Appunti del corso di Elettrotecnica

Elettrotecnica 1.1 M. Repetto

Capitolo 1 Modello circuitale dei fenomeni elettromagnetici

Questo capitolo introduce il modello a parametri concentrati o modello circuitale di un fenomeno fisico. Il concetto principale di questo approccio allo studio dei fenomeni fisici, non solo elettrici, è l’eliminazione delle variabili spaziali dalla trattazione matematica in modo da ottenere equazioni dipendenti solo dal tempo. Cominciando da un modello di un fenomeno meccanico di facile comprensione, la trattazione si sposta al modello dei fenomeni elettromagnetici. Vengono quindi introdotti i principali tipi di componenti elettrici circuitali e le loro equazioni costitutive, ovvero le equazioni che ne definiscono il comportamento.

1.1 Modello a parametri concentrati

I fenomeni fisici possono essere descritti mediante modelli matematici il cui livello di accuratezza può essere diverso in funzione del risultato che si vuole ottenere. Ad esempio, in un modello del sistema solare in cui si vuole descrivere il moto dei pianeti, il pianeta Terra può essere considerato come una particella puntiforme; al contrario, se si vogliono studiare le maree dovute all’interazione Terra-Luna, l’estensione spaziale della Terra andrà tenuta in conto.

I modelli, entrambi corretti nei loro limiti di applicazione, danno luogo a diverse complessità di calcolo. In generale qualsiasi sistema dinamico dovrà essere analizzato in termini di 3 coordinate spaziali (x, y, z) e di una coordinata temporale t. In funzione di queste variabili indipendenti, saranno espresse le grandezze proprie del problema, ad esempio forze, pressioni, temperature etc.; per ogni punto dello spazio e del tempo potranno essere definite le opportune grandezze scalari o vettoriali.

Le eventuali equazioni differenziali che descrivono il fenomeno conterranno quindi le derivate parziali delle grandezze rispetto alle 4 variabili indipendenti. Per alcune applicazioni è possibile ottenere una semplificazione nelle equazioni del modello attraverso opportune operazioni di integrazione spaziale.

Ad esempio il moto di un fluido in un condotto può essere descritto in funzione del suo campo vettoriale di velocità r r=v v ( x , y , z , t ) , oppure, per certe applicazioni, dove non è necessaria una conoscenza così dettagliata, dal flusso del fluido in una determinata sezione S, r r∫Φ = ⋅ . Come risulta evidente, l’operazione di integrazione spaziale sulla ( t ) v ( x , y , z , t ) dsS Φ superficie definita S, elimina dalla variabile la dipendenza dalle variabili (x, y, z) lasciando solo Φ quella dal tempo t.

Una trattazione matematica del flusso richiede quindi la soluzione di equazioni differenziali dove l’unica variabile indipendente è il tempo; quindi le equazioni si trasformano da equazioni differenziali alle derivate parziali a equazioni differenziali ordinarie con una notevole semplificazione nella loro trattazione analitica e nella loro soluzione.

Questo processo di semplificazione comporta la determinazione di un modello in cui le variabili spaziali sono assenti e come tale viene detto modello a parametri concentrati (come la massa della Terra concentrata in un punto). Nella trattazione dei fenomeni elettrici questo modello viene detto anche modello circuitale.

1.2 Modello a parametri concentrati di un fenomeno meccanico

Un’analisi semplificata del comportamento dinamico di un sistema di sospensione di un veicolo automobilistico presuppone di descrivere mediante un sistema di equazioni dinamiche un sistema i cui componenti principali sono:

• Ruota composta da cerchio e pneumatico;
• Semiasse;
• Sistema elastico per l’assorbimento degli urti;
• Sistema di smorzamento delle oscillazioni.

Il sistema è molto complesso ed esteso nello spazio, le masse sono distribuite su tutti i componenti che sono di materiali e densità diverse; le stesse considerazioni valgono per altre proprietà fisiche come l’elasticità etc.. Nonostante sia geometricamente e strutturalmente complesso, i fenomeni fisici presenti all’interno del sistema sono facilmente individuabili: in seguito ad una forza applicata sul pneumatico (sobbalzo della strada) il sistema, che ha una certa inerzia, accumulerà una parte dell’azione in energia elastica come in energia cinetica. La presenza di elementi dissipativi renderà le oscillazioni smorzate nel tempo.

