Esercizi Matematica generale

Teorema di Lagrange

f(x) im [a, b] continuo im [a, b] e derivabile im (a, b)

∃ c ∈ (a, b) : f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

m_cord = (f(b) - f(a)) / (b - a)

m_d( f'(c) ) è il coeff. angolare della rette tg im x = c

Solo im x = c corda è // alla tangente!

Teorema di Lagrange

f(x) im [a, b] continuo in [a, b] e derivabile in (a, b)

∃ c ∈ (a, b) \

f^'(c) = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

f(x)

A

B

m_corda = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a} ( ^Δy⁄_Δx )

m_d f^'(c) è il coeff. angolare della tang. in x = c

Solo in x = c corda è // alla tangente!

f(x) =

| 3kx² + 7kx + 3x + 7   x ≤ 0

| -3x + 7     x > 0

Per quali valori di k ∈ ℝ   f(x) soddisfa le ipotesi del

th. di Lagrange.

continua in [a,b]

derivabile in (a,b)

CONTINUITÀ im x=0

f(0) = f

lim_x->0⁺ (-3x + 7) = f

f(x) è continua im x=0

∀k

DERIVABILITÀ im x=0

y^'(x) =

• 6kx + 7k + 3
• - 3

lim_{x -> 0^-} y^' = lim_{x -> 0^-} (6kx + 7k + 3) = 7k + 3

lim_{x -> 0⁺} y^' = -3

Allora deve essere 7k + 3 = -3

k = -6/7

Te 2)

f(x) = 3x² - 2x + 6

im [2;3]

Quale è il punto c, di cui della tesi del Th. di Lagrange?

f(x) è continua e derivabile in [2;3]

• a = 2
• b = 3

f(a) = f(2) = 3·4 - 4 + 6 = 14

f(b) = f(3) = 3·3² - 6 + 6 = 27

^f⁄_b-^f⁄_c ^27-16⁄_3-2 = 11

f'(x) = 6x - 2

f'(c) = 11

6c - 2 = 11

6c = 13

c = ¹³⁄₆ = ⁵⁄₂

STUDIO di FUNZIONE

f(x) = (x²-1)e^x

D_f: ℝ D = (-∞ ; +∞)

Segno di f(x)

f(x) > 0

f(x) < 0

f(x) > 0: (x² - 1)e^x > 0 => x² - 1 > 0

x < -1

x > 1

f(x) > 0 in (-∞ ; -1) (1 ; +∞)

f(x) < 0 in (-1 ; 1)

=> im x = ±1

f(x) = 0

lim_{x -> +∞} (x² - 1)e^x = +∞·e^+∞ = +∞

lim_{x -> -∞} (x² - 1)e^x = lim_{x -> -∞} x²-1 / e^+x(+∞) = 0⁺

CRESCENZA / DECRESCENZA / MASSIMI / minimi

NB₁ Se x_o è punto stazionario per f(x) allora f'₍x_o) = 0 [Th di Fermat]

NB₂ Non è detto che le soluzioni dell’equazione f'(x) = 0 siano punti stazionari!!

Studiare il segno di f'(x)

f'(x) > 0

f(x) = (x² - 1)e^x

y^' = 2x.e^x + (x² - 1).e^x =

= e^x(x² + 2x - 1)

y^' > 0 => x² + 2x - 1 > 0

x_1/2 = ^{-2 ± √(4+4)}/₂ = ^{-2 ± √8}/₂ = ^{-2 ± 2√2}/₂ = ^{-2 (-1 ± √2)}/₂ =

y' > 0 ⇔ x < -1 - √2 ∨ x > -1 + √2

-1 - √2      -1 + √2

x_M = -1 - √2

x_m = -1 + √2

d) CONCAVITÀ/CONVESSITÀ/FLESSI

Studiare segno di y''

y' = e^x(x² + 2x - 1)

y'' = e^x(x² + 2x - 1) + e^x(2x + 2) =

= e^x(x² + 4x + 1)

y'' > 0 ⇒

x² + 4x + 1 > 0

x_1/2 = ^{-4 ± √(16 - 4)} ⁄ ₂ = ^{-4 ± √12} ⁄ ₂ = ^{-4 ± 2√3} ⁄ ₂ = -2 ± √3

x = -2 ± √3 sono le ascisse dei punti di flesso.

