Analisi Matematica I - Quaderno Esercizi III

Name: Analisi Matematica I - Quaderno Esercizi III
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Author: gio.cri

Revisionato il 26/07/2026

di gio.cri

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Ultimo quaderno relativo alla preparazione dell'esame di Analisi Matematica I. In questo quaderno saranno sviluppate le serie numeriche, sviluppi in serie di Taylor, equazioni differenziale ed …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferone Adele

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

A.A. 2015-2016

63 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Funzioni, dominio e sviluppo di Taylor

Studio della funzione

f(x) =I f(x) =x > 0x > 0∀ x ∈ ℝx > 0∀ x ∈ ℝx > 001/eeD = [1/e, e]non ci sono simmetriesegue f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝintersezione con gli assix = 0nessuna intersezione con yγ = 0+ log x = 1γ = 0log x = 1/e x = elog x = 1/2elimitilimx → 1/2⁺limx → e^-la derivata è lunga da calcolare

f(x) =I f(x) :x > 0-1 ≤ log x ≤ 1∀ x ∈ ℝ log x + 1x > 00, 1/e, e- [1/e, e]non ci sono simmetrieintersezione con gli assix = 0f(x) =y = 0+ log x =Limitslimx →limx → ela derivata è lunga da calcolare

Limite di funzione usando Taylor

Limite di funzione usando Taylor lim_x→0 x cosx - sinx / x - arctgx 0/0 - 0/0 = 0/0 uso Taylor lim_x→0 (1 - x²/2) - (x - x³/6) / x - (x - x³/3) = lim_x→0 x - x³/2 - x + x³/6 / x - x + x³/3 = lim_x→0 -x³/3 / x³/3 = -1

Sviluppo di Taylor

Sviluppo di Taylor f(x) = ln(1 + 3x) u = 3 poniamo z = 3x poiché 3x → z per x→0 si ha che d(x) = d(z) possiamo fissare tale sviluppo della serie a u=3 ln(1 + 3x) = 3x - (3x)²/2 + (3x)³/3 + o(x³) = 3x - 9x²/2 + 9x³ + o(x³) f(x) = cos(x²) !(x²) cos(z) = 1 - x²/2 + x⁴/4! - (-1) x^2u/(2u)! + o(x^2u+1) O(x⁴) = o(x^2u) quindi possiamo arrestare la serie a Lagr, diremo cos x² = 1 - x⁴/2 + x⁸/4! + o(x⁸)

Espansioni e formule

f(x) = √(4 + x) - √(4 - x)w = 3(1 + x)^1/2 = 1 + x/2 - 1/8 (x² - 1) / 2 x² = 1/2 (1/2 - 1)(1/2 - 2) / 6 x³ - O(x²)(4 - x)^1/2 = 2 - x/4u = 1/4 possiamo Σ = -x(4 + Σ)^1/2 = 2 + 1/2 Σ - 1/8 (Σ² - 1) / 2 Σ² = 1/2 (1/2 - 1)(1/2 - 2) / 6 Σ³ + O(Σ³)x = 1 - x/2 + x/4 x² - x/12 3/8 x³ - O(x³)x = 1 + 1/8 - x² / 8 + x/16 1/2³ = O(2³)Σ = 1 + x / 3 - x² / 8 - x/16 + O(x³)# = x / 2 + x² / 8 - x³ / 16 + O(x³)x + x/2 + x/8 + x³ / 16 + O(x³)X + x³ / 3 + O(x³)

Esercizi con funzioni

1f(x) = Sin(x²) - Sin(x)²Poniamo t = x²poiché O(x^m) - o(tⁿ) possiamo arrestare lo sviluppo a x³sin x = x - _x³/6 + o(x³)Sin u = x + _x³/6 + o(x³)Sin x - Sin(x) = _x³/6 - (o(x) - _x³/6) = - x⁴/6- o(x⁶)

2f(x) = e^x³ - 1 - Sin(x³)Poniamo t = x³u = 1, possiamo fermarci _w=4e^t = 1 + t + _t²/2 + _t³/6 + _t⁴/24 + o(t⁴)Sin(t) = x³/6 + o(x¹³)e^x3-Sin x³ = Δx + x⁴/6 + x⁹6 + x⁹/24 + o(x¹³)

3f(x) = (e^3x - 1) Sin 2xPoniamo t = 3x e u = 2xe^t = 1 + t + _t²/2 + _t³/6 + _t⁴/24 + o(x⁴)Sin(u) = u ^u³/6 + o(u⁴)f(x) = (4x + 3x⁴ + ax2)/2 - _2x³/6 + o(x³)4x + ^x³/6 - f(x3)³(2 x - _x³/6 - o(x^m+1) 6x = 4x h+ ^ax³ 0 - ax³ x¹6x + x² qx + 5x + o(x⁴)Trascendo i valori grandi di x^m

4f(x) = (e^-x - 1)³ u = 4z = -xe^z = 1 + z + ^z²⁄₂ + ^z³⁄₆ + ^z⁴⁄₂₄ + o(z⁴)e^-x = -x + ^x²⁄₂ - ^x³⁄₆ + ^x⁴⁄₂₄ + o(x⁴)(-x + ^x²

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