Integrali

Integrali

Integrali_a∫^b f(x) = area (con segno) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse x e le rette verticali x=a e x=b

f(x) = funzione integranda

|¯¯| a, b = intervallo di integrazione

∫_a^b k dx = (b-a) · k = area (con segno) del rettangolo (definizione se costante)

Calcolo dell'integrale

Per calcolare ∫_a^b f(x) dx si deve:

• Trovare una funzione, nell'intervallo [a, b], detta F(x) come derivata (cercare una primitiva di f)
• Una volta trovata, la calcolo negli estremi della propria integrazione (calcolo F(b) e F(a))
• Sottraggo i due valori: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Primitiva indefinita

Ogni funzione f: [a, b)→R continua ammette delle primitive

Per indicare una generica primitiva di f(x) si utilizza la notazione ∫f(x)dx

Esempi

Es ∫₀^π/2 sin x dx = [-cos x]₀^π/2 = (-cos π/2) - (-cos 0) = 0 + 1 = 1

∫ x² dx = [x³/3] = 2/4 + 4/4 - 1/4 + 4/4 = 15/4

Proprietà dell'integrale

• ∫ [f(x)±g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• k∫ f(x) dx = k ∫ f(x) dx
• ∫_a^b f(x) = ∫_a^b f(x) dx
• ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx

Primitiva di variabile "t", funzione composta

Sia F(x) una primitiva di f, g(x) una funzione derivabile a tale che sia verificata costanza la funzione composta F(g(x)).

F(g(x))' = f(g(x)) g'(x) ⇒ ∫f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + c

Es ∫ sin(x) cos x dx = - ∫ sins dx = -1/2 cos² x + c

-∫1/(x²) dx = -1/x + c - preserva variazioni a - b

Integrali

∫_a^b f(x) = area (con segno) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x)| dx e l'asse x con le rette verticali: x=a e x=b

Intervallo di integrazione

∫_a^b k dx = (definizione se costante)

∫_a^b f(x) dx = (b-a)⋅k = area (con segno) del rettangolo

Calcolo dell'integrale

Per calcolare ∫_a^b f(x) dx devo:

• Trovare una funzione, nell'intervallo [c, d ], F(c ) come derivata l'area non primitiva di f(x)
• Una volta trovata, la calcolo negli estremi della b-on; l'integrale: calcolo F(b) e F(a)
• Sottraggo i due valori: ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)

Primitiva elementare

Ogni funzione f:[a,b] → R. contiene amute delle primitive

Per indicare una generica primitiva di f(x) si utilizza la notazione ∫f(x)dx

Esempi

Ex ∫₀^π/2 sin x dx = [-cos x]₀^π/2 = (-cos π/2) - (-cos 0) = 0 + 1 = 1

∫ x² dx = [x³/3]₂⁴ = 4³/4 - 2³/4 = 4/4 - 1/4 = 15/4

Proprietà dell'integrale

• 1) ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• 2) K ⋅ ∫ f(x) dx = K ⋅ ∫ f(x) dx
• 3) ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx
• 4) ∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Primitive di livello 1: funzione composta

Sia F(x) una primitiva di g(x), g(x) una funzione derivabile a tale che sia possibile calcolare la funzione composta F(g(x)).

(F(g(x))' = f(g(x)) g'(x)) ⇒ ∫ f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + c

Ex ∫ 4xsin x ⋅ cos x dx = ∫ sin x ⋅ x²' dx = sin x ⋅ x² + c

∫ x (x' - 1)⁴/5 dx = c/5 ⋅ (x - 1)⁵/5 + c = (x-1)^c/5/5 + c

Integrazione per parti

\(\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx\)

Es. \(\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + c\)

\(f' = x \)

\(f = \frac{x^2}{2} \)

\(g' = \sin x\)

\(g = -\cos x\)

\(\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + c\)

\(f' = x \)

\(f = \frac{x^2}{2} \)

\(g' = \cos x\)

\(g = \sin x\)

Integrali per sostituzione

\(\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(y) \, dy\)

Es. \(\int \sin (x^2) x \, dx = \int \sin y \, dy = -\cos y + c = -\cos(x^2) + c\)

\(y = x^2\)

\(dy = 2x \, dx\)

\(\int \cos x \sin (\sin x) \, dx = \int \sin y \, dy = -\cos y + c = -\cos(\sin x) + c\)

\(y = \sin x\)

\(dy = \cos x \, dx\)

