Analisi matematica II - esercizi

Circonferenza

Equazione (per ricordarla basta pensare a pitagora e calcolare l’ipotenusa che è il

raggio della circonferenza) in forma canonica:

2 2 2

( ) ( )

+ =R

x−x y− y

i i

Quindi: √

- Raggio R

(x )

, y

- Centro i i

Ma se ci capita una cosa del genere?

2 2 sembra una circonferenza, ma non è l’equazione canonica!

+ =x

x y

Ricordiamo che l’equazione canonica con i quadrati del binomio svolti sarà:

2 2 2

+ −2 + + +2 =0

x x x x y y y y

i i i i

Per ricondurci all’equazione canonica cerchiamo tutti i soggetti dell’equazione con i

quadrati svolti: 2 2

1. Portiamo tutto a sinistra + −x=0

x y

2. Devo trovare il candidato del doppio prodotto:

1

−x=−2 =

x x → x

i i 2 ( )

2

1 2

+ =0

x− y

3. Allora l’equazione canonica sarà: 2

4. Per ricavare il raggio: sappiamo che vogliamo ricostruire questo quadrato del

2 2 2

+ −2

binomio , allora aggiungiamo e sottraiamo . In questo modo

x x x x x

i i i

1

2 2 2

+ −2 =x + −

x x x x x

abbiamo fino ad ora abbiamo ottenuto quindi

i i 4

( )

2

1 1 2

− + =0

x− y

2 4 ( )

2

1 1

2

+ =

x− y

5. Portiamo tutto lo scarto a destra e otteniamo 2 4 ( )

12 , 0

Abbiamo ottenuto la forma canonica della nostra circonferenza di centro e

1

R=

raggio 2 2 2

ESERCIZIO PROPOSTO: −1+ =2

x y y

√

Risultati: R= 2 , C(0,1)

ELLISSE

Equazione canonica:

2 2

x y

+ =1

2 2

a b 2 2

( ) ( )

x−x y− y

c c

Oppure + =1

2 2

a b

Se, ad esempio, ci viene proposto

2

( )

+1

y

2

( ) + =1

3 x−2 4 (2,−1)

Centro

- √

1 1 1

2

=3 =a

Semi assi: → → a=±

- ma con il meno non ha senso

2 3 3

a

1 1

= →b=+2 ≫a

b

. In particolare se è un ellisse verticale

4

2

b 2

Come capisco se ho un’ellisse o una circonferenza? È una circonferenza se e

x

2 2 2

hanno lo stesso coefficiente come ad esempio , altrimenti è un

+3 =x

y 3 x y

ellisse.

Caso particolare

{

eq curva

y ≥x

Essendo che a parità di x ci interessano tutte le y superiori a quel valore dobbiamo

prendere tutto ciò che si trova al di sopra della curva.

y ≤ x

Se ci fosse stato eravamo al di sotto della curva e con y compreso tra due

estremi allora il dominio è incluso tra due intervalli.

Mettiamoci nel caso del rettangolo

È l’insieme di tutte le possibili combinazioni dei punti che hanno coordinate delle x che

vanno in un certo intervallo e y in un altro.

Lo definiamo come: [ ] [c ]

a , b x , d

Prodotto cartesiano

- a ≤ x ≤ b ∩c ≤ y ≤d

Equazione

-

Come parametrizzo il bordo di un rettangolo? Per ogni lato ho

delle rette costanti (quelle in rosso)

Attenzione a questi casi: Non va bene dire che y è compreso tra due

numeri, altrimenti stiamo individuano di nuovo un

rettangolo (in