Appunti Analisi matematica 2

Le serie numeriche

{ }Sia una successione di numeri reali. Definiamo serie numerica la scrittura: ∈ℕ +∞∑ =1Σ

Attenzione: il simbolo prende il nome di simbolo di sommatoria e fornisce un metodo comodo per indicare una serie. Comodo ma non unico: nulla mi vieta infatti di poter scrivere esplicitamente la somma come: + + + ⋯ + + ⋯1 2 3 , , , ….

Questa scrittura rappresenta una somma di infiniti addendi. Ma l’operatore di somma si effettua tra un numero finito di addendi. A tal proposito introduciamo a partire dalla successione una nuova successione così definita: = ; = + ; . . . ; = + +. . . + ; . ..1 1 2 1 2 1 2 { }

Tale successione indicata con prende il nome di successione delle somme parziali della serie ∈ℕ+∞∑ .=1 { } lim Una volta costruita tale successione si passa al limite per n che tende a +∞, cioè si considera →+∞e si pone: +∞lim : = ∑ →+∞ =1

Nota:

• La successione dei termini della serie si dice termine generale della serie { }
• La successione detta successione delle somme parziali

Carattere di una serie

Abbiamo definito la serie di termine generale come: +∞lim : = ∑ →∞ =1

Avendo a che fare con un limite si possono avere quattro possibili casi:

• 1- +∞∑lim è un numero reale finito L. In tal caso diremo che la serie è una serie convergente =1→∞e si dirà che la sua somma vale L, cioè che la somma è pari al risultato del limite.
• 2- lim = +∞, cioè il limite della successione delle somme parziali è un infinito di segno positivo. In→∞ +∞∑ tale eventualità la serie si dirà serie divergente positivamente.=1
• 3- +∞∑lim = −∞. In questa circostanza la serie si dirà divergente negativamente. =1→∞
• 4- lim non esiste. Nell’eventualità in cui il limite della successione delle somme parziali non→∞ +∞∑ dovesse esistere, diremo che la serie è una serie irregolare o indeterminata.=1

Proprietà delle serie

{ }Data una successione di numeri reali, le serie numeriche: +∞+∞∑ ∑ e con k>1 =1 =hanno lo stesso carattere. In parole povere il carattere (cioè l’essere convergente, divergente o irregolare) di una serie non cambia se si trascura un numero finito di suoi termini.

+∞∑ { } ∈ ℕUna serie si dice di segno costante se per ogni i termini della successione numerica =1 hanno tutti lo stesso, ovvero sono tutti positivi o tutti negativi, quindi in particolare:

• Avremo una serie a termini positivi se per ogni i termini della successione sono tutti ∈ ℕ ∶ > 0.positivi, ovvero per ogni { } ∈ ℕ
• Avremo una serie a termini negativi se per ogni i termini della successione sono tutti ∈ ℕ ∶ < 0.negativi, ovvero per ogni

Più nello specifico diremo che:

• { } ∈ ℕ- Una serie è a termini non negativi se i termini della successione , sono non negativi ≥ 0.(ovvero sono positivi o nulli), cioè se per ogni n numero naturale:
• { } ∈ ℕ- Una serie è a termini non positivi se i termini della successione , sono non positivi, cioè < 0.se per ogni n numero naturale:

Una serie si dirà definitivamente positiva se da un certo indice in poi (diciamolo k) la successione associata{ } ≥ : > 0.alla serie, ossia , è a termini positivi, ovvero per ogni si ha che (Analogamente vale lo stesso discorso per una serie definitivamente negativa)

Attenzione:

Una serie di segno costante non può essere irregolare, cioè una serie di segno costante converge o diverge, in particolare:

• Una serie a termini positivi (o definitamente positivi) o converge o diverge positivamente;
• Una serie a termini negativi (o definitivamente negativi) converge o diverge negativamente

Come capire se una serie è a termini di segno costante

> 0Si pone e si risolve la disequazione trovando gli I modi principalmente sono tre: { }intervalli per cui è positiva e { }1) Studio del segno tramite disequazioni quelli per cui è negativa.

• 1) Studio del segno tramite disequazioni
• 2) Studio del segno tramite le proprietà delle funzioni elementari
• 3) Studio del segno per induzione (da usare solo nel caso i punti 1) e 2) falliscano)

Esempio

Metodo uno: studio del segno tramite disequazioni

2 +3+∞∑Consideriamo la serie .=0 −12 +3 = > 0.Posto , poniamo Risolvendo tale disequazione si ottiene n>1. Poiché la nostra serie −1 parte da n=0 e per ogni n>1 abbiamo visto che è strettamente maggiore di zero, si ha che la nostra serie è definitivamente positiva.

Condizione necessaria di Cauchy

Trovandoci di fronte ad una serie numerica di cui dobbiamo studiare il carattere, la prima cosa da fare (tranne in alcuni casi proibitivi) è quella di controllare che sia verificata la condizione necessaria per la convergenza (spesso nota come condizione necessaria di Cauchy).

