Seconda provetta Analisi matematica 1

Analisi Matematica 1 – Seconda prova parziale – 19/12/22

MATRICOLA:

COGNOME: NOME:

ESERCIZI CON SVOLGIMENTO – Si scriva lo svolgimento dei seguenti esercizi in un foglio di bella

copia (4 facciate, una facciata per esercizio) nel quale siano riportati calcoli e passaggi logici fondamentali,

con indicazione degli eventuali teoremi utilizzati. Ogni esercizio svolto correttamente vale 8 punti.

Esercizio n. 1 –

(a) Determinare il polinomio di Taylor di ordine 3, centrato in x = 0, della funzione f (x) = arcsin(x).

0

(b) Calcolare il seguente limite: p p

arcsin( x) sin( x)

p

lim .

p

p x

e x 1+ x

+

x!0

Esercizio n. 2 – sin x

(a) Determinare l’insieme delle primitive della funzione f (x) = .

2

4 + (cos x)

R R

!

(b) Sia f : una funzione derivabile e monotona crescente. Stabilire se la funzione

Z x

F (x) = f (t) dt

0

è convessa.

Esercizio n. 3 – Studiare la convergenza delle serie numeriche

p

p ⇣ ⌘

1 1

X X

4

2 2

n +1 n + n (3n)! 1 n

·

(a) , (b) .

3

n + sin(n) (n!) 4

n=1 n=1

Esercizio n. 4 – Stabilire se l’integrale generalizzato

p

Z +1 sin x dx

x

e log(1 + x)

0

è convergente.