Se si suppone che il comportamento dinamico venga misurato dallo spostamento della posizione del mozzo della ruota rispetto al telaio indicato dalla coordinata x (Fig. 1), si vuole ottenere una risposta allo spostamento x in funzione della forza applicata.

smorzatore x x=x(F(t),t) molla ruota+pneumatico F

Fig. 1.1 Sistema meccanico di sospensione

Lo studio della dinamica porta ad evidenziare come i parametri importanti nel sistema siano: la massa distribuita nei vari componenti, responsabile dell’inerzia, il comportamento elastico responsabile delle oscillazioni ed i termini viscoso-dissipativi.

Lo studio completo e rigoroso della risposta dinamica del sistema richiede un modello numerico, ad esempio attraverso il metodo degli elementi finiti. Un modello semplificato può però essere sviluppato a patto di ricorrere ad alcune semplificazioni.

Un modello a parametri concentrati richiede di individuare le principali azioni dinamiche e ‘concentrarle’ in parametri senza dimensione geometrica. Si suppone per semplicità di trascurare la rotazione del sistema.

Parametro massa

La massa del sistema è distribuita nei suoi vari componenti (cerchio, pneumatico, semiasse etc.) ma con una certa approssimazione si può assumere che questa sia concentrata prevalentemente nella ruota. Assumendo quindi che l’inerzia del sistema dipenda dalla massa della ruota si può misurarla ed assumerla pari a M.

2d x=F M 2dt (1.1)

Parametro elasticità

Anche in questo caso l’elasticità è distribuita nel sistema (comportamento elastico del pneumatico, elasticità a flessione dell’asse) ma nuovamente si può considerare prevalente quella della molla di collegamento con il telaio. In questo caso il parametro da determinare sarà la costante elastica k da inserire nella legge di Hooke.

el = −F k ( x x )el 0 (1.2)

Parametro attrito (elemento dissipativo)

Diversi sono i fenomeni irreversibili presenti (deformazione plastica del pneumatico etc.) ma quello quantitativamente più importante è rappresentato dall’elemento smorzatore oleo-pneumatico. In questo caso la costante di attrito viscoso dello smorzatore k dovrà essere determinata.

v 2⌏ ⌐dx= ⌎ ⌑F k v ⌏ ⌒dt (1.3)

Considerando le ipotesi fatte, l’equazione che descrive il comportamento del sistema è data da:

2⌐⌏2 dx d x= + − + ⌑⌎( ) ( )k x x kF t M 0el v ⌒⌏2 dt dt (1.4)

L’equazione che descrive il comportamento dinamico del sistema è quindi una equazione differenziale ordinaria in cui l’unica variabile indipendente è il tempo. Nonostante l’equazione sia 2⌐⌏ dx ⌑⌎ , la sua soluzione è molto più semplice rispetto al nonlineare per la presenza del termine ⌏ ⌒dt modello completo del sistema.

Il modello si comporta quindi come un blocco od un componente concentrato di cui è nota l’equazione costitutiva (1.4). Le variabili F(t) ed x(t) sono quindi le uniche variabili descrittive del sistema.

F(t) x(t) 2⌏ ⌐2d x dx= + − + ⌎ ⌑F t M k x x k( ) ( )0el v ⌏ ⌒2dt dt

Fig. 1.2 Componente dinamico

1.3 Vantaggi e svantaggi del modello

Il modello a parametri concentrati richiede di determinare solo 3 parametri dal sistema M, k e k el v consente di ottenere la risposta del sistema attraverso l’integrazione di un’equazione differenziale ordinaria nella variabile t.

A fronte di questi indubbi vantaggi si hanno alcuni lati negativi del modello. Il sistema è descritto dalle sole variabili esterne x(t) ed F(t), mentre viene persa ogni nozione delle variabili interne al sistema, ad esempio la flessione dell’asse, la deformazione del pneumatico, gli sforzi meccanici etc..

Questo limite impedisce ad esempio di verificare se ad esempio nel funzionamento vengono superati alcuni limiti interni al sistema, ad esempio una eccessiva flessione che porta ad una rottura dell’asse. Questi limiti intrinseci del modello vanno quindi verificati a posteriori una volta ottenuta la risposta dinamica.

