Esercizi di Fisica 2 - parte 2

CALCOLO CAMPO MAGNETICO

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore e uniforme. Calcolare a che distanza dall'asse, esternamente al conduttore, il campo e uguale a quello presente ad una distanza r=R/3.

raggio R

densita J

corrente I

I = J pi R² -> J = I/pi R²

φ(B) = B . 2pi r = mu₀ J . pi r²

1) B(r<R) = mu₀ J r / 2

2) B(r>R) = mu₀ J R² / 2r

1) -> R/3

mu₀ J R / 6 = mu₀ J R² / 2r -> r = 3R

B = mu₀ I / 2pi d

B = mu₀ I / 2pi R/3

B

R/3

R

3R

r2

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore, non e uniforme, ma varia in funzione del raggio come J(r)=a·r. Calcolare l'andamento del campo magnetico all'interno del conduttore.

J(z) = a·z

AMPERE

∮ B · ds = mu₀ I_c

∫₀^z B · 2pi e' de' = mu₀ ∫₀^z J · ds

0 < B(0) < R

B · pi e z² = mu₀ ∫₀^z a · z' · 2pi e' de'

B = mu₀ 2pi a [z³]₀^z · 1/(pi z² e) → B(e) = 2/3 mu₀ a · z

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre una corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore, non e uniforme, ma varia in funzione del raggio come J(r)=ar². Calcolare la costante a e il campo magnetico ad una distanza R/2 dall'asse.

J(z)=a z²

a=?

B(R/2)

∤B⁃d⁃s = μ₀I_c

dS = 2πr dr

I_tot = ∫₀^R J dS

I = ∫₀^R a z² 2πz dz

I = (2/4) a π R⁴ → a = 2I/πR⁴

I_c = ∫₀^R/2 a z² 2πz dz

I_c = aπR⁴/32

B(r) · 2πr = μ₀ · aπR⁴/32

B(r) = μ₀aR⁴ / 4r

B(2R) = μ₀aR³/4

B(2R) = aμ₀R⁴/4π

B(R) = μ₀I

μ₀aR³/4 = μ₀I

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore e uniforme. Calcolare a che distanza dall'asse, esternamente al conduttore, il campo e uguale a quello presente ad una distanza r=R/3.

∫ B· dℓ = μ₀ I_c

I_c = J ∫ dS

B · 2πr = μ₀ ∫₀^r J · 2πr dr

B = μ₀ J r / 2

interno

∫ B· dℓ = μ₀ I_c

B · 2πr = μ₀ ∫₀^R J · 2πr dr

B = μ₀ J R² / 2r

esterno

B(R/3) = μ₀ J R / 6

μ₀ J R / 6 = μ₀ J R² / 2r

r = 3R

Un conduttore cilindrico cavo di raggi a e b e percorso da una corrente con densita di corrente j non uniforme j(r)=c/r² A/m². Calcolare il campo magnetico B(r) in funzione della distanza r dall'asse del conduttore.

j(r)=c/r² [A/m²]

AMPERE

All'interno fino al raggio a il campo B = 0 (0 < r < a)

∫ B·dl = mu₀ I_c

I_c = ∫_a^r j·dS = ∫_a^r (c/r²) 2 pi r dr

I_c = ∫_a^r (c/r²) 2 pi r dr = 2 pi c · ln(r/a)

B = (2 pi c)/(2 pi r) · ln(r/a) -> B = c/r ln(r/a) (a < r < b)

∫ B·dl = mu₀ I_c

I_c = ∫_a^b j·dS = 2 pi c · ln(b/a)

B = (2 pi c)/(2 pi r) · ln(b/a) -> B = c/r ln(b/a) (r > b)

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore e uniforme. Calcolare a che distanza dall'asse l'intensita del campo magnetico risulta massima.

