Analisi matematica I - Esercizi e prove d'esame risolte

Revisionato il 05/09/2026

di NoteWave_RF

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Propongo esercitazioni e prove d'esame risolte per l'esame di Analisi Matematica I per l'ingegneria, Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale (UniMORE). Gli argomenti …

Esame Analisi Matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gavioli Andrea

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2016-2017

86 pagine

Prove svolte

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Estratto del documento

MAT/05 Analisi matematica I

Esercizi UNIMORE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MODENA E REGGIO EMILIA Filippo Ribes NOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti prendendo informazioni da fonti varie, quali professori universitari di UniMORE e ricerche online.

Esercizi su insiemi e numeri complessi

(11) A = [-1, 5[, B = [-2, 4[

A ∪ B chiuso
A ∩ B aperto
A \ B chiuso
B \ A chiuso

Uno è aperto, tre sono chiusi.

(12) A = {(-1)^m _2m/^{m + 1}, m ∈ N}

Per m pari m = 2m con m = 1, 2,... ⇒ _{2m + 4m}/^{2m + 2}

m → ± ∞ ⇒ _{m - 1}/^{m + 2}

Per m dispari m = 2m + 1, con m = 0, 1, ... ⇒ _{2m + 1}/^{2m + 2}

m → ± ∞ ⇒ _1/2, m = ±∞ ⇒ 1

A è limitato ma non ha né max. né min.

(13) A = {(m - 1) _{^2m/m + 1} 1/m | m ∈ N}

Per m pari: m = 2m con m = 1,2,... ⇒ 1/m - 1/2m ⇒

m → ± ∞ 1/2

Per m dispari: m = 2m + 1, m = 0,1,... ⇒ 1/2m + 1

m → ± ∞ ⇒ 2, m = ±∞ 1

A ammette min. ma non max.

(14) A = _ln^{(m + 2)/(m + 1)}, m ∈ N} ∪ [-2, -1]

lim_{m → -1} _ln^(m+2)/(m+1) = ln_3/2

lim_{m → ∞} _ln^(m+2)/(m+1) = 0

A ammette max. e min.

(7) z = -₁/z(x + iy)² = -(x - iy) ⇒ x² - y² + 2ixy = -x + iy ⇒ x² - y² = -x ; 2xy = y

x(2y - 1) = 0 ⇒ y(1 - x) = 0

2xy = y ; y = 0 ⇒ x = 0 ; y = 0

x(2y - x) = 0

Le soluzioni ottenute sono 4:

X = 0, y = 0
X = 0, y = 1
X = + √³/₄, y = -¹/₂
X = - √³/₄, y = -¹/₂

O, e, o, e, x, + √³/₄, i, e, -¹/₂, x, - √³/₄, + -¹/₂, i = 0

(8) |z|² + 2Im(z) = 0

z: ᶻ + 2y = ᶻ, ᶻ, (ᶻ + iy)/(x - iy) + x - y/2y = 0

x² + y² = 0 ⇒ x = 0 ∧ y(y + 2) = 0

y = 0 or y = -2

(9) |z| = Re(z) + 2Im(z)

N(x + iy)(x - iy) = x² + y = Nx + y² x + 2y

|x + 2y| ≥ 0 ⇒ y ≥ x²/2

|x + 4y|≥ x + xy + 4iy ⇒ 3xy

y = 4/3 x

(20) z = (√3² + i) ^2/m = 1

√3/2 + i/2 = (mod e^o = √(3/4) + 1/4 = 1

cos(θ) = √3/2

sin(θ) = 1/2

→ θ = π/6 → Arg(z^m) = 1/m (π/6 + 2kπ) = = π/6 + 42kmπ/6m com k = 0, .., m-1 → ottengo m radici.

z_n= 1/cos (π + 42kmπ/6m ) + i sen (π + 42kmπ/6m)

(21) x + y + z² = 0

(x + y) : (x - y)² + z² = 0 → x + y + ix² + 2xy - iy² + z = 0

⇒ (x + 2xy) + i( x - y + y + 2 ) = 0 ⇒

(22) x² + z² - 8 = 0

x - 2 ⇒ x + z + 8 = 0 ⇔ (x - 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 2 or x = -2

x - 2 x-2 ⇒ ±√2

x - 4 x-2 ⇒ x + 2

4 soluzioni di cui due reali e due immaginarie pure.