1.4 Modello circuitale dei fenomeni elettromagnetici

L’analisi del campo elettromagnetico comporta la soluzione delle equazioni di Maxwell (Teorema di Gauss, Circuitazione di Ampere, Legge dell’induzione elettromagnetica) le quali sono equazioni differenziali alle derivate parziali e forniscono come soluzione gli andamenti dei campi vettoriali campo elettrico e magnetico, induzione elettrica e magnetica in funzione delle sorgenti: cariche elettriche e densità di corrente.

La soluzione ricercata quindi in questo caso è un campo vettoriale con 3 componenti spaziali ciascuna delle quali funzione di (x, y, z, t). Esattamente come nel caso precedente una operazione di integrazione spaziale può rendere più semplice la soluzione, ovviamente in questo caso le variabili integrali saranno legate ai fenomeni elettrici e magnetici.

Nel caso elettromagnetico le variabili che vengono utilizzate per una trattazione a parametri concentrati sono le correnti elettriche nei conduttori e le tensioni elettriche ovvero le differenze di potenziale elettrico tra due punti, entrambe queste grandezze sono funzione della sola variabile t.

Il metodo circuitale elettrico ha molte analogie con il metodo a parametri concentrati utilizzato in idraulica dove alla corrente elettrica corrisponde la portata di fluido in un condotto e alla tensione corrisponde la caduta di pressione o perdita di carico tra due sezioni del condotto.

Esattamente come nel caso del fenomeno meccanico della sezione precedente, le variabili ai morsetti tensione e corrente saranno legate tra di loro da un’equazione differenziale che esprime la natura del fenomeno elettromagnetico in questione. Questa relazione viene detta equazione costitutiva o equazione ai morsetti.

Anche in questo caso si parla di componente ogniqualvolta un fenomeno elettromagnetico è descritto dalla sua equazione costitutiva.

1.5 Componente a parametri concentrati

Una caratteristica che differenzia i fenomeni elettromagnetici dagli altri fenomeni fisici è la loro estensione spaziale anche in regioni molto distanti dalle sorgenti. Prima di poter affrontare lo studio di un fenomeno elettromagnetico mediante la tecnica dei parametri concentrati è necessario delimitarne l’estensione spaziale.

Si definisce come fenomeno elettromagnetico confinato un fenomeno elettromagnetico in cui i r r r r, , , sono racchiusi all'interno di una superficie limite. vettori dei campi elettrici e magnetici E D H B

Il fenomeno elettromagnetico racchiuso entro la superficie limite può scambiare energia e potenza con l’esterno solo in un numero limitato di connessioni elettriche dette morsetti. Attraverso queste connessioni è possibile scambiare correnti elettriche o interagire con tensioni elettriche. La situazione è rappresentata in Fig. 3.

superficie limite E, D H, B morsetto

Fig. 1.3 Fenomeno elettromagnetico confinato

Le interazioni del fenomeno con l’esterno attraverso i morsetti sono quantificabili e misurabili. Le grandezze corrente e tensione sono grandezze scalari e nel sistema di misura internazionale (SI) si misurano rispettivamente in Ampere [A] e Volt [V].

Il componente più semplice in termini di numero di morsetti è il dipolo caratterizzato da due morsetti. In genere il componente viene rappresentato graficamente dalle sue connessioni esterne ed a un blocco che rappresenta la superficie limite del componente, come in Fig. 4.

Fig. 1.4 Componente dipolo

Per il componente dipolare è possibile definire un valore di corrente che lo attraversa ed un valore di tensione, essendo la tensione la differenza di potenziale tra i due morsetti.

In generale i fenomeni elettromagnetici possono essere espressi da modelli più complessi dove le interazioni con l’esterno sono definite attraverso un numero n di morsetti. Si parla in questo caso di componente n-polare. Nuovamente le tensioni saranno definibili dalla differenza di potenziale tra i morsetti. In generale si prenderà un morsetto come riferimento, denominato solitamente 0, e sarà possibile definire n-1 valori di tensione e di corrente, come in Fig. 5.

21i i1 2v 1 v20

Fig. 1.5 Componente tri-polare

1.6 Grandezze ai morsetti

Elettrotecnica 1.5 M. Repetto

Come definito in precedenza, le grandezze ai morsetti, tensione e corrente, sono grandezze scalari, rappresentate quindi da numeri reali che possono però avere un segno. Indipendentemente dalle considerazioni fisiche, relative ad esempio al segno dei portatori di carica che attraversano una determinata sezione, il segno da attribuire alle grandezze ai morsetti può essere definito arbitrariamente. In sede di risoluzione del circuito la corrente o la tensione potranno risultare positive o negative se sono rispettivamente concordi o discordi con il verso assegnato.