AMPERE

∫ B dl = mu₀ I_c

l = 2 pi r → dl = 2 pi dr

I_c,int = ∫₀^r J ds = ∫₀^r J 2 pi r dr = J pi r²

S = pi r² → dS = 2 pi r dr

B₁(0 < r < R) = mu₀ J pi r² / 2 pi r = mu₀ J r / 2

I_c,est = ∫₀^R J ds = ∫₀^R J 2 pi r dr = J pi R²

B₂(r > R) = mu₀ J R² / 2 r

Il campo magnetico e MAX nella superficie

2. Un vecchio disco in vinile di raggio R possiede una carica totale Q distribuita superficialmente con densita sigma = a r, con a una costante e r la distanza dal centro del disco. Calcolare il campo magnetico B al centro del disco se il disco ruota ad una velocita angolare w

disco sono tanti anelli concentrici di raggio r e spessore dr con carica dq = 2pi r dr sigma che ruota con pulsazione w

dI = dq/T     T = 2pi/w

dB = mu₀ dI / 2r     dB = mu₀ sigma w dr / 2

B = integrale da 0 a R di mu₀ a r w / 2 dr

B = mu₀ a w R² / 4     se R = 0 B = 0!

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre una corrente con densità di corrente J, parallela all'asse del conduttore, non uniforme, ma varia in funzione del raggio come J(r) = ar². Calcolare la forza magnetica esercitata su un filo parallelo rettilineo (di raggio trascurabile) posto ad una distanza d > R dall'asse del conduttore cilindrico e percorso da una corrente I.

calcolo la corrente che scorre nel filo

I = ₀^R J ds = ₀^R ar² . 2 pi r dr

I = 2a pi R⁴ / 4

B . 2 pi d = mu₀ a pi I R⁴ / 2

B = mu₀ a I R⁴ / 4d

F₁₂ = I₂ . B₁ . d

La forza che il cilindro genera sul filo e data dalla corrente del filo per il campo magnetico del cilindro per la distanza tra i due

FLUSSO CAMPO MAGNETICO

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre una corrente I uniforme. Calcolare il flusso del campo magnetico attraverso una superficie circolare di raggio R₂+R, concentrica all'asse del cilindro e collocata perpendicolarmente all'asse del conduttore.

la superficie in questione non viene attraversata da campi magnetici e quindi il flusso risulta nullo

∮ B · dS = mu₀ I_c

la superficie orientata dS risulta ortogonale al campo magnetico annullando il prodotto scalare e rendendo nullo il flusso

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre una corrente con densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore non uniforme, questa varia in funzione del raggio come J(r)=br. Calcolare il flusso del campo magnetico attraverso una superficie rettangolare interna al cilindro, collocata radialmente, che si estende dall'asse alla superficie del cilindro. La superficie rettangolare ha lati L e R.

J(r) = br

Si flusso del campo magnetico

nella superficie scelta sara' max

poiche' parallelo alla direzione della

superficie ma varierea' in funzione

di r poiche' la densita' non e' uniforme

AMPERE

∫B · dl = mu_o I_c

I_c = ∫₀^r J · dS = ∫₀^r br · 2pi r dr

I_c = ∫₀^r br · 2pi r dr = 2/3 pi b r³

B = 2/3 pi b r³ mu_o · 1/2pi r → B = mu_ob r²/3

(0 < r < R)

Φ(B) = ∫B · dl = ∫₀^R mu_ob r²/3 · L dr = mu_obL R³/9

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre una corrente I uniforme. Calcolare il flusso del campo magnetico attraverso una superficie rettangolare, collocata radialmente, che si estende da r₁=0 ad una distanza r₂=2R, rispetto all'asse del cilindro. La superficie rettangolare ha quindi lati L e 2R.

AMPERE ∫ B · dℓ = μ₀ I_c

ℓ = 2πr → dℓ = 2πdr

I_cent = ∫₀^r J · dS = ∫₀^r J 2πr dr = Jπr²

S = πr² → dS = 2πr dr

B₁(0 < r < R) = μ₀Jπr² / 2πr = μ₀Jr / 2

I_cent = ∫₀^R J · dS = ∫₀^R J 2πr dr = JπR²

B₂(r > R) = μ₀J R² / 2r

Φ(B) = ∫₀^R B₁ dl + ∫_R^2R B₂ dS

S = L - R → dS = L · dr

Φ(B) = ∫₀^R (μ₀Jr / 2) L dr + ∫_R^2R (μ₀J R² / 2r) L dr

Φ(B) = μ₀J L R² / 4 + μ₀J L R² / 2 ln(2R/R)

