Analisi matematica 2 - Appunti

Appunti di Analisi 2

Indice

• Integrali lineari 2
• Teorema di Dini, o della funzione implicita 5
• Forma scalare a due variabili 5
• Forma scalare 6
• Forma vettoriale 7
• Superfici parametriche 10
• Superfici parametriche 10
• Tecniche di calcolo sulle superfici parametriche 11
• Superfici congruenti, equivalenti, anti-equivalenti 11
• Tecniche di calcolo su superfici congruenti 12
• Teorema del rotore 14
• Teorema della divergenza 15
• Equazioni differenziali ordinarie 17
• Equazioni differenziali lineari 22
• Tecniche di risoluzione 26
• Massimi e minimi liberi e vincolati 30
• Serie e successioni 36
• Serie numeriche 36
• Serie a termini positivi 39
• Serie e successioni di funzioni 44
• Successioni di funzioni 44
• Proprietà della convergenza uniforme 46
• Serie di funzioni 47
• Serie di Taylor 50
• Serie di Potenze 51
• Serie Binomiale 59
• Serie di Fourier 60
• Formule varie 63

1 Integrali lineari

2→γ : I R˚⊆ 6 ∈

Definizione 1.1. Siano I R intervallo tale che I = , t I t.c. γ sia derivabile in∅, 07→t (γ (t) , γ (t))_{1 2}t. Poniamo:

0 0 0ν (t ) = (−γ (t ), γ (t )) (1.1)γ 0 0 0_{2 1}0 6

Se γ (t ) = 0 la (1.1) si dice vettore normale a γ in t .₂0 0

RNB: 0·ν (t ) γ (t ) = 0γ 0 o −₁0 0

0ν (t ) = γ (t )γ 0 0_{1 2} 2∈ → ⊆

Definizione 1.2. Siano a, b R, a < b, γ : [a, b] R arco regolare a tratti, K R compatto con interno non nullo⊆ ∀t ∈ t.c. tr (γ) ∂K. Diciamo che γ e‘ positivamente orientato rispetto a K se (a, b) t.c. γ sia derivabile in t

0∃ε > 0 t.c. :t ( ∀s ∈K (0, ε )t∈ (1.2)γ(t) + sν (t)γ 2 ∀s ∈R K (−ε , 0)r t

γ e‘ negativamente orientato rispetto a K se oppγ e‘ positivamente orientato rispetto a K.

⇔Osservazione 1.1.

γ e‘ positivamente orientato rispetto a K oppγ e‘ negativamente orientato rispetto a K⇔ ∀t ∈

Non e‘ difficile dimostrare che γ e‘ negativamente orientato rispetto a K (a, b) t.c. γ sia derivabile in t ∀s ∈K (−ε , 0)t∃ε ∈> 0 t.c. γ(t) + sν (t)t γ 2 ∀s ∈R K (0, ε )r t

2 2∈ 3 7→ ∈

Esempio 1.1. (x , y ) R , r > 0, C : [0, 2π] t (x + sin t, y + cos t) R e‘ positivamente orientato_{0 0 0 0}

rispetto al cerchio B ((x , y ) , r)._{2 0 0}R = ∂B ((x , y ) , r)._{0 0}R

Infatti tr C 2 _{0 0}R(x ,y ),r

0 0 0∀t ∈ −r

Inoltre [0, 2π] C = r (− sin t, cos t) e quindi ν = (cos t, sin t) percio‘C(x ,y ),r (x ,y ),r_{0 0 0 0}

0 0 0 ( ∀s ∈B ((x , y ) , r) (0, 2)_{2 0 0}R− − ∈ (1.3)

