2018 Tema di matematica, sessione ordinaria (indirizzi: scientifico opzione internazionale tedesca e opzione internazionale francese)

Esame di stato di istruzione secondaria superiore

Indirizzi: Scientifico opzione internazionale tedesca e opzione internazionale francese

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario

Problema 1: ℝ → ℝ

Consideriamo la funzione così definita:

3

()

= − + + 9

∈ ℤ.

con Γ

1. Detto Γ il grafico della funzione, verifica che per qualsiasi valore del parametro k la retta, tangente a Γ nel punto di ascissa 0 e la retta, tangente a Γ nel punto di ascissa 1, si incontrano in un punto M di ascissa 2/3;

   3 è il massimo intero positivo per cui l’ordinata del punto è 1.

2. Dopo aver verificato che M è minore di 10, studia l’andamento della funzione (), determinandone i punti stazionari e di flesso e tracciandone il grafico.

3. Detto T il triangolo delimitato dalle rette, 1 1 ( ), Γ, che, preso a caso un punto all’interno di questo si trovi al di sopra di (cioè che si abbia per tale punto P).

4. Nella figura è evidenziato un punto N e un tratto del grafico Γ. La retta normale a Γ in N (vale a dire la perpendicolare alla retta tangente a Γ in quel punto) passa per l’origine degli assi O. Il grafico possiede tre punti con questa proprietà. Dimostra, più in generale, che il grafico di un qualsiasi polinomio di grado n > 0 non può possedere più di 2n − 1 punti nei quali la retta normale al grafico passa per l’origine.

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Svolgimento

Punto 1

Il punto ad ascissa 0 è (0,9) mentre il punto ad ascissa 1 è (1,k+8).

′ ′ 2

(0) (0)

= + 9 = [−3 + ] =

La retta ha equazione dove pertanto la retta ha

= 0

= + 9.

equazione ′ ′ 2

(1)((1)

= − 1) + + 8 = [−3 + ] = − 3

La retta ha equazione dove pertanto

= 1

(

= − 3)( − 1) + + 8.

la retta ha equazione

Tali rette si intersecano in un punto che soddisfa la seguente equazione: 2

(

+ 9 = − 3)( − 1) + + 8 → + 9 = − − 3 + 3 + + 8 → = 3

2 2

= ( , + 9)

Il punto M ha coordinate 3 3

Punto 2

L’ordinata del punto M è: 2 2 235

( ) = +

3 3 27

Si ha: 2 2 235 2 35 35

( ) < 10 → + < 10 → < → < ≅ 1.94

3 3 27 3 27 18

di conseguenza k=1 è il massimo intero positivo affinché l’ordinata del punto M sia minore di 10.

3

()

= − + + 9.

Studiamo la funzione 1

• Dominio: R
• Intersezioni asse ascisse: trattandosi di una cubica, possiamo applicare il metodo di Cardano

3

per individuare le soluzioni dell’equazione ()

= − + + 9 = 0; tale metodo dice che,

1 3

+ + = 0

in presenza di una equazione di terzo grado del tipo la soluzione è

3 3

2 3 2 3

√ √−

+√ √

= − + + − +

2 4 27 2 4 27

3 3

()

= − + + 9 = 0 → = − − 9 = 0

Nel caso in esame pertanto i parametri p e q

1

= −1, = −9

sono da cui si ricava

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3 3

9 81 1 9 81 1

√ √

+√ −√

= − + − ≅ 2.24

2 4 27 2 4 27

• = 0 → = 9;

Intersezioni asse ordinate:

• Simmetria: non è né pari né dispari;
• Asintoti verticali: non ve ne sono;
• ()

lim = ∓∞;

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto 1

→ ±∞

• Asintoti verticali: non ve ne sono;
• 1′ 2

()

= −3 + 1

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è pertanto la funzione è

√3 √3 √3

strettamente crescente nell’intervallo (− , ) (−∞, − ) ∪

e strettamente decrescente in

3 3 3

√3

( , +∞);

3

• 1′′ ()

= −6

Concavità e convessità: la derivata seconda è pertanto la funzione volge

concavità verso l’alto nell’intervallo (0, (−∞,

+∞) 0)

e verso il basso in di conseguenza il

√3 √3

1′′ 1′′

(− ) = 2√3 ( ) =

punto F=(0,9) è un flesso a tangente obliqua; inoltre essendo e

3 3

2√3 2√3

√3 √3

−2√3 = (− ,9 − ) = ( , 9 + )

si deduce che è un punto di minimo relativo e

3 9 3 9

è un punto di massimo relativo.

• e che l’ascissa di

(−∞, − )

Positività: visto che la funzione è strettamente decrescente 3 √3

minimo è positiva, deduciamo che la funzione è positiva nell’intervallo (−∞, − );

3

√3 √3

(− , )

analogamente visto che la funzione è strettamente crescente in deduciamo che è

3 3

√3 √3

(− , );

positiva anche in inoltre visto che la funzione è strettamente decrescente in

3 3

√3

( , +∞) (2.24) = 0 > 2.24

e che deduciamo che la funzione è negativa per e positiva

3 (−∞, 2.24).

di conseguenza in

Di seguito il grafico.

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Punto 3

Consideriamo la figura seguente in cui sono rappresentate nello stesso riferimento cartesiano le rette

3

()

: = + 9, : = −2 + 11 = − + + 9.

e la cubica

1 1 1

> ()

La condizione è soddisfatta dai punti che appartengono alle seguenti 2 regioni di piano:

1

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• : triangolo mistilineo MEF
• : triangolo mistilineo HFD

Per calcolare la somma di tali 2 aree conviene calcolare l’area del triangolo MCD e sottrarre l’area

del triangolo EOC e l’area sottesa da con l’asse delle ascisse.

()

1

L’area del triangolo MCD è pari a: ̅̅̅̅

∙ ℎ 1 29 29 841

() = = ∙( )∙( )=

2 2 2 3 12

L’area del triangolo EOC è pari a: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

∙ 1 81

(9) (9)

() = = ∙ ∙ =

2 2 2