+∞ +∞{ } ∑ ∑ Sia una successione di numeri reali e la serie numerica ad essa associata. Se =1 =1converge, allora il limite della successione del termine generale vale zero:lim = 0→+∞

+∞∑ In modo del tutto equivalente: condizione necessaria (non sufficiente) affinché la serie converga è=1{ } lim = 0.che la successione del termine generale sia infinitesima, ovvero, →+∞

A noi interessa la negazione di questo criterio:

Teorema di non convergenza

+∞∑ Sia una serie numerica, se risulta:=0 lim ≠ 0 ⇒ la serie non converge→+∞

Ovvero, se il termine generale della serie non tende a zero la serie non converge.

Nella pratica, trovandoci di fronte ad una serie numerica di cui dobbiamo studiare il carattere la prima cosa da fare sarà calcolare il limite e fare un’analisi preliminare: se tale limite è uguale a zero, nulla possiamo dire sul carattere della serie; se tale limite è diverso da zero, possiamo affermare che la serie non converge.

Le cose cambiano di gran lunga se ci troviamo di fronte ad una serie a segno costante, per cui è fondamentale saperle riconoscere.

+∞∑ Se siamo di fronte ad una serie a termini (definitivamente) positivi e il limite del termine generale=1lim ≠ 0,non vale zero, cioè allora possiamo affermare che la serie diverge positivamente.→+∞

+∞∑ Analogamente, se siamo di fronte ad una serie a termini (definitivamente) negativi e il=1lim ≠ 0 allora possiamo affermare che la serie diverge negativamente. Questo perché, come abbiamo→+∞visto, una serie a termini (definitivamente) positivi non può essere irregolare, cioè può solo divergere positivamente o convergere. Quindi se non dovesse essere soddisfatta la condizione necessaria di convergenza essa non può convergere e l’unica possibilità è che essa diverga positivamente.

(Vale discorso analogo per le serie a termini (definitivamente) negativi)

Esempio

+1+∞∑Determinare il carattere della serie =1 +3+1 =Posto andiamo a verificare se è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza. Poiché: +3 +1 = =1≠0 +3→+∞

Non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, possiamo affermare che la serie non converge, senza{ }dire (per il momento) nient’altro. Osserviamo però che la successione sia a termini positivi, infatti posto +1 ≥0+3 < −3 ≥ −1 +∞,Tale disequazione è soddisfatta per e poiché nella serie n varia da 1 a la serie è a termini definitivamente positivi. Non potendo essere irregolare (perché a termini definitivamente positivi) né convergente (perché non è verificata la condizione necessaria di convergenza) essa necessariamente divergerà positivamente.

https://www.youtube.com/watch?v=NJ4O1n3zcmg (video dove spiega bene serie geometriche e telescopiche)

Serie geometrica

Sia q un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione q la serie:+∞ ∑ =0

Di tale serie, semplicemente guardando il numero reale q, sappiamo praticamente tutto! Infatti:

• Se la ragione q è minore o uguale a -1, la serie geometrica è detta irregolare
• Se il modulo della ragione q è minore di 1, ossia se -1 < q < 1, la serie geometrica converge ed ha1per somma 1−
• Se la ragione q è maggiore o uguale a 1, la serie geometrica diverge positivamente

-1 1irregolare converge diverge positivamente

Esempio

2+∞∑ (− )Determinare il carattere della serie e se converge determinare la somma.=1 3 2−Siamo di fronte ad una serie geometrica con ragione q= che è un numero compreso tra -1 e 1. Sappiamo già3che essa converge, ma osserviamo che nella serie geometrica assegnata n varia da UNO a più infinito e non da zero! Nel calcolo della somma dobbiamo quindi tener conto di questo fatto e sottrarre il termine:020 = (− ) = 13

Dunque, la somma della serie sarà: 1 3 2−1= −1=−1− 5 5

La somma dei primi N termini della serie si calcola così facendo:+∞ +11 − ∑ = 1−=0

Serie telescopica

Si dice serie telescopica una serie del tipo:+∞ +∞∑ ∑( − ) ( − )oppure + = + =1lim ( )Se esiste ed è finito allora tale serie converge ed ha come somma:→∞ + +. . . +1 2 + +. . . +Dove k è quel numero all’interno della definizione di serie telescopica e si ottengono1 2 sostituendo i valori 1, 2, …, k al posto di n nel termine .