Graficamente il segno di una grandezza ai morsetti è indicato con una freccia che punta verso la direzione positiva. Nel caso della tensione si può utilizzare anche il segno + o − per indicare la polarità. Alcune possibili segni grafici sono riportati in Fig. 6.

+i(t) v(t) + v(t)v(t)- -

Fig. 1.6 Segni grafici per indicare le grandezze ai morsetti

Le grandezze ai morsetti i(t) e v(t) sono poi legate da un’equazione costitutiva che è caratteristica del fenomeno elettromagnetico contenuto nel componente. Le equazioni costitutive sono in generale date da equazioni differenziali ordinarie e possono essere espresse come:

=i i ( v , t ) (1.5)

oppure come

=v v ( i , t ) (1.6)

Nel primo caso la variabile indipendente è la tensione v, mentre nel secondo caso è la corrente i. In funzione del fenomeno elettromagnetico, alcuni componenti potranno essere descritti meglio dalla forma (1.5) o (1.6), come verrà visto in seguito.

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Capitolo 2 Componenti circuitali

In questo capitolo si introdurranno le principali tipologie di componenti dei circuiti elettrici. Verranno definite diverse classificazioni dei componenti e se ne scriveranno le equazioni costitutive che legano le variabili tensione e corrente. Si descriveranno le principali caratteristiche dei componenti resistore, condensatore, induttore e dei componenti generatori.

2.1 Classificazione dei componenti

I componenti a parametri concentrati sono modelli matematici di fenomeni fisici. Ogni fenomeno fisico reale ha però una risposta che dipende da più fenomeni agenti contemporaneamente. Nel caso del sistema di sospensione dell’autoveicolo, accennato nel capitolo precedente, interagivano contemporaneamente l’inerzia, l’elasticità e l’attrito. Questo ha portato alla scrittura di un’equazione differenziale molto complessa. Riuscendo ad enucleare un solo un tipo di fenomeno fisico (ad esempio la molla) si riesce a ridurre la complessità dell’equazione costitutiva.

Una classificazione dei componenti circuitali deve quindi passare prima per la definizione dei fenomeni fisici elementari che si vogliono descrivere e poi per la loro descrizione matematica. I componenti elementari che sono di seguito considerati sono dipolari cioè caratterizzati da una sola coppia di valori tensione-corrente. Alcuni componenti elettronici sono invece intrinsecamente tripolari, come ad esempio il transistor, ma non vengono qui presi in considerazione.

2.1.1 Componenti reali e ideali

Una prima classificazione è già stata introdotta e può essere fatta tra componenti reali ed i loro modelli matematici che contengono un certo grado di astrazione. Una molla realmente costruita avrà una sua elasticità e risponderà alla legge di Hooke ma, essendo fisicamente esistente, non potrà essere priva di massa e quindi avrà una risposta dinamica in cui il termine di inerzia è presente. D’altro canto la molla teorica che viene utilizzata in fisica si può supporre sia priva di massa e quindi si costruisce la molla ideale il cui comportamento è approssimato dalle molle vere.

Al fine di costruire un modello matematico, è conveniente lavorare con componenti idealizzati, la cui risposta dipende solo da un fenomeno. Gli altri fenomeni presenti nei componenti realmente costruiti vengono solitamente chiamati effetti parassiti.

D’ora in poi, salvo diverso avviso, i componenti considerati saranno ideali. Si vedrà in seguito come il comportamento di un componente reale potrà essere approssimato da un insieme di componenti ideali collegati insieme.

2.1.2 Componenti utilizzatori e generatori

Una classificazione dei componenti può essere effettuata in base al loro comportamento energetico. Si può facilmente intuire come alcuni dispositivi siano passivi, cioè non in grado di avere un comportamento dinamico se non sono attivati, almeno in una fase iniziale, da un apporto energetico esterno. Ad esempio il sistema di sospensione visto in precedenza, può dare luogo ad oscillazioni, ma deve essere attivato da una forza esterna che lo sposta dalla sua posizione di equilibrio.

Nella terminologia elettrica, i componenti passivi sono chiamati componenti utilizzatori mentre i componenti attivi, cioè in grado di fornire potenza ad altri componenti ad essi collegati, vengono chiamati generatori. Come si vedrà nel seguito,