C + sν = (x + (1 s) r cos t, y + (1 s) r sin t)C 0 0(x ,y ),r_{0 0} (x ,y ),r 2_{0 0} ∀s ∈B ((x , y ) , r) (−∞, 0)R r 2 _{0 0}R

n o2 22 2 2∈ ∈ ≤ − − ≤

Esempio 1.2. Siano R > r (0, +∞), prendiamo la corona circolare K = (x, y) R : r (x x ) + (y y ) R_{0 0}

in questo caso la circonferenza C e‘ negativamente orientata, in quanto oppC e positivamente orientata._{(x ,y ),r (x ,y ),r 0 0 0 0}

Definizione 1.3. Compatti regolari

2 +∃n ∈

Un compatto K di R si dice regolare se Z e γ , ..., γ archi chiusi semplici e regolari t.c._{1 n}

n[ tr (γ ) (1.4)∂K = jj=1∩ 6

tr (γ ) tr (γ ) = se j = h (1.5)∅j n∀je γ sia positivamente orientato rispetto a K = 1, ..., nj

Esempio 1.3. Dall’esempio 1.1 si deduce che B ((x , y ) , r) e‘ un compatto regolare e un suo insieme di frontiere_{2 0 0}R

positivamente orientate e‘ C(x ,y ),r_{0 0}

n o2 22 2 2∈ ∈ ≤ − − ≤

Esempio 1.4. Siano R > r (0, +∞), la corona circolare K = (x, y) R : r (x x ) + (y y ) R e‘ un_{0 0}

compatto regolare: una sua frontiera positivamente orientata e‘ C , oppC(x ,y ),R (x ,y ),r_{0 0 0 0}

∈ ×Esempio 1.5. Dati a, b, c, d R t.c. a < b, c < d, allora [a, b] [c, d] e‘ un compatto regolare e una sua frontiera positivamente orientata e‘ σ +̂σ +̂σ +̂σ(a,c),(b,c) (b,c),(b,d) (b,d),(a,d) (a,d),(a,c)

2Osservazione 1.2. Si puo‘ dimostrare che se γ , γ sono archi semplici e regolari a tratti in R , aventi la stessa traccia,_{1 2}

entrambi positivamente orientati rispetto ad un compatto K allora

Z ZF = F (1.6)γ γ_{1 2}

per ogni campo vettoriale F continuo su tr (γ ) = tr (γ )_{1 2}

2n n→ → 6

Dimostrazione. Siano due archi chiusi α : [a, b] R e β : [c, d] R tali che tr (α) = tr (β), anche se β(c) = β(d) =α(a) = α(b), esiste un t t.c. α(a) = α(b) = β(t ) e quindi l’arco equivalente β[t , d]+̂β[c, t ]_{0 0 0 0}

2 +⊆ {γ } {η }, ∈

Inoltre si puo‘ notare che se K R e‘ compatto regolare e abbiamo , ..., γ , , ...η con n, m Z ,_{1 n 1 m} {1,

frontiere positivamente orientate di K, allora m = n ed esiste una permutazione σ di ..., m} t.c. tr η =_σ(j)

2∀ →tr (γ ) j = 1, ..., n. Ma allora se F : ∂K R e‘ continuo si ha che:j

n n nZ Z ZX X XF = F = F (1.7)γ γ ηj ij=1 j=1 i=1σ(j)

2 2⊆ →

Definizione 1.4. Siano K R compatto regolare, F : ∂K R chiamiamo Integrale di F

→(x,y)7 (F (x,y),F (x,y))_{1 2}R Rsulla frontiera positivamente orientata di K, (e denotiamo con F o con F (x, y)dx + F (x, y)dy il_{1 2}+∂K +∂K

numero reale

n ZX F (1.8)γ jj=1+{γ }, ∈

Dove , ..., γ con n Z , e‘ una frontiera positivamente orientata di K._{1 n} + n 1

∈ →

Teorema 1.1. Siano n Z , n > 2, γ : [a, b] R arco di classe C a tratti. Allora tr (γ) e‘ un insieme di misura n-dimensionale nulla

