Campi conservativi 6

Studiare la conservatività del campo x

−y

~ ~ ~

i + j.

F (x, y) = 2 2 2 2

x + y x + y

2

Il campo dato è definito e regolare su \ {(0, 0)}, che non è un insieme stellato.

R²

Soluzione.

Vale comunque l’uguaglianza delle derivate in croce, infatti

2 2

∂F ∂F

y − x

1 2

=

= .

2 2 2

∂y (x + y ) ∂x

Tale condizione però non equivale, anche in questo caso, alla conservatività del campo. Nel

2

semipiano {(x, y) ∈ : x > 0} un potenziale è dato dalla funzione

R y

,

Φ(x, y) = arctan x ~

come si può verificare direttamente. In tutto il dominio invece F non è un campo conservativo.

Infatti verifichiamo che esiste una curva chiusa che gira attorno al punto (0, 0) per la quale la circuitazione del campo non è 0. Sia C la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, percorsa una sola volta in senso antiorario. Allora si ha

2π

− sin t cos t

I Z

~ ~ ~ t~i t~j)dt

i + j · (− sin + cos =

F · d~r = 2 2

2 2

cos t + sin t cos t + sin t

C 0 2π

Z 2 2

= (sin t + cos t)dt = 2π 6 = 0.

0