2018 Tema di matematica, sessione straordinaria (indirizzi: scientifico, scientifico opzione scienze applicate, scientifico a indirizzo sportivo)

Esame di stato di istruzione secondaria superiore

Indirizzi: Scientifico, Scientifico opzione scienze applicate e Scientifico ad indirizzo sportivo

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Un produttore di candeline tea light vuole produrre un nuovo tipo di candela colorata che abbia una parte inferiore di forma cilindrica ed una parte superiore avente la forma riportata in figura 1, che si connetta perfettamente a quella inferiore, come mostrato in figura 2:

Figura 1

Figura 2

1. Stabilisci, motivando adeguatamente la risposta, quale delle seguenti funzioni può rappresentare adeguatamente il profilo della parte superiore della candela:

   1. y = { sqrt(a - x) se 0 = x = asqrt(a + x) se -a = x < 0 con a R, a > 0;

   2. y = a - x² in [-sqrt(a), sqrt(a)] con a R, a > 0;

   3. y = -sqrt(|x|) + a in [-a², a²] con a R, a > 0;

   Utilizzando l'espressione analitica trovata, studia eventuali punti di singolarità del profilo della parte superiore della candela.

2. Per consentire l'inserimento dello stoppino al vertice della candela, è necessario che l'angolo in figura 1 non sia maggiore di 30°. Determina di conseguenza i possibili valori del parametro a.

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3) Attribuendo all’altezza e al raggio della parte cilindrica i valori rispettivamente di 8 e 2, in un’opportuna unità di misura, determina il volume totale della candela. Da questo dato dipenderanno il peso e il costo di produzione della candela stessa.

Il produttore deve inscatolare le candele in confezioni da 3 e da 4 candele, posizionando le candele in verticale, con le basi circolari disposte in modo da occupare il minor spazio possibile. Si prevedono due possibili configurazioni per posizionare le basi circolari delle candele all’interno delle scatole, rappresentate in figura 3:

Configurazione 1

Configurazione 2

Figura 3

4) Fornisci una valutazione numerica dell’efficienza dei due confezionamenti, calcolando il rapporto tra area occupata dalle basi circolari delle candele inserite nella scatola e area disponibile in ciascuna delle due configurazioni. Tale rapporto deve essere espresso in percentuale. Ai fini del calcolo, considera che le celle poligonali evidenziate in grigio sono rispettivamente un triangolo equilatero e un quadrato.

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Svolgimento

Punto 1

Come si nota dalla figura il punto ad ascissa x = 0 è un punto angoloso di non derivabilità, di conseguenza l’equazione 2 è da scartare in quanto y = a − x² è un arco di parabola sempre continua e derivabile.

Inoltre, trattandosi di punto angoloso, in x = 0 i valori della derivata prima destra e sinistra sono diversi ma finiti; l’equazione 1 soddisfa tale condizione mentre l’equazione 3 non la soddisfa in quanto:

lim x0+ d/dx (a − x) = lim x0+ (−1/(2a − x)) = −1/(2a)

lim x0− d/dx (a + x) = lim x0− (1/(2a + x)) = 1/(2a)

lim x0+ d/dx (−|x| + a) = lim x0+ d/dx (−x) = lim x0+ (−1/(2x)) = −infinito

lim x0− d/dx (−|x| + a) = lim x0− d/dx (−x) = lim x0− (1/(2−x)) = +infinito

Di conseguenza l’equazione richiesta che rappresenta il profilo superiore della candela è:

y = { a − x se 0 <= x <= a a + x se −a <= x < 0

con a in R, a > 0

Oltre al punto angoloso (0, a), l’equazione soprastante presenta 2 cuspidi a tangente verticale nei punti (−a, 0) ed (a, 0) in quanto

lim x→−a+ d/dx (a − x) = lim x→−a+ (−1/(2a − x)) = −infinito

lim x→−a+ d/dx (a + x) = lim x→−a+ (1/(2a + x)) = +infinito

Punto 2

Consideriamo il ramo del profilo con 0 <= x <= a.

L’equazione della retta tangente destra in (0, a) è:

t: y = −1/(2a) x + a

Consideriamo la figura seguente in cui è raffigurato il profilo della candela, la tangente t e la retta di equazione y = a.

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(0, sqrt(a))

A

y = sqrt(a)

t: y = -1/(2sqrt(a))x + sqrt(a)

-a

a

180° - theta

Ricordando che il coefficiente angolare di una retta equivale alla tangente dell’angolo formato da essa con l’asse delle ascisse, si ha:

tan(180° - theta) = - tan(theta) = - 1/(2sqrt(a)) -> tan(theta) = 1/(2sqrt(a))