2 2⊆ ∈

Corollario 1.2. Sia K R un compatto regolare, allora K J R nS{γ } . Quindi ∂K ha misura nulla

Dimostrazione. Sia , ..., γ una frontiera orientata di K, allora ∂K = tr (γ )_{1 n} jj=1 {z }|misura nulla

e percio‘ K J R

2 2⊆ ⊇

Teorema 1.3 (Formule di Gauss-Green). Siano K R compatto regolare, U aperto di R t.c. U K,

→f, g : U R continue e tc siano rispettivamente derivabili rispetto alla prima e alla seconda variabile, con ∂ f e ∂ g_{1 2}

siano continue in U . Allora valgono le seguenti formule:

ZZ Z∂ f (x, y) dxdy = f (x, y) dy (1.9)₁K +∂K

ZZ Z−∂ g (x, y) dxdy = g (x, y) dx (1.10)₂K +∂K

2⊆

Corollario 1.4. Sia K R un compatto regolare. Allora

Z Z−mis (K) = xdy = ydx (1.11)+∂K +∂K

2 2 1⊆ →

Corollario 1.5. Siano U R aperto, F : U R campo vettoriale di classe C . Allora per

(x,y)7→ (F (x,y),F (x,y))_{1 2}⊆

ogni compatto regolare K t.c. K U si ha che:

Z ZF = (F (x, y) dx + F (x, y) dy)_{1 2}+∂K +∂K

Z Z= (∂ F (x, y) + ∂ F (x, y)) dxdy (1.12)_{1 2 2 1}K

2 R⊆

Osservazione 1.3. Siano D R aperto, F campo vettoriale chiuso su D. Allora F = 0 per ogni compatto+∂K

R⊆ ⊆regolare t.c. K D NB: se F e‘ conservativo allora F = 0 per ogni compatto regolare t.c. ∂K D+∂K

2 R⊆ ⇔

Teorema 1.6. Siano D R aperto, F campo vettoriale chiuso. Allora F e‘ conservativo F = 0 per ogni+∂K⊆

compatto regolare K t.c. ∂K D+

2∈ ∈ 6 ∀j 6

Osservazione 1.4. Siano n Z , (x, y) , ... (x , y ) R t.c. (x , y ) = (x , y ) = i n punti del piano distinti. F_{n n i i j j}

2 {(x, |(x −campo vettoriale chiuso su R y) , ... (x , y )}. Allora dati r , ..., r > 0t.c.∀i = 1, ..., n , y ) (x , y )| >r _{n n 1 n j j h h}

2RR∀h 6 ⇔ ∀jr = j si ha che F e‘ conservativo = 0 = 1, ..., n.j C( )xj ,yj ,rj

Dimostrazione (⇐). Ovvia.

2⊆ ∩ {(x, 6 ⊆

Dimostrazione (⇒). Sia K R compatto regolare t.c. ∂K y) , ..., (x , y )} = Se K Dom F allora∅._{n n}R F = 0, supponiamo allora K Dom F .*+∂K

{j ∈ {i, ∈ 6 ∀j ∈ ∈ ∃ρ ⊆

Poniamo S = ..., n} : (x , y ) K} , (S = S, (x , y ) K̊ e quindi > 0 t.c.B ((x , y ) , ρ )∅) 2_{j j j j j j j}R∩ 6B ((x , y ) , ρ ) (x , y )ρ 2 = se j = h.K. Non e‘ restrittivo supporre che ∅_{2 j j j h h h}

R 3∈((x , y ) , ρ ) , j S. Allora K e‘ un compatto regolare, e una sua frontiera positivamente_{j j j}

Poniamo K = K Br 2 _{j j j} 00 R S{γ }

orientata e‘ +∂K = , ..., γ C_{0 1 m} (x ,y ),ρ_{j j j}∈S_j

R R RP⊆ ⇒ − ⇒K Dom F 0 = F = F₀ j∈S∂K ∂K C₀ ( )xj ,yj ,ρj

Z ZXF = F (1.13)∂K Cj∈S ( )x ,y ,ρ_{j j j}

2 Teorema di Dini, o della funzione implicita

2.1 Forma scalare a due variabili

Individuare da una curva di livello di un campo scalare un punto in un cui intorno puo‘ definirsi una funzione.