Esempio

1 1+∞∑ ( − )Verificare che la serie è convergente e determinare la somma.=1 2 2 (+2) +∞∑ ( − )Osserviamo che la serie proposta è una serie telescopica, poiché è del tipo con= +1 1 = = =e . + +22 2 (+2)

Dato che il limite del termine generale esiste ed è finito: 1lim ( ) = lim ( )=0 2→+∞ →+∞

La serie data converge, e la sua somma è data da: + +. . . +1 2 1 1 1 + = = 1 = =Essendo in questo caso k=2 la somma sarà data da . In particolare, e ,1 2 1 22 21 2 41 5 + = 1 + =dunque la somma sarà 1 2 4 4

Serie di Mengoli

Una particolare serie telescopica è la serie di Mengoli:1 1 1+∞ +∞∑ ∑( ) ( − )o equivalentemente=1 =1(+1) +1

La seconda forma ci permette di vedere immediatamente che si tratta di una serie telescopica. Dato che il limite del termine generale è evidentemente finito, 1lim ( ) = lim ( ) = 0 →+∞ →+∞ = 1.la serie di Mengoli converge ed ha per somma 1

Serie armonica

Si dice serie armonica la serie: +∞ 1∑ =1

Si vede immediatamente che è una serie a termini positivi, e si dimostra che essa diverge positivamente.

Sia α un numero reale. Si dice serie armonica generalizzata la serie:+∞ 1∑ =1

Anch’essa, indipendentemente dal valore di α, è una serie a termini positivi e come tale non potrà essere una serie irregolare. Possiamo essere più precisi e dire che tale serie:

• Converge se α>1
• Diverge positivamente se α≤1

Mentre per α=1 si ottiene la serie armonica.

Sia α un numero reale positivo. Si dice serie armonica a segno alterno la serie:+∞ 1−1)∑( =1

Tale serie converge per α>0.

Sia un qualsiasi numero reale. Si dice serie armonica modificata la serie:+∞ 1∑ (log())=2

Tale serie:

• > 1 ∀- Converge per = 1 > 1
• Converge per = 1 ≤ 1
• Diverge positivamente per < 1
• Diverge positivamente per

Esempio

Determinare il carattere della serie: +∞ −5∑ =11−5 =Molto semplicemente basta osservare che: . La serie considerata altro non è che la serie51+∞∑armonica generalizzata , con α= 5>1, e come tale converge.=1

Serie a termini positivi (necessaria verifica)

Criterio del confronto: secondo Schirru

∑ ∑ , ≥ 0), ≤ Siano e due serie a termini positivi ( inoltre . Allora:

• 1) Se la sommatoria di converge allora converge anche la sommatoria di
• 2) Se la sommatoria di diverge allora diverge anche la sommatoria di

Dimostrazione: + ∈ ℝ = ∑ = ∑ → 0 ≤ ≤ =0 =0 è limitata e crescente, perciò essa converge (∑ converge).

Esempio

1+∞∑Proviamo a determinare il carattere della serie: =1 2 +5+3

Dopo aver verificato che si tratta di una serie a termini positivi, procediamo con la maggiorazione:2 2 + 5 + 3 > Passando ai reciproci ne ricaviamo: 1 1<2 2 + 5 + 3 1 1 = =Dove, e 2 2 +5+3 <

Ci siamo ricondotti alle ipotesi del criterio del confronto: . E dato che la serie 1+∞ +∞∑ ∑ = è convergente, per il criterio del confronto la serie di partenza converge.=1 =1 2

Criterio del confronto: secondo YouMath

+∞ +∞∑ ∑ a ≤ bSiano due serie a termini (definitivamente) positivi. Se vale definitivamente, n n=1 =1possiamo dire che:

• +∞ +∞∑ ∑ - Se diverge (positivamente) allora diverge (positivamente) =1 =1
• +∞ +∞∑ ∑ - Se converge allora converge =1 =1

Cominciamo con alcune importanti osservazioni:

• ≤ 1) definitivamente vuol dire che tale diseguaglianza non deve necessariamente valere per ∈ ℕ,ogni ma deve valere da un certo indice in poi
• 2) In “diverge positivamente” la parola “positivamente” è messa fra parentesi perché, essendo per+∞ +∞∑ ∑ ipotesi le serie a termini positivi, come tali se dovessero divergere, =1 =1necessariamente divergeranno positivamente
• 3) Se in un esercizio ci trovassimo di fronte ad una serie a termini negativi dovremmo trasformarla in una serie a termini positivi, fatto ciò possiamo tranquillamente utilizzare il criterio del confronto
• 4) L’enunciato del criterio del confronto ha al suo interno due serie, mentre negli esercizi avremo sempre da studiare il carattere di una sola serie

Esempio

1+∞∑Determinare il carattere della serie: =1 2 +5+3

Verifichiamo innanzitutto che sia soddisfatta la condizione necessaria di convergenza:1 =02 + 5 + 3→+∞

Essendo soddisfatta non si può dire nulla sul carattere della serie. Notiamo che sia però una serie a termini positivi, quindi procediamo con il criterio del confronto:2 2 + 5 + 3 > Passando ai reciproci ne ricaviamo1 1 1 1< = , = 2 2 2 2 + 5 + 3 + 5 + 3 1+∞∑ =Ci siamo ricondotti alle ric