Integrali di superficie 5

Calcolare l’area della superficie

Calcolare l’area della superficie S = {(x, y, z) ∈ R³: x² + y² + z² = A²}, con A > 0.

Soluzione

S può essere data parametricamente da r⃗(u, v) = A sin u cos v i⃗ + A sin u sin v j⃗ + A cos u k⃗, con (u, v) ∈ T = [0, π] × [0, 2π].

Dunque si ha

∂r⃗/∂u = A cos u cos v i⃗ + A cos u sin v j⃗ − A sin u k⃗,

∂r⃗/∂v = −A sin u sin v i⃗ + A sin u cos v j⃗.

Ma allora risulta

∂r⃗/∂u × ∂r⃗/∂v = |A cos u cos v   A cos u sin v   −A sin u;
−A sin u sin v   A sin u cos v   0| = A² sin²u cos v i⃗ + A² sin²u sin v j⃗ + A² sin u cos u k⃗,

da cui |∂r⃗/∂u × ∂r⃗/∂v| = A² sin u.

Quindi finalmente

|S| = ∬_T |∂r⃗/∂u × ∂r⃗/∂v| dudv = ∫₀^π ∫₀^2π A² sin u du dv = 4πA².