2018 Tema di matematica, sessione suppletiva (indirizzi: scientifico comunicazione opzione sportiva)

Esame di stato di istruzione secondaria superiore

Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

In cui l’unità corrisponde a 1 metro. Una particella.

Sia dato un sistema di assi cartesiani Oxy.

Puntiforme si muove lungo l’asse delle ascisse, nel verso positivo, partendo dall’origine, con una velocità di 2 metri al secondo.

Quando la particella si trova in un generico punto, costruisci un triangolo prendendo le tangenti alla curva di equazione nei punti di ascissa 0 e a.

Determina l’area del triangolo in funzione di a.

Quanto vale l’area del triangolo dopo 5 secondi?

1. a;

2. Dopo quanti secondi il triangolo diventa equilatero?

3. Esprimi in funzione di a l’angolo formato dalle due tangenti alla curva di equazione nei punti di ascissa 0 e a; utilizzando l’espressione di a in funzione di a, verifica la correttezza della risposta che hai fornito al punto precedente.

4. Quando la particella si trova nel generico punto, determina l’area della superficie limitata superiormente dalle due rette tangenti e inferiormente dalla curva di equazione.

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Svolgimento

Punto 1

Punto 1 (0,0),

= = (, 0).

Consideriamo i punti 2 (0,0)

= − =

La tangente alla curva in ha equazione:

′ (0) [

= ∙ = − 2] ∙ = ∙

=0

2

= − = (, 0)

La tangente alla curva in ha equazione:

′ 2

() ( [ ( (

= ∙ − ) = − 2] ∙ − ) = − ∙ − ) = − +

= 2

= ( , ).

Le due tangenti si intersecano nel punto 2 2.

Il triangolo OBA di cui calcolare l’area.

Di seguito la figura in cui è rappresentato il triangolo OBA.

Il triangolo OBA è isoscele e la sua area è:

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ · 3

·

2

() = = =

2 2 4

Pertanto l’area del triangolo è:

= 10

Dopo 5 secondi sono stati percorsi 2.

(10) = 250

Punto 2

Il triangolo è equilatero se ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.

=

2 4

̅̅̅̅ √ 2

= + = + 1,

√

Essendo il triangolo è equilatero se:

4 4 2

2 2

√ √

2 2

+ 1 = → + 1 = 2 → + 1 = 4 → = 3 → = ±√3

2 √3

= −√3, = √3

Scartando la soluzione negativa il triangolo è equilatero se e lo diventa dopo 2 secondi.

L’angolo.

Alternativamente il triangolo è equilatero quando gli angoli sono di 60° ovvero quando l’angolo formato dalla retta OB con l’asse delle ascisse è pari a 60°.

Considerando che, da un punto di vista geometrico, il coefficiente angolare della retta OB di equazione coincide con la tangente dell’angolo formato dalla retta OB con l’asse delle ascisse, deduciamo che il triangolo è equilatero se:

= tan(60°) = √3

Punto 3

Consideriamo la figura seguente in cui è raffigurato il triangolo con i relativi angoli.

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La tangente dell’angolo formato dalle due tangenti è pari a:

− 2

tan( − 2) = = 2

1 + · 1 −

0 < < 1, 0° < < 45°, tan( − 2) < 0.

Se ovvero si ha

pertanto 2 2 1 2

−1

tan( − 2) = − | |= → = − tan ( )

2 2 2

1− −1 2 2 −1

> 1, 45° < < 90°, tan( − 2) > 0.

Se ovvero si ha

pertanto 2 2 1 2

−1

tan( − 2) = | |= → = − tan ( )

2 2 2

1− −1 2 2 −1

Quindi in conclusione: 1 2

−1

= − tan ( )

2

2 2 −1

Ed il triangolo è equilatero se:

1 2 2

−1 −1

− tan ( ) = → tan ( )= →

2 2

2 2 −1 3 −1 3

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2 2

→ = → − 2 − = 0 →

√3 √3 √3

2

−1 1±2 √3

→= → =− , = √3

3

√3

= √3

Ed il valore accettabile è come trovato in precedenza.

Punto 4

Punto 4 di cui calcolare l’area.

Di seguito la regione di piano R.

È possibile calcolare tale area per differenza tra l’area del triangolo OBA e l’area sottesa dal segmento parabolico:

3 3 2 3 3 3 3 3 3 3

2

( )

() = − ∫ − = −[ − ] = −( − )= − =

4 4 2 3 4 2 3 4 6 12

0 0 2

Alternativamente l’area del segmento parabolico, per il teorema di Archimede, è pari ai dell’area del rettangolo circoscritto.

3

Il rettangolo circoscritto ha base a, di ed altezza pari all’ordinata del vertice della parabola ovvero

4

3 3 3

2

Conseguenza l’area del rettangolo sarà e l’area del segmento parabolico · = .

4 3 4 6

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Problema 2

> 0

Fissato un numero reale, si definiscono le funzioni:

() ()

= · ln() =

e

I cui grafici sono indicati, rispettivamente, con e.

> 0,

1. Verifica che, qualunque sia, le due funzioni e sono tra loro inverse; definite inoltre le funzioni:

() ()

() = ( () = (

e

() = (), ∀ ∈ ℝ.

Stabilisci se si verifica = ,

2. Indicata con r la retta di equazione determina l’equazione della retta, parallela a r e tangente al grafico della funzione.

2

()

= 2 · ln().

Determina inoltre l’equazione della retta, parallela a r e tangente al grafico della funzione.

2 2

()

=

, parallela a r e tangente al grafico della funzione.

2

Rappresenta i grafici e insieme alle rette e e stabilisci qual è la distanza minima tra un punto di e un punto di.

2 2 2 2

2 2

() ()

= >

3. Verifica che l’equazione possiede due soluzioni sapendo che, qualunque sia

3 3

0,

Gli eventuali punti d’intersezione tra il grafico e il grafico coincidono con i punti d’intersezione tra uno qualsiasi di tali grafici e la retta di equazione.

= .

Stabilisci inoltre per quali valori i grafici e sono secanti, per quali valori sono disgiunti e per quale valore essi sono tangenti.

> 0

4. Sia A la regione limitata compresa tra i grafici e e gli assi cartesiani. Determina l’area di A ed il volume del solido generato ruotando A attorno a uno degli assi cartesiani.

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Svolgimento

Punto 1

Punto 1

′

() ()

= · ln() > 0 =