Esercizi di Fisica 2 - parte 4

Calcolare la densita di corrente J(r) in funzione della distanza r dal centro di una sfera cava di materiale conduttore al passaggio di una corrente radiale I. Siano R1 e R2 i raggi interno ed esterno della sfera cava e rho la resistivita del materiale. Calcolare inoltre la potenza dissipata.

I = ∫₀^r J · dS = J 4πr²

S = 4πr² → dS = 8πr dr

J = I/4πr²

dR = rho · dr/S = rho/4πr² dr

R = ∫₀^R rho/4πr² dr = -rho/4πR

P = R i² = -rho/4πR (I/4πR²)² = -rho I² 4πR³

Calcolare in quanto tempo si dimezza la tensione presente ai capi di un condensatore piano di capacita C che viene collegato al tempo t = 0 alle superfici interna ed esterna di un guscio sferico di materiale conduttore. Siano R₁ e R₂ i raggi interno ed esterno del guscio e ρ la resistivita del materiale.

R = ρ l / S

C = ε₀ S / d

R = ρ dl / dS = ∫_R1^R₂ (ρ dr / 4πr²) = ρ / 4π (-1 / r)_R1^R₂ = ρ / 4π (1 / R₁ - 1 / R₂)

i(0) = - ε / R

i(t) = ε_h / R (e^{-t / RC})

ε(0) = ε

ε(t) = ε / 2

t = ?

- ε / R = ε / 2R (e^{-t / RC})

-2 = e^{-t / RC}

log_a b = c    a^c = b

+ t / RC = + ln 2

t = RC ln 2

2. Calcolare la resistenza offerta da una sfera cava di materiale conduttore al passaggio di una corrente radiale. Siano R₁=0,5 cm e R₂=2 cm i raggi interno ed esterno e rho=35.10^-6 ohm m la resistivita del materiale.

R₁ = 0,5 cm

R₂ = 2 cm

rho = 35.10^-6 ohm m

R = rho * h / S

R = integral da R₁ a R₂ di rho d r / 4 pi r² = rho / 4 pi (-1 / r)_R1^R₂ = rho / 4 pi (1 / R₁ - 1 / R₂)

=> i₀ = -f/R

i(t) = -f/R e^-t/RC

f = Q/C

ΔV_R(t) = -f e^-t/RC

ΔV_C(t) = f e^-t/RC

Q(t) = C f e^-t/RC

ΔV_R(t) →_t→∞ 0

ΔV_C(t) →_t→∞ 0

Q(t) →_t→∞ 0

Calcolare in quanto tempo la carica di un condensatore sferico di raggio interno a e raggio esterno b si dimezza, considerando che al tempo t = 0 le sue armature vengono connesse ad una resistenza R e la sua d.d.p. iniziale è pari a V₀.

SCARICA DI UN CONDENSATORE

SFERICO

C = 4πε₀ (2ba/(2b - 2a))

i(0) = -ε/R = -Q₀/RC

i(t) = -ε/R e^-t/RC

i(t) = -Q₀/(2RC) e^-t/RC

+ Q₀/RC = + Q₀/(2RC) e^-t/RC → 2 = e^-t/RC

z = e^-t/RC

ln 2 = -t/RC → -RC ln 2 = t

log a = c

a = b

2. Calcolare la resistenza offerta da una sfera cava di materiale conduttore al passaggio di una corrente radiale. Siano R₁=0,5 cm e R₂=2 cm i raggi interno ed esterno e r=35·10^-6 Ω m la resistivita del materiale.

R₁ = 0,5 cm

R₂ = 2 cm

r = 35·10^-6 Ω

dR = dr/S r =

oreo guscio sferico di raggio r e spessore dr

Superficie sfera 4πr²

R_tot = ∫_R1^R₂ dr/(4πr²) · r = -r/4π (1/R₂ - 1/R₁) = r/4π (1/R₁ - 1/R₂)

Calcolare la carica immagazzinata in un condensatore sferico di raggio interno a =30 cm e raggio esterno b =31 cm, se la differenza di potenziale applicata tra le armature e pari a 500 V.

