a_yĵ + a_zk̂

in C. POLARI

a⃗ = [d²ρ/dt² - ρ (dθ/dt)²]û_r + [2 dρ/dt dθ/dt + ρ dθ/dt²]û_θ

MOTO RETTILINEO -> su una retta, lungo cui fisso origine e verso

VELOCITA' -> v⃗_x = dx/dt

VEL MEDIA -> v⃗_A = 1/(t - t₀) ∫_t0^t v_x dt

MOTO RETTILINEO UNIFORME

• a_x = 0
• v_x = k
• x = x₀ + v_x(t - t₀)

MOTO RETTILINEO UNIF. ACCELERATO

• a = k
• v = v₀ + a(t - t₀)
• x = x₀ + v₀(t - t₀) + 1/2 a(t - t₀)²
• v² = v₀² + 2a(x - x₀)

a_m = Dv/Dt

a_ist = dv/dt

MOTO RETTILINEO UNIF. SMOREZATO

a_x = -k v_x

a_x = -k V_x

V_x(t) = V₀ e^-k(t-t₀)

V_x(x) = V₀ - k(x - x₀)

x(t) = x₀ + V₀/k (1 - e^-kt)

MOTO ARMONICO SEMPLICE -> moto periodico in cui la particella torna a passare nella stessa posizione con la stessa velocita

x(t) = A cos(ωt + φ)

ω = 2πf -> pulsazione

f = 1/T -> freq

V = -ωA sin(ωt + φ)

a = -ω²A sen(ωt + φ)

a -> si annulla al centro e ha val max agli estremi

v -> si annulla agli estremi e ha val max al centro

MOTO VERTICALE in CADUTA LIBERA

x(t) = x₀

y(t) = y₀

z(t) = h - 1/2 gt²

v_x = 0

v_y = 0

v_z = -gt

La V in funz della posiz V(x) = √2g(h-x)

Il t in funz della posiz t(x) = √2(h-x)/g

MOTO PARABOLICO -> moto in cui un oggetto P viene lanciato con una v₀ e forma un angolo θ con l'asse x

V_0x = V₀ cosθ

V_0y = V₀ sinθ -> V_y(t) = V₀ sinθ - gt

V(t) = V₀cosθ + V₀sinθ - gt

x(t) = x₀ + v₀ cos 9 t

y(t) = y₀ + v₀ sin 9 t - 1/2 gt²

PUNTO di MAX ALTEZZA e quello in cui la componente y della v e nulla

t_M = v₀ sin 9 / g

y_M = y₀ + v₀² sin²9 / 2g

x_M = x₀ + v₀² sin 2&9 / g

Δx_R / d9 = 2V₀² cos 29 / g = 0 -> 9₁ = 45°

t di volo = 2t_m

MOTO CIRCOLARE

moto piano la cui traiettoria e rappresentata da una CIRCONFERENZA DI RAGGIO R

Ed v una continua direzione e l'ac e sempre ≠ 0

Ci si pone in un sist di coord polari con centro in O, in cui il moto avviene con r(t) = R e 9(t) variabile

s(t) = R 9(t)

x(t) = R cos9(t)

y(t) = R sin9(t)

v in relazione all' 9(t) -> v = wR

v in relat all' q(t) -> v = wR

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

{s(t) = s₀ + vtq(t) = q₀ + wt}

la a_t = 0, quindi a = a_Nossia è un moto acc con a ortogonale alla traiettoria

a = a_N = v²/R = w²R

PERIODO DI EVOLUZIONE -> T = 2piR/v = 2pi/w

MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME

ACC ANGULARE -> alpha = a_T/R

VEL ANG -> w = dq/dt

MOTO CIRCOLARE UNIFORM. ACCELERATO

w(t) = w₀ + alpha (t - t₀)

q(t) = q₀ + w₀(t - t₀) + 1/2 alpha (t - t₀)²

MOTO CIRCOLARE -> combinazione di 2 moti armonici sfasati di 90°

=> in c. intrinseche

r = r(s(t))

v = dr/dt = ds/dt dr/ds = v₀ u_t

a = a_t u_t + v_s²/R u_n

in C. POLARI

s = Rgv_s = Rwa_t = R alphav_s² = R²w²a_n = v²/R = Rw²

w = vel angalpha = acc ang

x(t) = s(t) = s₀ + integral from t₀ to t v(t) dtg(t) = g₀ + integral from t₀ to t w(t) dt

v = w x r - prod vettoriale

orarioantiorario

alpha = d w / dt -> la alpha punta verso dove varia w, se w aumenta e concorde, se w dimin e discorde

a = d(w x r) = alpha x r + w x rdt

atan

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QUIZ

1. La velocità in un moto piano:
   • E' sempre rivolta verso il centro della traiettoria
   • Ha sempre una componente normale ed una tangenziale alla traiettoria
   • E' sempre tangente alla traiettoria
   • Varia costantemente di direzione
2. In un moto circolare uniforme:
   • L'accelerazione e' nulla
   • La velocità e' costante
   • L'accelerazione vale a(t) = d^? / dt
   • La velocità varia continuamente
3. Il raggio di curvatura nel caso di un moto rettilineo
   • Vale zero
   • E' infinito
   • Non e' definibile
   • Vale 1
4. La derivata di un versore:
   • E' un vettore tangente alla traiettoria
   • E' un versore ortogonale al versore derivato
   • E' sempre nulla in coordinate polari
   • E' un vettore ortogonale al versore derivato

QUIZ

5. La velocità angolare:
   • Non dipende dal raggio r alla quale e' calcolata
   • E' sempre tangente alla traiettoria
   • E' sempre costante
   • Varia costantemente di direzione
6. In un moto unidimensionale
   • v=v₀+at
   • La velocità e' un vettore
   • L'accelerazione e la velocità sono sempre concordi
   • La velocità e la posizione sono sempre concordi
7. Nel moto parabolico
   • La gittata e' pari a 2 volta la coordinata del punto massimo raggiunto dall'oggetto
   • La gittata e' massima per un angolo q=p del vettore v₀ rispetto all'asse delle x
   • La distanza raggiunta dall'oggetto dipende dall'accelerazione che imprimo all'oggetto quando lo lancio
   • L'altezza massima raggiunta dall'oggetto dipende dipende dall'accelerazione che imprimo all'oggetto
8. In un moto armonico:
   • L'accelerazione e' nulla quando l'oggetto e' in posizione A
   • La velocità e' massima quando l'oggetto e' in posizione A
   • La velocità e l'accelerazione differiscono solo per una costante moltiplicativa
   • L'accelerazione varia continuamente nel tempo perche e' un moto vario

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9. Quale delle seguenti affermazioni e vera:

• a) La velocita media e data dal rapporto incrementale fra il percorso compiuto da un oggetto e il tempo impiegato a percorrerlo
• b) La velocita istantanea e maggiore della velocita media
• c) La velocita istantanea in un punto e data dalla pendenza della retta tangente alla curva spazio vs. tempo in quel punto
• d) La velocita media e quella istantanea in un modo rettilineo uniformemente accelerato coincidono

10. Quale delle seguenti affermazioni e vera:

• a) L'accelerazione centripeta e responsabile del cambiamento di direzione del vettore velocita
• b) L'accelerazione tangenziale e nulla nel moto rettilineo uniformemente accelerato
• c) L'accelerazione in un moto curvilineo vario e sempre rivota verso il centro di curvatura
• d) L'accelerazione centripeta e diretta tangenzialmente alla traiettoria e modifica la direzione del vettore velocita

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