Φ(B) = μ₀J L R² (1 + ln√2)

ENERGIA ELETTROSTATICA

Una carica q è distribuita all'interno di una sfera di raggio R_x incognito e con densità rho=b-ar, con r la distanza dall'asse a e b. Sulla superficie si misura un campo E₀. Determinare l'energia elettrostatica contenuta all'interno della sfera.

rho = b - ar

U = 1/2 epsilon₀ E²

phi(E) = ∫ E² dS = q int / epsilon₀

E 4 pi R² = ∫₀^R (b - a r) 4 pi r² dr / epsilon₀

Q = 4/3 pi b R³ - pi a R⁴

E 4 pi r² = b 4 pi R³ / 3 epsilon₀ - 4 a e⁴ pi / 4 epsilon₀ = 4/3 b pi R³ / epsilon₀ - a pi e⁴ / epsilon₀

E = b e³ / 3 epsilon₀ e² - a e⁴ / 4 epsilon₀ r² = b / 3 epsilon₀ r - a / 4 epsilon₀ r² = E(r<R)

u = 1/2 epsilon₀ (b / 3 epsilon₀ r - a / 4 epsilon₀ r²)² = 1/2 epsilon₀ (b² r² / 9 epsilon₀² + a² r⁴ / 16 epsilon₀² - a b pi r³ / 6 epsilon₀²)

U = ∫₀^Rx u 4 pi r² dr = ∫₀^Rx 1/2 epsilon₀ (b² r² / 9 epsilon₀² + a² r⁴ / 16 epsilon₀² - a b pi r³ / 6 epsilon₀²) 4 pi r² dr

ottengo l'energia Elettrostatica in funzione di Rx e la dovrò mettere in relazione con il campo elettrico nella superficie E₀

E₀ = q / 4 pi epsilon₀ R_x²

Q = 4/3 pi b (R_x³ - pi a R_x⁴) Da qui ricavo Rx

Calcolare l'energia elettrostatica contenuta all'interno di una sfera uniformemente carica di raggio R e densita di carica ρ.

u = 1/2 ε0 E²

Φ(z) = ∫_S E · dS = E · 4πz² = Qint/ε0

Qint = ρ · 4/3 πz³

E(z<R) = ρz/3ε0

u = 1/2 ε0 ρ²z²/9ε0² = ρ²z²/18ε0

U = u · Sh = ρ²z²/18ε0 · 4/3 πz²

2. Calcolare l'energia elettrostatica contenuta all'interno di un cilindro uniformemente carica di raggio R lunghezza L e densita di carica ρ.

Calcolo il campo elettricola densita di energiae poi l'energia elettrostatica

Φ(E) = ∫ E→ · dS→ = Q_mt / ε₀

Q = ∫₀^R ρ · dV = ∫₀^R ρ · 2πrℓ dr = ρ π R² ℓ

E(R) = ρ R²ℓ / 2πRℓε₀ = ρR / 2ε₀

u_e = 1/2 ε₀ E² = ρ²R² / 8ε₀

U_e = u_e Sh = ρ²R² / 8ε₀ · 2πRℓ = ρ²πℓR³ / 4ε₀

Calcolare l'energia di un sistema formato da due non conduttrici uniformemente cariche di raggio R e 2R, nelle quali è distribuita una carica q₁ e q₂ rispettivamente, poste tra loro a distanza d>>R.

E₁ = q₁ / 4πε₀R₁²

E₂ = q₂ / 4πε₀R₂²

esterno (r>R)

E(r<R) → E · 4πr² = ∫₀^r ρ · 4πr² dr / ε₀

E₁₁ = ρ r₁ / 3ε₀

E₂₁ = ρ r₂ / 3ε₀

interno (r<R)

u₁ = 1/2 ε₀ E_tot1²

E₁ + E₁₁    U_A

E₂ + E₂₁    U_B

U = ∫₀^R 1/2 ε₀ E_tot² · 4πr² dr

Calcolare l'energia elettrostatica di un sistema formato da tre cariche identiche q disposte come in figura.