GRAFICO QUALITATIVO DI f(x)

-2_-√3

-1-√2

-1-2_√3

0

-1+√2

1

F

H

F

F

M

y

x

FORMULE di TAYLOR

Se f(x) è definita in un intervallo I e se x₀ ∈ I, fissato un numero intero positivo m, f(x) è derivabile fino all'ordine m-1-esimo in tutto l'insieme I e se esiste la derivata m-esima, almeno per x=x₀, allora:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀) + f''(x₀) ^(x-x₀)2/_2! + f'''(x₀) ^(x-x₀)3/_3! + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀) ^(x-x₀)n/_m! + O(x^m)

m! = m(m-1)(m-2)...3.2.1

5! = 5.4.3.2.1

=> x₀ = 0 => Polinomio di MAC-LAURIN

guardo l'andamento della funzione x₀=0

T_x=0 f(x) = f(0) + f'(0) x + ^f''(0)⁄_2! x² + ...

È noto che di una funzione f(x):

• f(0) = 0 , f'(0) = -3 ; f''(0) = 0 ;
• f^IV(0) = 2

a) Cos'è x = 0 per f(x) ?

b) grafico locale di f(x) nell'intorno dell'origine.

m=4

f(x) = f(0) + f'(0) x + ^f''(0)⁄_2! x² + ^fIII(0)⁄_3! x³ + ^fIV(0)⁄_4! x⁴ =

= 0 - 3x + 0/2! x² - 7/3! x³ + 2/4! x⁴ =

-3x-¹/₆x³+¹/₁₂x⁴

Dato che f'⁽¹⁾(0) = -3 < 0 ⇒ f(x)

è decrescente in x=0

f'(o) = 0

f'''(o) =/= 0

x=0 è flesso!

Studiare il comportamento locale di f(x) = x e^x - 2x in

un intorno di x=0

D=ℝ

f'⁽¹⁾ = 1.e^x + xe^x - 2 = e^x(1+x) - 2

Se si ponesse f'⁽¹⁾ > 0 ⇒

e^x (1+x) - 2 > 0

e^x (1+x) > 2

e^x > ²/_1+x

y'_T = e^x(1+x) - 2

y''_T = e^x(1+x) + e^x = e^x(x+2)

Provo a scrivere il polinomio di Mac-Laurin sino al grado m=2

• f(0) = 0
• f'(0) = 1 - 2 = -1 ≠ 0
• f''(0) = 2 ≠ 0

• m=2
• T
• x=0

= f(0) + f'(0) x + f''(0)/2! x² =

= 0 - x + 2/2! x² = - x + x²

Dato che _x=0 è DECRESCENTE

nell’intorno dell’origine, allora ANCHE

_x e^x - 2x è decrescente

nell’intorno dell’origine!!

TE

Sia \( f(x) = (1-3x) \ln (1-3x) \)

determinare

1. dominio

D_f: 1-3x > 0    x < \(\frac{1}{3}\)

\(\mathbb{D} = (- \infty ; \frac{1}{3})\)

2. derivata prima

f'(x) = - 3 \ln(1-3x) + (1-3x) \cdot \frac{1}{1-3x} \cdot (-3) =

= - 3 \ln(1-3x) - 3 = -3 [\ln(1-3x) + 1]

3. derivata seconda

f''(x) = -3 \cdot \left [ \frac{1}{1-3x} \cdot (-3) \right ] = \(\frac{9}{1-3x}\)