Esercizi Matematica generale

Esercizi 5/6

15/12/25

1. (1 punto) Sia f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} una funzione derivabile. Un punto stazionario di f è:

   • (a) un punto di massimo di f
   • (b) un punto in cui f si annulla
   • (c) nessuna delle altre risposte è corretta
   • (d) un punto P di D tale che \(\frac{\partial f}{\partial x} (P) = 0\), \(\frac{\partial f}{\partial y} (P) = 0\)

2. (1 punto) Sia f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} una funzione derivabile. Un punto stazionario di f è:

   • (a) un punto di minimo di f
   • (b) un punto in cui f e le sue derivate parziali si annullano
   • (c) nessuna delle altre risposte è corretta
   • (d) un punto in cui il determinante della matrice hessiana vale 0

3. (1 punto) Sia f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} una funzione derivabile. Un punto stazionario di f è:

   • (a) un punto di minimo o di massimo di f
   • (b) un punto in cui f e le sue derivate parziali si annullano
   • (c) nessuna delle altre risposte è corretta
   • (d) un punto P di D in cui si annulla il gradiente di f

Esercizi 5/6

15/12/25

1. (1 punto) Sia \( f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile. Un punto stazionario di \( f \) è:

   • (a) un punto di massimo di \( f \)
   • (b) un punto in cui \( f \) si annulla
   • (c) nessuna delle altre risposte è corretta
   • (d) un punto \( P \) di \( D \) tale che \( \frac{\partial f}{\partial x}(P) = 0 \), \( \frac{\partial f}{\partial y}(P) = 0 \)

2. (1 punto) Sia \( f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile. Un punto stazionario di \( f \) è:

   • (a) un punto di minimo di \( f \)
   • (b) un punto in cui \( f \) e le sue derivate parziali si annullano
   • (c) nessuna delle altre risposte è corretta
   • (d) un punto in cui il determinante della matrice hessiana vale 0

3. (1 punto) Sia \( f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) una funzione derivabile. Un punto stazionario di \( f \) è:

   • (a) un punto di minimo o di massimo di \( f \)
   • (b) un punto in cui \( f \) e le sue derivate parziali si annullano
   • (c) nessuna delle altre risposte è corretta
   • (d) un punto \( P \) di \( D \) in cui si annulla il gradiente di \( f \)

4)

(1 punto) Sia \( f : [4,8] \rightarrow \mathbb{R} \) derivabile. Calcolare\[\int f'(x) e^{4f(x)} dx.\]

• (a) \(\frac{1}{4}e^{4f(x)} + c\)
• (b) \(\frac{1}{4} e^{4x} + c\)
• (c) \(4e^{f(x)} + c\)
• (d) \(4 \ln \left( \frac{1}{4} f(x) \right) + c\)
• (e) nessuna delle altre risposte é corretta

5)

(1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito:\[\int \frac{e^{5x}}{11+e^{5x}} dx.\]

• (a) \( \ln (11 + e^{5x}) + c \)
• (b) \(\frac{1}{5} \ln (11 + e^{5x}) + c\)
• (c) \((11 + e^{5x}) + c\)
• (d) \(\frac{1}{5} \int (11 + e^{5x}) + c\)
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta

6)

(1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito:

• (a) sen (11 + 5√x) + c
• (b) ²/₅ cos (11 + 5√x) + c
• (c) -²/₅ cos (11 + 5√x) + c
• (d) -²/₅ sen (11 + 5√x) + c
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta

7)

(1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito:

• (a) e^3x²-6 + c
• (b) ln(3x²-6) + c
• (c) ¹/₆e^3x²-6 + c
• (d) ¹/₂e^3x²-6 + c
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta

8) (1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito:

= \frac{1}{10}(5x^2-10)^6 + c =

\frac{1}{60}(5x^2-10)^6 + c

• (a) \frac{1}{60}(5x^2-10)^6 + c
• (b) (5x^2-10)^6 + c
• (c) -\frac{1}{60}(5x^2-10)^6 + c
• (d) -\frac{1}{60}ln(5x^2-10)^6 + c
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta

9) (1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito:

= \int(\frac{1}{x}(ln 3x)^\frac{1}{3})dx = \frac{(ln 3x)^\frac{1}{3+1}}{\frac{1}{3+1}} + c =

= \frac{3}{4}(ln 3x)^\frac{4}{3} + c

• (a) ln 3x
• (b) \frac{4}{3}(ln 3x)^\frac{3}{4} + c
• (c) (ln 3x)^\frac{4}{3} + c
• (d) \frac{3}{4}(ln 3x)^\frac{4}{3} + c
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta

10)

(1 punto) Calcolare il seguente integrale indefinito:

• (a) \(\frac{3}{4}\left(3x + \frac{1}{x}\right)^{\frac{4}{3}} + 3\)
• (b) \(\frac{3}{4}\left(3 - \frac{1}{x^2}\right)\left(3x + \frac{1}{x}\right)^{\frac{4}{3}} + c\)
• (c) \(\frac{3}{4}\left(3 - \frac{1}{x^2}\right)\left(3x + \frac{1}{x}\right)^{\frac{4}{3}} - 3\)
• (d) \(\frac{3}{4}\left(3x + \frac{1}{x}\right)^{\frac{4}{3}} + c\)
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta

11)

(1 punto) L’integrale indefinito

• (a) \(2\left(3 + \ln 2x\right) + c\)
• (b) \(-\left(3 + \ln 2x\right)^{-1} + c\)
• (c) \(-\frac{1}{2}\left(3 + \ln 2x\right)^{-2} + c\)
• (d) \(\left(3 + \ln 2x\right)^3 + c\)
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta.