ΔV = 500 V

R₁ = 0,3 m

R₂ = 0,31 m

C = 4πε₀ R₁R₂/(R₂-R₁) = 1·10^-9 F = 1 mF

C = q/ΔV -> q = C·ΔV = 5,17·10^-7 C

2. Un conduttore cilindrico di raggio R₁=1 cm è percorso da una corrente con densità di corrente j non uniforme di modulo j(r)=4r A/m². Il conduttore è circondato da un guscio cilindrico conduttore coassiale di raggio interno R₂=1.5 e raggio esterno R₃=2 cm nel quale scorre una corrente in verso opposto con densità uniforme J_x. Calcolare la densità di corrente del guscio cilindrico esterno affinchè il campo magnetico risulti nullo per r>R₃.

Tra le armature di un condensatore cilindrico viene inserito un liquido conduttore di resistenza R, resistivita rho e costante dielettrica relativa k=1. Calcolare la capacita del condensatore.

R, k, rho

C = 2pi epsilon₀ l / ln(b/a)

dR = rho dr / 2pi r l

R = integral da a a b di rho / 2pi r l dr = rho / 2pi l ln(b/a)

R C = rho epsilon₀

C = rho epsilon₀ / R

CIRCUITI

Una bobina di resistenza interna R=15 Ohm e induttanza L=0.6 H viene collegata ad un generatore di f.e.m. E=120 V. Calcolare il valore della derivata temporale della corrente (di/dt) nel momento in cui il generatore viene collegato alla bobina e al tempo t >> L/R, a tempo inf.

R = 15 Ohm

L = 0,6 H

E = 120V

di/dt = ? t(0)

t >> L/R

i tot = E/R = 8A

E + E_L = Ri

E_L = -L di/dt

E = L di/dt + Ri

i = E/R (1 - e^{-R/L t})

di/dt = (E - E(1 - e^{-R/L t}))/L

di/dt = E/L (1 - 1 + e^{-R/L t})

di/dt = E/L e^{-R/L t}

di/dt(0) = E/L

di/dt(t >> L/R) = 0

significa con t → inf

Una bobina di resistenza interna R e induttanza L viene collegata ad un generatore di f.e.m. ε al tempo t=0. Calcolare il valore della potenza dissipata nella resistenza al tempo t=L/R.

R, L, ε     t=0

P(t=L/R)

i = ε/R (1 - e^-Rt/L)

P(L/R) = R i² = R (ε/R (1 - e^-1))² =

= ε²/R (1 + e^-2 - 2e^-1)

ε²/R + ε²/(Re²) - 2ε²/(Re)

Un sistema di due condensatori piani uguali di capacita C e posti in parallelo viene caricato ad una differenza di potenziale V₀. Il sistema viene quindi isolato. All'istante t₀ uno dei condensatori viene riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa k. Determinare: la variazione di energia potenziale elettrostatica del condensatore con dielettrico.

C_eq = C₁ + C₂

C_eq = q/V

q₁ = C_eqV

U₁ = 1/2 q²/C₁

U₂ = 1/2 q²/C

C₂ = kC

q₂ = q + C₂

C₁ = C₂

q = C_eqV₀

Q₁ = C₁V₀

Q₂ = C₂V₀

Q₁ = C₁V₀

Q₂ = kC₂V₀

C_eq1 = C₁ + C₂

U₁ = q²/2C₂

C_eq2 = C₁ + kC₂

U₂ = q²/2kC₂

Un solenoide di resistenza R e induttanza L viene collegato ad un generatore di fem (e).

Calcolare il valore di energia contenuta nel campo magnetico all'interno del solenoide nel momento in cui il generatore viene collegato alla bobina e al tempo t>>L/R

U = 1/2 L i²

i = e/R (1 - e^{-R/L t})

e + e_L = Ri

e + L di/dt + Ri

di/dt = (e - Ri)/L

di/dt = (e - R(e/R (1 - e^{-R/L t})))/L

con t = 0 → e/L

con t → ∞ → 0

i(0) = e/L

i(∞) = 0

U(0) = e²/2L²

U(∞) = 0