2∈Osservazione 2.1. Sia (x , y ) R , allora i rettangoli aperti, chiusi e i quadrati aperti o chiusi centrati nel_{0 0}

punto_{0 0}

costituiscono un SFI del punto.

2⊆

Teorema 2.1 (Teorema di Dini. Enunciazione in forma scalare e in due variabili n = 1, j = 2). Siano D R_m +→ ∈ ∪ {∞}, ∈ 6

aperto,f R di classe C (D), con m Z (x , y ) D t.c.f (x , y ) = 0 e ∂ (x , y ) = 0._{0 0 0 0 2 0 0}

∃ε, − → −Allora δ > 0 e ϕ : (x ε, x + ε) (y δ, y + δ) t.c. :_{0 0 0 0}

(x ε, x + ε) (y δ, y + δ) D (2.1)_{0 0 0 0}

∀ ⇔ (x, y) si ha che f (x, y) y = ϕ (x) N B : y = ϕ (x ) (2.2)_{0 0}

6 ∀ ∈ − × − ⊆, ⊆) ∂ f (x, y) = 0 (x, y) (x ε, x + ε) (y y + D (2.3)_{2 0 0 0 0}

m − ϕ sia di classe C ((x ε, x + ε)) (2.4)_{0 0}

∂ f (x, ϕ (x))₁0 − ϕ (2.5)(x) = ∂ f (x, ϕ (x))₂

Dimostrazione. Non e‘ restrittivo supporre ∂ (x , y ) > 0._{2 0 0}

m 1∈ ⇒ ∈ ⇒ ⇒ ∃η − × − ∈f C (D) f C (D) ∂ f continua in D > δ > 0 t.c. [x η, x + η] [y δ, y + δ] D e_{2 0 0 0 0}

∀ ∈ − × −∂ f (x, y) > 0 (x, y) [x η, x + η] [y δ, y + δ]._{2 0 0 0 0}

− →ψ : [y δ, y + δ] R_{0 0}0₁

Definiamo derivabile e continua,di classe almeno C , e che ϕ (y) = ∂ f (x , y) >_{2 0}7→y f (x , y)₀0, quindi ψ e‘ strettamente crescente.

⇒ ∃ε ∈− − < ψ (y + δ) = f (x, y + δ), f e‘ continua (0, η] t.c.Allora f (x, y δ) = ψ (y δ) < ψ (y ) ₀0_{0 0 0}

{z }|f (x,y )=0₀

− − ∀x ∈ − − − ⊆ −f (x, y δ) < 0 e f (x, y δ) > 0 [x ε, x + ε], osserviamo che [x ε, x + ε]×[y δ, y + δ] [x η, x + η]×_{0 0 0 0 0 0 0 0 0}

− ⊆[y δ, y + δ] D compatto regolare e quindi vale la (2.1)._{0 0}

− →ψ : [y δ, y + δ] R_{x 0 0}

∀x ∈ −(x ε, x + ε), definiamo [NB: ψ = ψ]._{0 0} x

7→y f (x, y) 0₀ ∀y ∈ − − −

Osserviamo che ψ e‘ derivabile e ψ (y) = ∂ f (x, y) > 0 [y δ, y + δ]. Inoltre ψ (y δ) = f (x, y δ) < 0_{2 0 0} x _{0 0}

x ∃!y ∈ −e ψ (y + δ) = f (x, y + δ) > 0 allora per il teorema degli zeri e per la monotonia [y δ, y + δ] t.c. ψ (y ) =_{0 0} x _{0 0} x x

∈ −0. Osserviamo che y [y δ, y + δ]._{x 0 0}

− → −ϕ : [x ε, x + ε] [y δ, y + δ]_{0 0 0 0} ∀ ∈ − × −

Definiamo . Osserviamo che (x, y) [x ε, x + ε] [y δ, y + δ]_{0 0 0 0}7→x y x

si ha che ⇔ ⇔f (x, y) = 0 ψ (y) = 0 y = y = ϕ (x) (2.6)_x x

Quindi vale la (2.2).

