Esercizi di Matematica generale

Teorema di Lagrange

f(x) im [a,b] continuó im [a,b] e derivabile im (a,b)

∃ c ∈ (a,b) \

f^'(c) = ^f(b)-f(a)/_b-a

m_corda = ^f(b)-f(a)/_b-a  (Δy/Δx)

m_d f^'(c) é il coef. angolare della t.g. im x = c

Solo im x=c corda é // alla tangente!

Teorema di Lagrange

f(x) im [a,b] continuo im [a,b] e derivabile im (a,b)

∃c ∈ (a,b) |

f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

m_corda = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} (Δy/Δx)

Md f'(c) è il coefficiente angolare della retta tg im x=c

Solo im x=c corda è // alla tangente!

TE_f

f(x) =

• 3kx² + 7kx + 3x + 7     x ≤ 0
• -3x + 7     x > 0

Per queli valori di k ∈ ℝ     f(x) soddisfa le ipotesi delth. di Lagrange.

• continua in [a,b]
• olivabile in (a,b)

CONTINUITÀ im x=0

f(c₀) = f

limx -> 0⁺ (-3x+7) = f₀

f(x) è continue im x=0∀k

DERIVABILITÀ im x=0

y^'(x) =

• 6kx + 7k + 3
• -3

x < 0

x > 0

lim_x->0^- y^' = lim_x->0^- (6kx + 7k + 3) = 7k + 3

lim_x->0⁺ y^' = -3

Allora deve essere 7k + 3 = -3

k = -6/7

Te 2)

f(x) = 3x² - 2x + 6

im [2; 3]

Quale è il punto c, di cui della tesi del Th. di Lagrange?

f(x) è continua e derivabile in [2; 3]

a = 2

b = 3

f(a) = f(2) = 3 ⋅ 4 - 4 + 6 = 14

f(b) = f(3) = 3 ⋅ 3² - 6 + 6 = 27

^f(b)-f(a)/_b-a = ^27-16/_3-2 = 11

f'(x) = 6x - 2

→ f'(c) = 11

6c - 2 = 11

6c = 15

c = ¹⁵/₆ = ⁵/₂

STUDIO di FUNZIONE

f(x) = (x² - 1) . e^x

⊗ D_f: ℝ

D = (-∞; +∞)

1. Segno di f(x) ⇒

• f(x) > 0
• f(x) < 0

D = (-∞; +∞)

f(x) > 0 : (x² - 1)e^x > 0 = D x² - 1 > 0

x < -1

x > 1

f(x) > 0 in (-∞ ; -1) (1 ; +∞)

f(x) < 0 in (-1 ; 1)

im x = ± 1

f(x) = 0

lim_x->+∞ (x² - 1) · e^x = +∞ · e⁺ = +∞

lim_x->-∞ (x² - 1) · e^x = lim_x->-∞

(x² - 1) / e^+x(+∞) = 0⁺

• Crescenza / Decrescenza / Massimi / Minimi

NB₀ Se x₀ è punto stazionario per f(x) allora f'(x₀)=0

NB₁ Non è detto che le soluzioni dell'equazione f'(x)=0 siano punti stazionari!!!

=> Studiare il segno di f'(x)

f'(x) > 0

f(x) = (x² - 1)e^x

y' = 2x.e^x + (x²-1).e^x =

= e^x(x² + 2x - 1)

y' > 0 => x² + 2x - 1 > 0

x_1/2 = −2 ± √4±4 over 2 = −2 ± √8 over 2 = −2 ± 2√2 over 2 = −2(1±√2) over 2 =

= −1 ± √2

y'^>0 ⇔ x < −1−√2 ∨ x > −1+ √2

−1−√2 —— −1+√2

x_M = −1−√2

x_m = −1+√2

d) CONCAVITÀ/CONVESSITÀ/FLESSI

Studiare segno di y''

y' = e^x(x² + 2x - 1)

y'' = e^x(x² + 2x - 1) + e^x(2x + 2) =

= e^x(x² + 4x + 1)

y'' > 0 ⟹ x² + 4x + 1 > 0

x_1/2 = ^{-4 ± √(16 - 4)}/₂ = ^{-4 ± √12}/₂ = ^{-4 ± 2√3}/₂ = -2 ± √3

x = -2 ± √3 sono le ascisse dei punti di flesso.

GRAFICO QUALITATIVO di f(x)

-2√3

-1-√2

-1-2√3

O

1

1+√2

M

F

FORMULE di TAYLOR

Se f(x) è definita in un intervallo I e se x₀ ∈ I, fissato un numero intero positivo m, f(x) è derivabile fino dell'ordine m-1-esimo in tutto l'insieme I e se esiste la derivata m-esima almeno per x=x₀, allora:

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)²/2! + f'''(x₀)(x-x₀)³/3! + ...

+ f^(m)(x₀)(x-x₀)^m/m! + O((x^m))

Resto

m! = m(m-1)(m-2)...3.2.1

5! = 5.4.3.2.1

=>

x₀ = 0 =>

Polinomio di MAC-LAURIN

Guardo l'andamento della funzione x₀ = 0

T_x=0 f(x) = f(0) + f'^'(0) x + ^{f''(0) x2}/_2!

È noto che di una funzione f(x) :

f(0) = 0 ; f'^'(0) = -3 ; f''(0) = 0 ; f'^'''(0) = -7 ; f^iv(0) = 2

1. Cosa è x=0 per f(x) ?
2. Grafico locale di f(x) nell'intorno dell'origine.

T_x=0^m=4 = f(0) + f'^'(0) x + ^{f''(0) x2}/_2! + ^{f''''(0) 3}/_3! x + ^{fiv(0) 4}/_4! x⁴

= 0 - 3x + ⁰/_2! x² - ⁷/_3! x³ + ²/_4! x⁴ =

= -3x - ^x3/₆ + ^x4/₁₂

P(x)

Dato che f^'(0) = -3 < 0 D↔f(x)è decrescente in x=0

{ f^'(0) = 0d^'''(0) = ± ≠ 0} x=0 è flesso!

y ↑

x →

0

Studiare il comportamento locale di f(x) = xe^x-2x inun intorno di x=0

D=ℝ

y^'= 1·e^x+xe^x-2 = e^x(1+x) - 2

e si ponesse y^'>0 e^x(1+x)-2>0 e^x(1+x)>2e^x>²/_1+x

y^' = e^x(1+x) - 2

y^'' = e^x(1+x) + e^x = e^x(x+2)

Provo a scrivere il polinomio di Mac - Laurin sino al grado m=2

f(0) = 0

f^'(0) = 1 - 2 = -1 ≠ 0

f^''(0) = 2 ≠ 0

m = 2

T

x = 0

= f(0) + f^'(0) x + ^f''(0)/_2! x² =

= 0 - x + ²/_2! x² = -x + x²

m=2

T

x=0

=-x+x² parabola

Dato che T _x=0 (x) è decrescente

nell'intorno dell'origine, allora anche

-f(x)=xe^x-2x è decrescente

nell'intorno dell'origine!!

Sia

f(x) = (1 - 3x) ln (1 - 3x)

a) dominio

D_f: 1 - 3x > 0   x < ¹⁄₃

D ≡ (-∞ ; ¹⁄₃)

b) derivata prima

f'(x) = -3 ln (1 - 3x) + (1 - 3x) . ¹⁄_1-3x . (-3) =

= -3 ln (1 - 3x) - 3 = -3 [ ln (1 - 3x) + 1 ]

c) derivata seconda

f''(x) = -3 . [ ¹⁄_1-3x . (-3) ] = ⁹⁄_1-3x