Esercizi di Fisica 2 - parte 3

CAMPO MAGNETICO VARIABILE

Una spira circolare si trova immersa in un campo magnetico non uniforme e non stazionario B(r,t)=a*t*r con a una costante, t il tempo e r la distanza dall'origine degli assi. Calcolare la f.e.m. indotta nella spira.

E = - d phi(B) / dt

B(r,t) = a t r

phi(B) = ∫ B . dℓ = ∫₀^r a t r 2pi r dr = 2 a t pi r³ / 3

dA = pi r² dl

2pi r dr

E = - 2 a pi r³ / 3

Un campo magnetico uniforme B e perpendicolare al piano di una spira quadrata di lato l=10 cm e di resistenza R=2 ohm. Il campo magnetico B varia nel tempo con legge B(t)=2t. Calcolare l'energia dissipata nella spira in 5 s.

l = 10 cm

R = 2 ohm

B(t)=2t

E m(t=5)=?

1) Mi calcolo il flusso magnetico

2) la corrente

3) la potenza

4) l'energia dissipata

Phi(B) = integral B * dS = integral 2t * 2l dl = 2t l²

S = l² -> dS = 2l dl

epsilon = - d(Phi)/dt = - 2l²

epsilon = Ri -> i = epsilon/R = - 2l²/2 = - l²

P = Ri² = 2l⁴

E m = Pt = integral₀⁵ P dt = 10l⁴

Una spira circolare di superficie S, costituita da un filo di rame di resistenza R, viene deformata per formare una spira quadrata. Questa viene posizionata parallelamente ad un campo magnetico uniforme che cresce nel tempo da t=0 con legge B(t)=B₀+at³. Calcolare la carica che scorre nella spira in un tempo Δt.

A = πε² -> ε = √A/π

p₀ = p_A

p₀ = πε² = 4ε² = p_A

ℓ = πR/4

ℓ^t = A₀

ε = - dΦ(B)/dt

Φ(B) = ∫ B(t) ds

Φ(B) = ∫ (B₀ + at³) 2ℓ dℓ

Φ(B) = B₀ℓ² + at³ℓ²

ε = - 3at²ℓ²

S₀ = πr² -> r = √S/π

C₀ = πR

P_A = 4ℓ

πR = 4ℓ

ℓ = πR/4

ε = Ri

i = ε/R

i = dq/dt

dq = i dt

i = - 3at²ℓ²/R

q = ∫₀^t (- 3at²ℓ²/R) dt

q = - aℓ²t³/R

4. Una spira circolare di diametro 13.2 cm, costituita da un filo di rame (1.68·10^-8 Ω·m) di diametro 2.25 mm, è posizionata perpendicolarmente ad un campo magnetico uniforme che decresce nel tempo da 0.75 T a zero con dB/dt costante. Calcolare la carica q che scorre attraverso una sezione del filo durante questo processo.

B(t₀) = 0,75 T

B(t₁) = 0 T

dB/dt = cost

ρ = 1,68 · 10^-8 Ω·m

q = ?

D = 13,2 cm

R = 6,6 cm

d = 2,25 mm

a = 1,125 mm

con p posso calcolare la resistenza R

con la variazione del flusso calcolo la fem

Ε = Ri ⇒ ricavo i = Ε/R ricavo q poiché i = dq/dt

R = l/S · ρ = πR/πa² · ρ = 8,76 · 10^-4 Ω

Ε = -dφ(B)/dt = -(-0,75) = 0,75 V

i = 856,16 A

q = ∫_t0^t₁ i dt = i(t₁-t₀)

Una spira circolare di diametro d, costituita da un filo di alluminio di raggio r, è posizionata perpendicolarmente ad un campo magnetico uniforme che cresce nel tempo da t=0 con legge B(t)=at². Calcolare l'energia dissipata in un tempo Δt nella spira e il campo elettrico indotto all'interno della spira.

B(t)=at²

Potenza = Ri²

Potenza = Em/t

Em = Pt

Φ(B) = ∫ B · dS = ∫₀^d/2 at² 2πr dr = a t² π d²/4

Ε = -dΦ(B)/dt = - a π d² t / 2 = ∫ E · dℓ

- a π d² t / 2 = E_i · π d²/4 → E_i = -2 a t

R = ρ_Al · l/A → dR = ρ_Al · d&ell²/(2πr²) → R = ρ_Al/2π · 1mΩ

i = Ε/R

P = Ri²

Em = Pt = Ri²Δt

4. Una spira circolare di diametro 13.2 cm, costituita da un filo di rame (1.68·10^-8 Ω·m) di diametro 2.25 mm, è posizionata perpendicolarmente ad un campo magnetico uniforme che decresce nel tempo da 0.75 T a zero con dB/dt costante. Calcolare la carica q che scorre attraverso una sezione del filo durante questo processo.

R = 6,6 cm

r = 1,125 mm

ρ = 1,68·10^-8 Ω m

dB/dt = cost

ΔB = -0,75 T

R = ρ h/S => R = ρ · (R/πr²) => R = ρ · R/r²

ε = -dφ(B)/dt = 0,75

i = ε/R => i = dq/dt => i dt = dq

CONDENSATORI

Calcolare in quanto tempo la carica immagazzinata in un condensatore cilindrico di raggio interno a e raggio esterno b e lunghezza l si dimezza, considerando che al tempo t=0 le sue armature vengono connesse ad una resistenza R e la carica iniziale nelle armature e pari a Q₀.

carica condensatore Q₀R₁ = a ; R₂ = b ; l

C = q/v → q = CV

C = 2πε₀l / ln(R₂/R₁)

V₀ = Q₀ / C

V_C(t) = V₀e^-t/RC

V_C(t/2) = V₀/2 e^-t/RC

V_C(t) / V₀ = e^-t/RC / 2

e^-t/RC = 2

log_ab = c ; a^c = b

-t/RC = ln 2

t = -(ln 2)RC

scarica di un condensatore

Calcolare in quanto tempo la carica immagazzinata in un condensatore sferico di raggio interno a e raggio esterno b si dimezza, considerando che al tempo t=0 le sue armature vengono connesse ad una resistenza R e la d.d.p. iniziale applicata tre le armature e pari a V₀.

i = E/R (e^-t/RC)

i(0) = E/R

i(t) = E/2R e^-t/RC

E/R = E/2R e^-t/RC

2 = e^-t/RC → ln 2 = -t/RC → t = ln 2 RC

Un sistema di due condensatori C uguali e posti in parallelo viene caricato ad una differenza di potenziale V0. All'istante t0 il sistema viene scaricato attraverso una resistenza R fino a dimezzarne l'energia. Determinare la nuova ddp ai capi del sistema e l'energia dissipata nella resistenza.