Appunti di Modellistica matematica 2

In questa lezione

• Funzione di trasferimento
• Algebra dei blocchi
• Importanza dei poli e degli zeri

Un sistema dinamico lo possiamo descrivere a partire dalle equazioni differenziali, facendone la trasformata di Laplace arriviamo a scrivere la funzione di trasferimento, che è un modello del processo che collega l’output all’input, quello che c’è nel sistema viene oscurato dalla funzione di trasferimento stesso, a volte ci possono essere delle cancellazioni tra zeri e poli tra le TF che va a nascondere delle dinamiche.

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Quindi conoscendo G(s) posso ottenere l’output moltiplicando la TF alla trasformata di Laplace dell’input, ed a eccezione del Time Delay sono sempre delle funzioni razionali, le TF possono essere di tre tipi:

• Proprie grado di N=grado di D
• Strettamente proprio grado di D>grado di N
• Improprie N>D

Le radici del Numeratore prendono il nome di Zeri quelle del Denominatore di Poli, per essere realizzabile un processo, la TF deve essere propria o strettamente propria, le TF improprie (controllore PID) risentono delle variazioni veloci o dei rumori ad alta frequenza perché collegate alla derivata dell’input e questa può richiedere che la TF abbia un Gain infinito, non è possibile realizzare dei processi così.

Processi lineari di riferimento: Derivatives Proporzionale Integrale

Stabilità BIBO

Stabilità BIBO (Bounded Input Bounded Output): studiamo dei processi che stimoliamo con input vincolati (step, sinusoidali, rampe vincolate), vogliamo che un processo se stimolato con input vincolati risponda in modo vincolato, se questo avviene il sistema è detto BIBO stabile, ci sono delle eccezioni per cui abbiamo dei sistemi marginalmente stabili, rispondono ad alcuni stimoli vincolati in modo non vincolato, quindi questi processi non possono essere definiti stabili, possono dare anche oscillazioni sostenute dovute al posizionamento dei poli sul semiasse immaginario.

Come si scrive una TF

Esempio classico del serbatoio, la cui variabile di stato è h, conosciamo tutto possiamo ottenere un modello whitebox Vauth possiamo scrivere il bilancio di conservazione ShitVAIMIEIpiu pplant pPate piu event vent

Rv è la resistenza al flusso concentrata tutta nella valvola piu okpady h hsse o

Il punto di stato stazionario si raggiunge quando le portate in ingresso e uscita che in genere sono funzioni del tempo restano fisse NÈoff Vussta OP

Possiamo fare la sottrazione tra il modello dinamico e quello allo stato stazionario SsDin dingle LEing Deviationh hhss VariableÈ hE OO

Ho fatto questa sostituzione in h’ per non portarmi costanti nella trasformata di Laplace, se adesso faccio la trasformata di Laplace ottengo:

v41_liteshist Isshis LÈ 4Hhis s

Da cui posso ottenere la TF IIsis41s

Ho una TF del primo ordine perché ho un polo s che è un numero reale negativo Imm ReÌL

Possiamo scrivere l’equazione nello spazio di Stato che è una forma equivalente alle TF per descrivere i sistemi nel dominio del tempo, i poli sono gli autovalori della matrice di stato quindi determinano completamente la dinamica del sistema.

Ottenuta la TF posso andare a testare il sistema stimolandolo con diversi Input ad esempio 9 stimolo4 415 In Outs Vin Out9157 Stimolo s

Ottengo direttamente come varia il livello nel tempo nel serbatoio, questa è l’utilità della trasformata di Laplace.

Algebra dei blocchi

Lo stesso processo visto sopra lo posso descrivere come:

inT bisVenis GcsVauth

Qui la situazione