2018 Tema di matematica, sessione ordinaria (indirizzi: scientifico comunicazione opzione sportiva)

Esame di stato di istruzione secondaria superiore

Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1: ℝ → ℝ

Consideriamo la funzione così definita:

f(x) = −x³ + kx + 9

con k ∈ ℤ.

1. Detto Γ₁ il grafico della funzione, verifica che per qualsiasi valore del parametro k la retta tangente a Γ₁ nel punto di ascissa 0 e la retta tangente a Γ₁ nel punto di ascissa 1 si incontrano in un punto M di ascissa 2/3;

3 è il massimo intero positivo per cui l’ordinata del punto M è minore di 10.

2. Dopo aver verificato che M è minore di 10, studia l’andamento della funzione f(x), determinandone i punti stazionari e di flesso e tracciandone il grafico.

3. Detto T il triangolo delimitato dalle rette r₁, r₂ e dall’asse delle ascisse, determina la probabilità che, preso a caso un punto all’interno di questo triangolo, si trovi al di sopra di Γ₁ (cioè che si abbia f(P) > 0 per tale punto P).

4. Nella figura è evidenziato un punto N ∈ Γ₁ e un tratto del grafico Γ₁. La retta normale a Γ₁ in N (vale a dire la perpendicolare alla retta tangente a Γ₁ in quel punto) passa per l’origine degli assi O. Il grafico possiede tre punti con questa proprietà. Dimostra, più in generale, che il grafico di un qualsiasi polinomio di grado n non può possedere più di 2n − 1 punti nei quali la retta normale al grafico passa per l’origine.

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Svolgimento

Punto 1

Il punto ad ascissa 0 è (0, 9), mentre il punto ad ascissa 1 è (1, k + 8).

f′(0) = [−3x² + k]_x=0 = k.

La retta ha equazione y = kx + 9.

f′(1) = [−3x² + k]_x=1 = k − 3.

La retta ha equazione y = (k − 3)(x − 1) + k + 8.

Tali rette si intersecano in un punto che soddisfa la seguente equazione:

kx + 9 = (k − 3)(x − 1) + k + 8 → kx + 9 = kx − k − 3x + 3 + k + 8 → x = 3.

Il punto M ha coordinate M = (3, 3k + 9).

Punto 2

L’ordinata del punto M è:

y_M = f(2/3) = 2k/3 + 235/27.

Si ha:

f(2/3) < 10 → 2k/3 + 235/27 < 10 → 2k/3 < 35/27 → k < 35/18 ≅ 1,94.

Di conseguenza k = 1 è il massimo intero positivo affinché l’ordinata del punto M sia minore di 10.

f(x) = −x³ + x + 9.

Studiamo la funzione f.

• Dominio: ℝ.
• Intersezioni asse ascisse: trattandosi di una cubica, possiamo applicare il metodo di Cardano per individuare le soluzioni dell’equazione f(x) = −x³ + x + 9 = 0; tale metodo dice che, in presenza di una equazione di terzo grado del tipo x³ + px + q = 0, la soluzione è:

x = −∛(−q/2 + √(q²/4 + p³/27)) − ∛(−q/2 − √(q²/4 + p³/27)).

Nel caso in esame, pertanto, i parametri p e q sono p = −1, q = −9, da cui si ricava:

x = −∛(9/2 + √(81/4 − 1/27)) + ∛(−9/2 + √(81/4 − 1/27)) ≅ 2,24.

• Intersezioni asse ordinate: f(0) = 0 → y = 9.
• Simmetria: non è né pari né dispari.
• Asintoti verticali: non ve ne sono.
• Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto lim f(x) = ∓∞ per x → ±∞.
• Asintoti verticali: non ve ne sono.
• Crescenza e decrescenza: la derivata prima è f′(x) = −3x² + 1; pertanto la funzione è strettamente crescente nell’intervallo (−√3/3, √3/3) e strettamente decrescente in (−∞, −√3/3) ∪ (√3/3, +∞).
• Concavità e convessità: la derivata seconda è f″(x) = −6x; pertanto la funzione volge la concavità verso l’alto nell’intervallo (−∞, 0) e verso il basso in (0, +∞). Di conseguenza il punto F = (0, 9) è un flesso a tangente obliqua.

Inoltre, essendo:

f″(−√3/3) = 2√3 e f″(√3/3) = −2√3, si deduce che (−√3/3, 9 − 2√3/9) è un punto di minimo relativo e (√3/3, 9 + 2√3/9) è un punto di massimo relativo.

• Positività: visto che la funzione è strettamente decrescente in (−∞, −√3/3) e che l’ascissa di minimo è positiva, deduciamo che la funzione è positiva nell’intervallo (−∞, −√3/3).

Analogamente, visto che la funzione è strettamente crescente in (−√3/3, √3/3), deduciamo che è positiva anche in (−√3/3, √3/3); inoltre, visto che la funzione è strettamente decrescente in (√3/3, +∞) e che f(2,24) = 0, deduciamo che la funzione è negativa per x > 2,24 e positiva di conseguenza in (−∞, 2,24).

Di seguito il grafico.

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Punto 3

Consideriamo la figura seguente, in cui sono rappresentate nello stesso riferimento cartesiano le rette:

r₁: y = x + 9, r₂: y = −2x + 11 e la cubica f(x) = −x³ + x + 9.

La condizione f(x) > 0 è soddisfatta dai punti che appartengono alle seguenti 2 regioni di piano:

• R₁: triangolo mistilineo MEF.
• R₂: triangolo mistilineo HFD.

Per calcolare la somma di tali 2 aree conviene calcolare l’area del triangolo MCD e sottrarre l’area del triangolo EOC e l’area sottesa da f con l’asse delle ascisse.

L’area del triangolo MCD è pari a:

A(MCD) = (b · h)/2 = (1/2) · (29/3) · (29/2) = 841/12.

L’area del triangolo EOC è pari a:

A(EOC) = (b · h)/2 = (1/2) · 9 · 9 = 81/2.

Detta c l’ascissa di intersezione di f con l’asse delle ascisse, l’area sottesa da f con l’asse delle ascisse è pari a:

∫₀^c f(x) dx = ∫₀^c (−x³ + x + 9) dx = [−x⁴/4 + x²/2 + 9x]₀^c.

Il valore di c calcolato con il metodo di Cardano è di conseguenza c = 2,24.

∫₀^c f(x) dx = ∫₀^c (−x³ + x + 9) dx ≅ 16,38.