L(q₁)_p1 = 0

L(q₂)_p1 = q₂ΔV₂ = q₂ · k · q₂ / (d/2)

L(q₃)_p1 = q₃ ΔV_3-2 = q₃ k (q/d/2 + q/d)

L_TOT = kq²/(d/2) + kq² (1/(d/2) + 1/d) = kq² (1/(d/2) + 1/(d/2) + 1/d)

L_TOT = kq²/(2d)

Il lavoro e' uguale all'energia elettrostatica

Una carica q e distribuita all'interno di un cilindro di raggio incognito R_x e lunghezza L, con densita rho,Si misura una d.d.p. DeltaV₀ tra l'asse e la superficie. Determinare l'energia elettrostatica contenuta all'interno del cilindro.

P

DeltaV_0-Rx

U=?

U = 1/2 eps0 E²

calcolo il flusso all'interno del cilindro

phi(E) = integral E dA = q_int / eps0

E * 2pi r l = (integral₀^r rho * 2pi r l dr) * 1/eps0

E * 2pi r l = rho pi r² l / eps0

-> E(2R_x) = rho pi / 2eps0

U = 1/2 eps0 E² = eps0/2 * rho² pi² / 4 eps0² = rho² pi² / 8 eps0

ENERGIA MAGNETOSTATICA

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore, non e uniforme, ma varia in funzione del raggio come J(r)=ar³. Calcolare l'energia immagazzinata all'interno del conduttore nel cilindro coassiale di raggio R/2 e lunghezza L.

J(z)=az³

∯B·dl = μ₀I_c

I_tot=∫₀^R J·ds = ∫₀^R a z³·2πzL dz = 2aπR⁵L/5

a = 5I/2πR⁵L

I_c=∫₀^R/2 J·ds = ∫₀^R/2 a z³·2πzL dz = aπR⁵L/(5·2⁴)

B·2πz = μ₀ aπR⁵L/(5·2⁴)

B(R/2) = μ₀a/(5·2⁴) R⁴

U = B²/(2μ₀) = μ₀a²L²R⁸/(5²·2⁸) · 1/(2μ₀) = μ₀a²L²R⁸/(5²·2⁹) = μ₀R¹⁰I²/(5²·2⁹·2²π²R¹⁰L²) = μ₀I²/(2¹¹π²R)

1. In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I.

La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore, non e uniforme, ma varia in funzione del raggio come J(r)=a/r. Calcolare l'energia per unita di lunghezza contenuta nel campo magnetico all'interno del conduttore cilindro.

Raggio R corrente I

densita J(r)=a/r

u = B² / 2 mu₀

AMPERE

∮ B . ds = mu₀ I_c

B . 2 pi r = mu₀ ∫₀^r J . ds = mu₀ ∫₀^r (a/r) 2 pi r dr

B = 2 mu₀ a pi r / 2 pi r

B = mu₀ a all'interno il campo magnetico e' costante

U = mu₀ a² / 2

In un lungo conduttore cilindrico di raggio R scorre la corrente I. La densita di corrente J, parallela all'asse del conduttore, non e uniforme, ma varia in funzione del raggio come J(r)=a r. Calcolare l'energia immagazzinata all'interno del conduttore nel cilindro coaxiale di raggio R/2 e lunghezza L.

Raggio R corrente I densita J

J = a r

Ve Q? a = R/2

∮ B . ds = mu₀ I_c

B . 2 pi r = mu₀ ∫₀^r a z . 2 pi z dz

B = mu₀ / 2 pi r² a ∫₀^r z³ dz = mu₀ a r³ / 3r = mu₀ a r² / 3

U = B² / 2 mu₀ => 1 / 2 mu₀ ∫₀^R/2 B² dr = 1 / 2 mu₀ ∫₀^R/2 (mu₀ a r² / 3)² 2 pi r e dr = mu₀ a² pi e / 9 [r⁶ / 6]₀^R/2 = mu₀ a² pi e R⁶ / 384