∀ ∈ − − ⊇ − −Osserviamo che 0 < ∂ f (x, y) (x, y) [x η, x + η]×[y δ, y + δ] (x ε, x + ε)×(y δ, y + δ), quindi_{2 0 0 0 0 0 0 0 0}

vale la (2.3).

∂ f ∂ f− × − ∃M ≥ ≤ ∀ ∈continua su [x ε, x + ε] [y δ, y + δ] compatto, per Weiestrass 0 t.c. M (x, y)_{1 10 0 0 0}

∂ f ∂ f_{2 2}

− × −[x ε, x + ε] [y δ, y + δ]._{0 0 0 0}

∈ − ∀x ∈ −Proviamo che ϕ e‘ continua. Sia x̄ (x ε, x + ε). Proviamo che ϕ e‘ continua in x̄: (x ε, x + ε),_{0 0 0 0}

∈ − × − ⊆si ha che (x̄, ϕ (x̄)) , (x, ϕ (x)) (x ε, x + ε) (y δ, y + δ). Allora il segmento σ , (x, ϕ (x)) ([0, 1])_{0 0 0 0} (x̄,ϕ(x̄))₁

− × − ⊆ → ⇒(x ε, x + ε) (y δ, y + δ) D f e‘ di classe C e differenziabile in D applico il teorema di Lagrange per le funzioni di n variabili: (u , v ) σ ([0, 1]) t.c. f (x, ϕ (x)) f (x̄, ϕ (x̄)) = (u , v )_{0 0 0 0 x x x x}(x̄,ϕ(x̄)),(x,ϕ(x))

− − ⇒ − − ⇒(x x̄, ϕ (x) ϕ (x̄)) = 0 ∂ f (u , v ) (x x̄) + ∂ f (u , v ) (ϕ (x) ϕ (x̄)) = 0_{1 x x 2 x x}

∂ f (u , v )_{1 x x}

− − −ϕ (x) ϕ (x̄) = (x x̄) (2.7)∂ f (u , v )_{2 x x}

Quindi: ∂ f (u , v )_{1 x x}

|ϕ − − |x − ≤ |x −(x) ϕ (x̄)| = x̄| M x̄| (2.8)∂ f (u , v )_{2 x x}

Per il teorema del confronto: lim ϕ (x) = ϕ (x̄) percio‘ ϕ e‘ continua in x̄. Abbiamo provato che ϕ e‘ continua inx→x̄−(x ε, x + ε)._{0 0}

∈ − {x̄} ∃ ∈Sia x̄ (x ε, x + ε) (u , v ) σ t.c. vale la (2.7) e quindi_{0 0 x x} (x̄,ϕ(x̄))

−ϕ (x) ϕ (x̄) ∂ f (u , v )_{1 x x}

− −= x x̄ (2.9)−x x̄ ∂ f (u , v )_{2 x x}

5x→x̄−−−→Proviamo che (u , v ) (x̄, ϕ (x̄)) infatti:_{x x} q x→x̄

2 2 2.1k(u − ≤ k(x, − − − −−−→, v ) (x̄, ϕ (x̄))k ϕ (x)) (x̄, ϕ (x̄))k (x x̄) + (ϕ (x) ϕ (x̄)) 0 (2.10)=_{x x} 2 2

R Rper il teorema del limite della composta (condizione ii, ovvero continuita‘ della funzione esterna) il limite vale:

−ϕ (x) ϕ (x̄) ∂ f