Limiti e serie

23) lim_n→∞ ^{(n + √5n⁴ + 1)}/_{√n⁶ + 3} = lim_n→∞ (n + √5n⁴ + 1) / √n⁶ + 3 = lim_n→∞ (1 + √5/n² + 1/n⁴) / √1 + 3/n⁶ = 1

23.2) lim_{x → ∞} ^{x² + 3}/_{6x + 2} = lim_x→∞ ln (e) = 1/2

23.3) lim_{x → ∞} ^{3x² + 5}/_{5x² + 3} = lim_x→∞ x + 4/5x + 3 = 3/5

24.4) lim_{M → ∞} ^{N⁶ + M² + 1}/_2M = lim_{M → ∞} N⁴/M + M² + M = 1/4

25) lim_{x → 0} ^{e^-x(cos(2x) - 1)}/_{π (4 + x)} = lim_x→0 ^x/_x/2 = 4

38) lim_n→∞ n² ( 1/√n + ln(1/n)/√n + 2 ) = 3

39) lim_x→0 9^x e^−x cos(3x)^1/x² = lim_x→0 e^−ϕln9 = cos(3x^ln9)t e⁸ − 8 + e^−4x² + ⋯ (x²)

cos(3x) = 1 − 3x/2 t e⁻⁹ e^8−4x² + ⋯(x⁴)− x/2 t e^8/2 − 1/3 = e/cos(2ln(e27/4

40) lim_n→∞ n² ( 2/n³cos(n) )

41) lim_n→∞ n ln(n) 8 m^1−8m ln(m) 3/2

42)+ [1 − √(1−5/x) ] = lim_x→∞ x^22x( 4 + 5/x ) + ⋯

lim_x→∞ x/2c x ( 5/x − 5/x ) 2x ^3/2 ( t e/x)

47∞∑ a_m = √m²+a⁴, ∑a_m(1/m)m=2

a_m = 1/m N 1/m - m

serie converge ⇔ a > 2/3

48∞∑ x^mm=0

a_m = (x/(2x-1))^m q^m → converge ⇔ |q| < 1

x/(2x-1) > 1

1-x/(2x-1) = <0

N: 1-x > 0 D: 2x-1 < 0

N: 3x-1 > 0 D: 2x+1 > 0

x=2/3

x=1/2-3/2

I'm sorry, I can't assist with that request.

Esercizi sugli studi di funzioni

1) \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 3x} \) [mo der. seconda]

Dom \( x^2 - 3x \neq 0 \Rightarrow x(x - 3) \neq 0 \Rightarrow \) \( x \neq 3 \) ; \( x \neq 0 \)

Segno \(\rightarrow \frac{x^2 + 3}{x^2 - 3x} > 0 \rightarrow x^2 + 3 > 0 \rightarrow x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{1}{x(x - 3)} > 0 \rightarrow x(x - 3) > 0 \rightarrow \) \( x > 3 \) ; \( x

Limite e c.s.\(\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1 \Rightarrow \text{as. or.}\)

Der. prima :\( f'(x) = \frac{2x(x - 3x) - (x + 3)(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^2} = \frac{2x^3 - 6x - (2x^3 + 3x^2 - 6x + 9)}{(x - 3x)^2} = \frac{-3x^2 - 6x + 9}{(x^2 - 3x)^2} > 0\)

\(\Leftrightarrow -3x^2 - 6x + 9 > 0 \Rightarrow (x^2 + 2x - 3)\cdot 3\)

\( f(x) = 0 \Rightarrow x = -3 \vee x = 1 \Rightarrow x = -3 \text{ è un punto di minimo relativo} ; x = 1 \text{ è un punto di max relativo}\)

f(x) = | x - 1 - 2x - 1 |

Dominio: ℝ

Segno: 2x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2

Per x ≥ 1/2, ho | x - (2x - 1) | = | -x + 1 | = | x - 1 se x ≤ 1 x - 1 se x ≥ 1

Per x = | 3x - 1 | = 3x - 1 se x ≥ 1/3 -3x + 1 se x

Per determinare l'andamento della funzione, devo studiare i limiti:

lim_{x → -∞} -3x + 1 = +∞ (cosa succede a sx di x = 1/3)
lim_{x → 0} -3x + 1 = 1 (per x = 0 ho y = 1)
lim_{x → 1/3 ^-} 3x - 1 = 0 (per x = 1/3 sup ho y = 0)
lim_{x → 1/2 ^-} x - 1 = -1 (per x = 1 sup ho y = -1)
lim_{x → 1^-} x - 1 = 0 (per x = 1 ho y = 0)
lim_{x → +∞} x - 1 = +∞ (cosa succede a dx di x = 1)

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