Esercitazione svolta Algebra lineare

Esercizi geometria e algebra per Ingegneria biomedica (Esercitazione 12/03/21)

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Data una base OP₁, OP₂, OP₃ ortonormale dello spazio dei vettori geometrici nello spazio tridimensionale e dati i due vettori seguenti:

u = OP₁ + OP₃, v = OP₁ + OP₂

• Si determini l’angolo convesso tra u e v.
• Si determini l’angolo convesso tra u + v e i vettori coordinati OP₁, OP₂, OP₃.
• Si determinino i k per cui u kv è perpendicolare a u.
• Detto p il piano su cui giacciono u e v, si dica se all’interno di questo piano ci sono vettori perpendicolari al vettore OP₁ + 2 OP₂ + 3 OP₃ e li si determini.

2

Data una base ortonormale OP₁, OP₂, OP₃ dello spazio dei vettori geometrici nello spazio tridimensionale, si mostri che la seguente è ancora una base ortonormale:

OQ₁ = 1/√3 OP₁ + 1/√3 OP₂ + 1/√3 OP₃

OQ₂ = 1/√6 OP₁ + 1/√6 OP₂ − 2/√6 OP₃

OQ₃ = 1/√2 OP₁ − 1/√2 OP₃

Supposto che OP₁, OP₂, OP₃ sia destrorsa, riuscite a capire se OQ₁, OQ₂, OQ₃ è destrorsa o sinistrorsa?

R 3

3

Dati tre vettori u, v, w, si chiama prodotto misto il seguente:

u · (v ^ w)

Si calcoli il prodotto misto:

u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 2), w = (3, 1, 2)

1 Cioè formata da vettori ortogonali e di lunghezza 1

Si mostri poi che in generale il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori u, v, w coincide con il volume del parallelepipedo che ha come spigoli u, v, w (suggerimento: ci si convinca prima che la lunghezza del prodotto vettoriale v ^ w coincide con l’area del parallelogramma con lati v e w).

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Sia OP₁, OP₂ una base dello spazio dei vettori geometrici nel piano.

(i) Si dica perché OQ₁ = OP₁ + OP₂, OQ₂ = OP₁ + 2 OP₂ è ancora una base.

(ii) Se (2, 5) sono le coordinate di un vettore v rispetto a OP₁, OP₂ si trovino le coordinate di v rispetto OQ₁, OQ₂.

Si rappresenti poi i vettori graficamente (partendo da una coppia OP₁, OP₂ a piacere) mettendo in evidenza le diverse coppie di coordinate rispetto alle due diverse basi.