Appunti Analisi matematica 2

Teoria del corso di analisi 2Analisi Matematica IIUniversità degli Studi Niccolò Cusano (UNICUSANO)68 pag.

Richiami numericiSerie Ganz InRealiData terminisuccessione di sommadeiseriechiamauna numeri si an Chesilegeinfiniti Te r m i n ideflaDegfi conlasuccessione indicatavieneserie; an"somma)"Serie Per daLo COcheva DiAO ann Esn3La dettaSo Go= successioneDalle ParzialiSuccessioneSi della Seria= + 920 Sommelimiteil diS2 Se Esiste persua= +anear+ a) + Alfora N&an inninanSe +... ta0= + a11 chela1) ASeriePimsn-Per ConvergesidiceSelim che la21 Diverge ASariedicese Si asu ++ 8=ton - Chela3) Pin DiceSi Diverge ASnSe Serie-c= oPim On E'indeterminata4) irregofare)loSeriadicesi chesusa esistanonn +5- AploraEsempio (t)"2 2In FLEIN Convergeand an: a I&d 2O Quindi anEsempios AUn1 1 An EIN +adivergeha SnSean EIN Si che: n ,+= = n 0=QuindiEsampion Sean--1 A-(n Diverge1)SnSihache &En VneINel , -+= ann 0=Pari↓ Se nEEsempios indeterminate"UneIN anan-(1) ha cheSe si =>: Snoo disparise n1So 90 == 1 (1)Se +a0= +a = 0- =S2 11)( 11++a0 += a =az+ = -, 1)S3 ((1) 11 0ao ++az =+ ++ -= a =Serie geometricheSerie anLa detta Serie geometricarecon at set1-[1 94Sn q"+9 ++...+ -= - 11S9 =n + convergente-[ 191seconsomma)Sque aDiversenteNonsisteSc95-1 Indeterminata Se94-" Essendo enEsempio some: conversa il infinitesimoAffinch termineCondizione generatecheseria econverganecessaria siauna an)Covvero Porn-an +-0 laperForniscono sufficientideplaci Sono CriteriPoi converganzacondizionicheDai1) dell'assolutaCriterio del rapport criterio convergenta3 Ocibritcriteriodelta2) termini dicriterio radica serie adel3) confrontocritario -negativinondel4) confronte termini Variabilecriterio Serie diasintotico SegnoaCriterio RapportodeSiano an e Adorbe conversantidue KERNumeriche asinseria .e21 ka1) :+bu ancheSa D(Stessakan DiversatNis aconversantean perconversante cosa:serie (Cioc' con DefinitivamenteDefinitivamenteterminiuna A negativi an30nonan0n= !Indeterminatapro:odivergeconversa +co Non esseraa DeserieDefinitivamenta Quindi Divergeo A neanzo ConvergeEsempio 3n infinitesimahisto + Pasaric Dave essure=1 = convergenon- nas Per converseeDelCritario rapporte aSia Definitivamente Cheimans Supponiamoo e an121 EanalloraSe converge- [anallora131 divergese- Critario(Bisogna& tutto Cambiaree PossibileI-se = SarieEsempio dellaCarattere: ilstudiare: easlaQuindi SericConversesarieEsempio carattareStudiare: dallaifto1) n(n !+Possiamo laconcludereQuindi ConsiderataSerieche ConverseSerieDalla:1Esempio Studiare3 Carattere: 2)(2n !+ 1) (2n) !2)(2nin (2n +Dim + -In-Pin (2n&1) n2"xne 2 (n !+ +.22n ! laPossiamo concludere Seria Considerate divergequindi +2che adefla RadiceCritario - anillingsia cheDefinitivamente supponiamoeanzoallora [an-sell Converge131 Sanallora diversese- Criterio(Bisognatutto Possibilea1 CambiareSe- 1+ seriesEsempiol if dellaStudiare Carattere: GlogntItSan-PSGs[loga) Doim =SerieEsempion dellaStudiare: CarattereiflinSae :i diverse Aserie a+a:toPro essere utile Ricordere checonfrontoCriterio del dedefinitivamentesupporiamo ralgonoaffora implicazioniansbnsoche segmenti[an[bn1) convergeConverge => Ebn diverse AA[an +2) aDiverge + Generate valyonoininverseimplicationLeBN Non. : >eBSeria Armoniche generalizzata C> OSc2 1=Converge- natio eBScC />Converse Diverse se <2Diverge C 1=So longserieifEsempion dellacarattereStudiare:(n) Par nzogniOsConverge achecoilDunque convergeconfrontdelcriterio checiassicureSeriesEsempion dellaif canatterstudiare: Ostege n DefinitivamenteMoslogna >"definitivamente DefinitivamenteQuindiConversa Equindi confrontdapil criterio eche fromconcluderecipermette conversediConfronto del criterio asintoticoDate 2 bon definitivamente positiviterminisuccessioni sean a ,eLovvero Pin~bnan SeAltora le lo CarattereEbncorrespondenti entrambeEan hanno stessoSerie cive sono,e oSerieEsempio1 Studiare if dellacarattere:an bn )no con m (infattiPin non an3 3r i-& I )CarmonicaE 1)generalizzataconverse =>ConcG2 Convergen =1 eiEsempion serieif deffncaratterestudiare: unE(x) ema(x)Pim I2 a(x)Per- >- 0orveroE(x) 09(x)- et(Intatti PinY. =Yet-converseConversa col)-(Armonica igeneralizzataformulazioneOSS1 Esiste generate criterioquestodipin: unaFare AsintoticheStime stifuppiglistructurePro taylordiNel necessarioOSS2 essure: assolutatermini VariabilediSegno convergentaserie a : Elanassofutamente InseriaEanuna conversanteSidica sesaria conversela alloraseria assofutamenteSa ConvergeTe o r a m a conversa ,: anl generatein: nonViceversa vero, , )sin(n !&dellaEsempio Studiare Serie1 if carattare: nuSin Cisin 2 coconfrontconverge perdefcritarioConfronto .since C SinSinc Converge! ) Converseof Inu Criterio AssoOntadef confronto ConvergentaserieEsempio2 : Studiare if carattere delle71- I Consernot /Converse& imI3 n(2n 2n+ ⑪+& >( ,- ~ Assolutain defconfronto+ ConversenteL sintoticocriteriaan anSerieifEsempios dellacarattereStudiare: n 2n+- 12n2 3+(3 ,+ -mn non converge+C , ↳3 2n- +Criterio Quindiconfrontidef No coveraintoticoAsCriterio LeibnitdiEan3 successioneSia Che :una supponiamoe1) Definitivamenteano2) peran not0 so3) Definitivamentean SanSarielaAppara Can aa convergene sarieEsempio 1 depenStudiare if Chrattere: nec)(visto) Painfinitesimo(essendo chean Positivo !positivon= e convergeserie3 aCrescente) ilPer(essendo criterioInoftre ne didecrescentean leibritdeflasariEsempiol ilStudiare incaratture: a(Rapportodefinitivamenta di quantitaPositivo Positivean numeratore)Infinitesimo ED (Grado Denominatore >gradola assolutamenteE non ean !Quindi serie conversaen Sostituisco E Scompongo6 denominatore2)z)n 1)(n(n 1)n(n)(nn(n ++ ++ -< nen 1)(n ])2) +1)(n+ multiplicato+ A sinistra destraza 2)n(n (n1)Per + +(nns(n-1) decrescentedefinitivamenteh) e+ =n 2 ann =funtionidiaccessione naturalee dipendentiun'insiemeSuccessione di rediNumeri:numeriche numero3an-San az,as ,, .... 3Ei=- ......,Iim ann -En IGIRGIR: Fn(x)Es 1]50: = , 3* . .Ex ...An(x)analiticaEnterpretation ,: :Interpretation Geometrica : Frit *Ey :O P(x]In(x) ??-YnDef IGIR-IR funzioneSuccessione disia :: EinCal3laEn Puntualmente ediremmo Succche seI convergentein eaConverge .· En(a)-P(a)FIn Va e lPuntualmente I-IR Seconverge :a· l'estremoEn uniformamente F IIR se superioreconverge :s· F(a))Sup(In (a) - 70I gnE -Esempio !In 1][0 IR: -. Pn(x)-[x E4x +- , ....... XFi1] X ·ac[o Enca) -0= q, * *E :froX PuntuapaConvergenta> &UniformementeConvergente : i ↑O a !