Appello svolto Analisi matematica 1

Analisi Matematica 1 – Primo appello – 9 gennaio 2023

MATRICOLA:

COGNOME: NOME:

ESERCIZI CON SVOLGIMENTO – Lo svolgimento dei seguenti esercizi deve essere scritto in max 2

fogli di bella copia (8 facciate) nei quali siano riportati calcoli e passaggi logici fondamentali, con indicazione

degli eventuali teoremi utilizzati. Ogni esercizio svolto correttamente vale 5 punti. La sufficienza si ottiene

totalizzando almeno 20/40, il voto finale sarà quindi rinormalizzato in trentesimi.

2

(2 + 2i) 6 13

Esercizio n. 1 – Calcolare la forma algebrica dei numeri complessi z = e w = 2 (1 + i) .

|1 + i|

Esercizio n. 2 – Calcolare i seguenti limiti:

(n + 1)!

✓ ◆ x

n 1 1+ x e

n! + 2

p

(a) lim (b) lim 2 2

(sin x) x

2

n + 1

n!+1 x!0

R 00 0

2

!

Esercizio n. 3 – Sia f : (0, +1) una funzione di classe C , tale che f (1) = f (1) = f (1) = 0. Dire

se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false, fornendo le necessarie spiegazioni:

1. se lim f (x) = 0 allora f ammette certamente un punto di massimo in (1, +1);

x!+1

2. se lim f (x) = 0 allora f non ha né punti di massimo né punti di minimo in (1, +1);

x!+1

3. la funzione f ha certamente un punto di flesso in x = 1;

!

4. se f ammette un asintoto orizzontale per x +1, allora ammette anche un punto di flesso in

(1, +1). p

x |x

Esercizio n. 4 – In riferimento alla funzione f (x) = e 1|, si chiede di determinare: dominio, limiti

fondamentali ed eventuali asintoti, punti di massimo e minimo relativo/assoluto.

p

x |x

Esercizio n. 5 – In riferimento alla funzione f (x) = e 1|, e continuando l’esercizio precedente, si

chiede di individuare intervalli di convessità / concavità e di tracciare il grafico qualitativo.

p p

Esercizio n. 6 – Determinare l’insieme delle primitive della funzione x arctan( x).

Esercizio n. 7 – Studiare il carattere della serie

p

+1

X 2

3 6 2

n + n n

1 1

sin cos

p p

n n

n=1

Esercizio n. 8 – Stabilire se l’integrale generalizzato

p

Z +1 x

3

p p dx

2

x 4 3x + 7

2

è convergente.