Appunti Algebra lineare (Esercitazione)

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Author: andrea.boventi

Revisionato il 29/06/2026

di andrea.boventi

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Appunti di Esercitazione di Algebra del corso di Algebra lineare e Geometria analitica tenuto dal prof. Tommaso Traetta nell'anno accademico 2021-2022 basati su appunti personali del publisher …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pasotti Anita

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2021-2022

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Algebra esercitazioni

Definizione di matrice

Una matrice di tipo (m, n) con coefficienti in K è una tabella con m righe e n colonne, i cui elementi (detti coefficienti o entrate) appartengono a K.

Per esempio:

A = _{a_i,j} = ( _{a_1,1, ... , a_1,n} _{a_2,1, ... , a_2,n} ... , ... , ... _{a_m,1, ... , a_m,n} )

K^m,n rappresenta l'insieme di tutte le matrici in K^m,n con coefficienti in K.

L'elemento generico della matrice è indicato con ^{a^i,j} e varia tra le k_iesime righe e colonne.

Esempio

B = (³ ^-1 ⁰ _-½ _⅓ ⁴)

B ∈ K³

Tipi di matrici

Quando n = 1, si dice matrice colonna. Per esempio:

A = (3 -2 1/4) -> ∈ ℚ^1,3

B = ( 0 )( 2 ) → B ∈ ℝⁿ( 1.5 )

Se m = n, allora è una matrice quadrata di ordine m. Ad esempio:

C = (3 -2)(4 a) -> quadrata di ordine 2 -> ∈ ℚ^n,n

Somma tra matrici

Consideriamo A = (a_ij)_m,n e B = (b_hij)_m,n ∈ ℚ^n,ℎ

A + B = (c_ij) è la matrice di ℚ^m,n tale che c_ij = a_ij + b_ij

Esempio

A = (3 -2)(4 0), B = (4 0)(1 2)(1 1)

A + B = (7 -2)(5 3)(1 1)

(ℚ^m,n, +) è un gruppo abeliano commutativo perché gode delle proprietà commutative della somma:

Esiste l'elemento neutro (O_m,n = 0)
Esiste l'opposto di ogni matrice di ℚ^m,n

Se A = (a_i,j) => -A = (-a_i,j)

Esempio

In R^2,2, la matrice nulla è quella con coefficienti tutti nulli: O_2,2 = ^{(0 0)} (0 0)

Se A = ^{(3 4)}, => -A = ^{(-3 -4)} (-1 -2) (1 2)

Prodotto di una matrice per uno scalare

Consideriamo A:(a_i,j) ∈ K^n,m e sia k ∈ K_k

Allora k·A = (c_i,j) è una matrice di K^m,m dove c_i,j = k·a_i,j

Esempio

Siano A = ^{(3 5 0)}, k = 2 (4 0 1)

Allora k·A = 2 ^{(3 5 0)} = ^{(6 10 0)} (4 0 1) (8 0 2)

Proprietà del prodotto per uno scalare

Siano A, B ∈ K^m,m e h, k ∈ K allora:

(h+k)·A = h·A + k·A
h(k·A + B) = h·A + h·B
h(k·A) = h(k·A)
1·A = A

Quindi (K^m,m, +, ·) è uno spazio vettoriale su K

Esempio

A = ^{(3 4)} ∈ Q², h = 2, k = 3 (1 -2)

h(k·A) = h(3 ^{(3 4)}) = h(9 - 3) = ^{(-48 6)} (1 -2) (3 -6) (12 -24)

(h·k)A = ^{(3 4)} = ^{(-48 6)} (1 -2) (12 -24)

Prodotto tra matrici (prodotto riga x colonna)

Caso particolare: Siano A una matrice riga e B una matrice colonna:

Supponiamo che A = (a_1,1, a_2,1, ..., a_1,m)

B = (b_1,1, b_2,1, b_3,1 ... )

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