12) (1 punto) L'integrale

vale:

• (a) (c) ¹/₂ ln |2e^4x - 4x² + 4| + c
• (b) (c) ¹/₂ ln |2e^4x - 4x² + 4|
• (c) 5 ln |2e^4x - 4x² + 4|
• (d) 5 ln |2e^4x - 4x² + 4| + c
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta.

(1 punto) La primitiva F(x) della funzione

f(x) = x² sen(x³ + π)

passante per il punto di coordinate (0, 1) risulta:

• (a) F(x) = ¹/₃ cos (x³ + π) + ²/₃
• (b) F(x) = ¹/₃ cos (x³ + π) + 1
• (c) F(x) = cos (x³ + π) + ²/₃
• (d) F(x) = -¹/₃ cos (x³ + π) + ²/₃
• (e) nessuna delle altre risposte è corretta.

1° passo : trovo tutte le primitive

= calco ∫f(x)dx

∫x² sen (x³ + π) dx = ¹/₃ (-cos (x³ + π) ) + C = -¹/₃ cos (x³ + π) + C

2° passo F(x) = -¹/₃ cos (x³ + π) + C

3° passo (0,1) F(0)=1

=> 1= -¹/₃ cos (x³ + π) + C => 1 = ¹/₃ + C => C = ²/₃

4° passo la primitiva cercata è

F(x) = -¹/₃ cos (x³ + π) + ²/₃

(1 punto) Calcolare i punti stazionari della funzione

f(x,y) = x(y-2)² + 5.

• (a) Sono stazionari tutti i punti del tipo (2,α) con α ∈ ℝ
• (b) Sono stazionari tutti i punti del tipo (α,2) con α ∈ ℝ
• (c) L'unico punto stazionario è (0,2)
• (d) I soli punti stazionari sono (2,0) e (0,2)
• (e) Nessuna delle altre risposte è corretta

(2 punti)

Si consideri una funzione \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) e siano \( (4, -3) \) e \( (5,2) \) due suoi punti stazionari. Stabilirela natura di \( (4, 3) \) e \((5,2) \) sapendo che le derivate parziali seconde di \( f \) sono continue e valgono:

\( f_{xx}'' (x,y) = -12x + 4y + 42; \)

\( f_{yy}'' (x,y) = \frac{1}{2}; \)

\( f_{xy}'' (x,y) = x - 2. \)

• (a) \( (4,-3) \) punto di sella, \( (5,2) \) punto di minimo relativo
• (b) \( (4,-3) \) punto di sella, \( (5,2) \) punto di massimo relativo
• (c) sono entrambi punti di sella
• (d) \((4,-3)\) punto di massimo relativo, \((5,2)\) punto di sella
• (e) Nessuna delle altre risposte è corretta

\( P(4,-3) \) → \( f_{xx}'' (P) = -48 - 3 + 42 = -9 \)\( f_{yy}''(P) = \frac{1}{2} \)\( f_{xy}''(P) = 2 \)

\( \det H(P) = \left| \begin{array}{cc} -9 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right| = \frac{9}{2} - 4 \gt 0 \)

\( \det H(P) \gt 0 \)\( f_{xx}''(P)\lt 0 \)→\( P \) punto di max rel.

\( Q(5,2) \) → \( f_{xx}'' (Q) = -60 + 2 + 42 = -16 \)\( f_{yy}''(Q) = \frac{1}{2} \)\( f_{xy}''(Q) = 3 \)

\( \det H(Q) = \left| \begin{array}{cc} -16 & 3 \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array} \right| = 8 - 9 \lt 0 \)

\( \det H(Q) \lt 0 \)→\( Q \) punto di sella

1(6)

(1 punto) Sia f(x,y) = -√y-3x²+8x+3. Il punto (0,-3) è:

• (a) punto di sella
• (b) punto di massimo relativo (o locale), ma non assoluto (o globale)
• (c) punto di massimo assoluto (o globale)
• (d) punto di minimo assoluto (o globale)

f(0,-3) = -√-3+3 = 0

f(x,y) - f(0,-3) = -√y-3x²+8x+3 - 0 =

= -√y-3x²+8x+3 ≤ 0

f(x,y) - f(0,-3) ≤ 0

f(x,y) ≤ f(0,-3)

(0,-3) pe Max ass.

17)

(1 punto) Sia f : ℝ² → ℝ dotata di derivate parziali prime e seconde continue in ℝ² ed H_f(x,y) la sua matrice hessiana. Se det H_f(x₀,y₀) < 0 allora

• (a) nessuna delle altre risposte è corretta
• (b) il punto (x₀,y₀) è un punto di sella
• (c) il punto (x₀,y₀) è un punto di minimo locale se f''_xx(x₀,y₀) > 0
• (d) il punto (x₀,y₀) può non essere un punto stazionario

18)

(1 punto) Sia f : ℝ² → ℝ dotata di derivate parziali prime e seconde continue in ℝ² ed H_f(x,y) la sua matrice hessiana. Se (x₀,y₀) è un punto stazionario e det H_f(x₀,y₀) < 0 allora

• (a) il punto (x₀,y₀) è un punto di minimo locale
• (b) il punto (x₀,y₀) è un punto di massimo locale se f''_xx(x₀,y₀) < 0
• (c) nessuna delle altre risposte è corretta
• (d) il punto (x₀,y₀) è un punto di sella