\(\int \frac{x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{y} \, dy = \frac{1}{2}\ln |y| + c = \frac{1}{2}\ln |1 + x^2| + c\)

\(y = 1 + x^2\)

\(dy = 2x \, dx\)

\(\int_0^{\sqrt{\pi}} x \cos(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos y \, dy = \frac{1}{2}[\sin y]_0^\pi = \frac{1}{2}(\sin \pi - \sin 0) = 0\)

\(y = x^2\)

\(dy = 2x \, dx\)

\(0 \rightarrow 0, \, \sqrt{\pi} \rightarrow \pi\)

\(\int \frac{4x}{x(\ln x + 4)} \, dx = 4 \int \frac{1}{x(\ln x + 4)} \, dx = 4 \int \frac{1}{y} \, dy = 4 \ln |y| + c = 4 \ln |\ln x + 4| + c\)

\(y = \ln x + 4\)

\(dy = \frac{1}{x} \, dx\)

\(\int \sin^4 x \cos^3 x \, dx = \int y^4 (1 - y^2) \, dy \ldots\)

\(y = \sin x\)

\(dy = \cos x \, dx\)

∫^x-1/_4+√x dx = ∫^y2-4/_2y dy = ∫^(-y+4)(y+4)/_2y dy = (y²-4)/^2y dy -∫ (1/2) dy = 1/2 ∫ y dy - ∫^y=/_2y dy == 1/2 ∫ y dy - ∫ dy= 1/2 y² - y = 1/2= 1/2 (√x)² - √x + c

Integrali di funzioni razionali

f(x) = P(x)/Q(x)→ Funzioni razionali in cui il polinomio al numeratore è la derivata del denominatore

Debito ricordare che ∫^f'(x)/_f(x) ln |f(x)| + c→ Funzioni razionali accenté, con numeratore una costante e un denominatore un quadrato

Debito ricordare che ∫¹/_[f(x)² = [f(x)]

Esempio: ∫⁵/_2x-x² dx = 5/2 ∫¹/_(x-1)² dx = 5/2 (x-1)^-1 - 5/4x

Funzioni razionali del tipe ax² + bx + c con b² - 4ac < 0

Bisogna risolvere facendo il denom riconducendosi all'integrale (1/b² dx = arctg 1/bc) =

Esempio: ∫^x+3/_x³+6x+2 dx = ∫^-13x+6/_x³+6x+2 dx - ∫³/_(3x+x+1)²= ln |x³+6x+2

Integrali impropri

Negli integrali impropri:

La somma è limitata

La funzione è limitata

Se una di queste condizioni si annulla non è risolvibile allora si parla di integrali impropri o generalizzati.

Integrale in forma illimitata

Se una funzione f(0; a; b)→IR continua e illimitata a sinistra di b: In questo caso si definisce \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) \, dx \) → Integrale regolare

Criteri di convergenza

Criteri del confronto

Siano f, g: [a,+∞)→IR due funzioni continue con 0 ≤ f(x) ≤ g(x) in [a,+∞).

Allora:

• \( \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx \) converge allora anche \( \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \) converge.
• \( \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \) diverge a +∞ allora anche \( \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx \) diverge a +∞

E.g.

Siano a, p costanti: \((a+2)^{-\frac{p}{2}} ≤ f(x) ≤ (a + 1 )^{2} \) pertanto \(\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{N \to +\infty} \int_{a}^{N} \)) \( g(x) \, dx \to \lim_{N \to +\infty}[ \frac{-1}{(x+2)^{\frac{a}{2}}} ] \), \([x-1]_{a}^{+\infty} \)

Criterio del confronto asintotico

Siano f, g: [a,+∞)→IR due funzioni continue e positive.

Se f/g~x → +∞ allora \( \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \) converge/diverge a +∞ (⟩ \(

Integrali impropri utili da ricordare

\( \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{a}} \, dx \) se converge a >1

Se diverge a 0)

\( \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} (lnx)} \, dx \) converge se β!=1 ovvero se α=1 e β>1

diverge se α!=1 ovvero se α=1 e β0 se a+alpha >1

E.g.

Stabilisci se \( \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{x+1} \, dx \) converge utilizzando il criterio del confronto.

\( \frac{x}{x+1} \sim \frac{x}{x} \) per x → +∞

N.B.: si fa dopo l'integrale

Per vedere quando il confronto asintotico \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{a}} \, dx \) converge