↑ F()n(c) -Sup-0-1 301] laac[o funzione sulla quale, andremmo conversereala funzione nullaindenticamentesarcEsempio 2 "x[cos(x)]Fn(x) +]So= , ]cos'(x)[Cos(X) cosX) ....., ., i]ac[0 , (os(o)]" 1En PuntualmenteConvergara1 )=(0)se ==aso =. En(o)(Cosca)(< TSe0La )1 = o< -. [cosCs]" (1)" InCH)T non converse=Sca <x= >-· ↑En(x) Idave Xdeve inconversee anchemase convergene :non convergereEsempio 3 &En e-nx1] An(x)[0 -IR: =, I0evIn 1(0) == ↑ (x)In(a) 0-+ 0a 3Tc o r c i a limiteFrnzionela deve continua& essereaffurcfo f In ↑uniformementese Continuacontinue Se Sono Inde funtionePerche Continuesinomiformesemplicamente5Esempio equesto= conv manon uniforme↑ Funtionetossela &Sarrebbefunzione discontinua stataquestatendono convergeza asea 90 eContinua nonmaEsempio Y↑n En(x)1)[0 anxIR: nx=. - .Pn(x) F Puntualmente= 0- -UNIFORMEPin -S((a)uxnxeSup muXe[0 1), in(x) nx) Ine(lnxXEn(x) estremo dellasuperioreXneiux derivata=-:= -3 Le(h)in(x)Sup En en: = - :1][0Xe ,UNIFORMEPin -S((a) OSuprisultafinite volil uniformezero dire echenon non Xe[o 1], In(x)Serie di Fourierdi Ta y l o rPotanzedi ePuntuale>In -an Convergenza Uniforme↳ kSt :convergente>-Zan Elanbassolntamente conversanteFr IRI:Si(a)-ncla Ejnexy Pintualmentediremeno Serieche ConverseSk(a)la Conversantese successione ↑funtione Secerta Sk(a)convergediremmo queste numericache a succconverse comeF(a)associate a ladefinite [th(x)assoluta risulta[linx))Possiamo Convergenteconvergenta assolutamente: seconversanteEsempio In x: 1](x) Xe [0diSupponiamo: area = nxe ,serie nx.e)lavogliamo causestudiareYS (x) Xe=, 2x* 2xcSz(x) +Xi=: kxe * -2xe kxa+St(x) + +....=xe) cost iconPuntualmentePho Cont Ouniformente evX)con: [1nxenx[mx Ass cour seSerie PotenteDi (xcoDes Potente contro aer edi diDa Serie cn: 1Cn2xn =es n o= a = 0 ConvSe-1XSeriees ( =a = 0 [1vSerie Scot =XI Perx< 1Converge =ParX 122+ == -[(2x)"abbiamo CX =CSe 2x<0 Serie Convergese-1a = 2 X- <Ca,b) la uniformementealloradi inPotentaSe convergentaConverge convergeserieuna Casb)e limitatointervalloin inSotto chiusoOgni [Cn(x-a)"Daf PotenteSia Seriedi Elan)x"il convergente3Il edella sup2X30seriodi :convergentaraggio [(2x)"Esempio Precedente Convergese-12xSerie: 2 X- <teIl di convergentaraggio assulutamente(x-alh intervallo[CnTe o r e m a Chinsoin: ogniconvergePimitato P)(a-pe di a+, &ofRaggio PimConvergenta Sodi :done=Sel allora P 2= += 01 PalloraSe &+= r= SimSau 220[21 x =an& . ato : n a+- (2)di -Ecanraggio=> essererisulta di= = traitvalorealcanU = UniformeUniformeb][a ,Intervallo -limitatoChinsoa 0=n Se abbiamoan =Per &determinare = -jit) (g)5(5 j) (y s + .,- =Ph a =Serie Ta y l o rdi PuntionecoFe infiniteVol= dire che derivataquo VoltaesserequestaIXoela Fdi CentroTa y l o r Xodi diSerie : &* la (x)F derivataRotations n. esima(x0)(x Xo)"a -2 dif! Calculata inn Xon r=P a= funtioneOn altro svilfupoTa y l o r edi che Potenzeseria diserie di unaunononxxf(x) =(x) ex Xo 0: =Vn9'(x) FeX 1(0) == =>1&n ! ).....-FourierSerie di funzioneFourierLa Sviplupo Funzione tramite inSerie trigonometrichedi diserie cuiSeriee compagnonouno ,realta periodicheSia descriverein approssimare cheuna serie sianoper o8 LitPeriodicadiavere IR-IRSupponiamo Periododi: "a safto"tratti discontinuitcontinua dinumerocon una & f(x) X=& iT][01x ,3P(x)O = 0)I D IXE(- T ,--TO&FunzioniRichiami Seno coseno, coefficiati Fourier: Definiamotratti.J dadatidiPeriodica/RAIR Continua sono:25 ae: . T# * S f(x)cos(x)dxak cos (k) =ex:= - a) -* by-bt (k+(x) sen >:= -= formierdi data dJdiLa eserie beakcos(kx) +Te o r e m a intervallodenivab