2011 Esercitazione per l'esame di matematica

Simulazione Prova Esame di Maturità di Matematica per Liceo Scientifico

SIMULAZIONE PROVA ESAME DI MATURITA’ PER LICEO SCIENTIFICO

Prova di Matematica

PROBLEMA1 ( ) −

= ⋅ − +

x 2

Sia data la funzione f x e x 3 x 2

( )

f x

1. Studiare la funzione determinando la natura eventuali punti di non derivabilità,

estremanti e flessi; ( )

2. Determinare la tangente e la normale nel punto . Cosa si può dire della tangente al

S 0

, 2

( )

f x nel punto S?

grafico di ( )

A 1

,

0

3. Trovare l’equazione della circonferenza passante per l’origine, per il punto ed avente

centro C nel punto medio di questi ultimi

4. Determinare i punti di intersezione tra l’equazione della circonferenza e la normale e

calcolare le aree in cui la normale divide la circonferenza. Cosa si può dire delle due aree?

PROBLEMA2

Sia dato il rettangolo ABCD, il cui lato maggiore misura a, si tracci da B la perpendicolare alla retta

AC; siano H e K i punti in cui questa interseca rispettivamente la retta AC e la retta AD. Si

consideri quindi la piramide che ha per base il quadrilatero HDKC ed altezza 6HK.

=

x BH

1. Si determini l’espressione del volume della piramide in funzione di ;

2. Considerando a=1, si studi e si disegni la funzione ottenuta al punto precedente;

3. Tramite uno dei metodi numerici studiati, si dia un’approssimazione del punto Q di

− =

intersezione tra la curva e la retta r di equazione ;

4 y 9 0

4. Si calcoli l’area della regione di piano compresa tra la curva, l’asse x e la retta r

QUESTIONARIO x

 

1

( ) ( )

= =

 

1. Sono date le funzioni . Determinare dominio e codominio di

f x , g x log x

3

 

3

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

f x , g x , f g x , g f x

2. Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto del quadrato

dell’uno per la radice quadrata dell’altro è massimo. Soluzione a cura di Nicola De Rosa

Simulazione Prova Esame di Maturità di Matematica per Liceo Scientifico

<



sin x se x 0

( ) = 

3. Sia data la funzione f x . Calcolare il dominio e verificare se è continua

( )

+ ≥

ln 1 x se x 0



e derivabile in ogni punto del dominio. ( ) 1

( )

→ =

= +

x 0 x 0

4. Calcolare il limite per di f x 1 sin x . Cosa si può dire del punto ?

x

5. Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f(x) è, in ogni suo punto

P, uguale al triplo del quadrato del logaritmo naturale dell’ascissa di P. Si determini f(x),

4

sapendo che il grafico passa per il punto A( ; 0).

e

6. Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse delle x

= ⋅ x

della regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione y x e e dall’asse stesso

≤ ≤

0 x 2

nell’intervallo

7. In un deposito di materiale elettrico vi sono due scatole di lampadine: la scatola A ne

contiene 1000 di cui il 10% sono difettose mentre la scatola B ne contiene 2000 di cui il 5%

sono difettose. Due lampadine vengono estratte da una scatola scelta a caso.

a. Calcolare la probabilità che entrambe le lampadine siano difettose.

b. Nel caso che siano entrambe difettose, calcolare la probabilità che siano state estratte dalla

scatola A. 3

x

=

8. Determinare gli asintoti della funzione y −

x 1

2 +

x x

( ) ( )

∫

=

g x arcsin t dt , discuterne il campo di esistenza e la derivabilità

9. Data la funzione 0

10. Passando per Piazza Garibaldi a Napoli, vi avvicinate ad un banchetto dove si gioca

d’azzardo. Il signor Umberto, proprietario del banchetto, vi propone il seguente gioco da

effettuarsi con due dadi: voi puntate 10 euro, lanciate i dadi, e sulla base del risultato del

lancio ricevete la somma X, secondo la seguente regola:

• se la somma dei risultati ottenuti nei due lanci è minore o uguale a 4 oppure è maggiore o

uguale a 10, X = 0 (cioè perdete i 10 euro puntati);

• in tutti gli altri casi, vincete X = 12 euro.

(a) Supponendo che i dadi siano bilanciati, calcolare la probabilità p di vincere e quella q di

perdere (q + p = 1).

(b) Calcolare il valor medio della somma ricevuta, mostrando in particolare che il gioco non

è equo, nel senso che E(X) < 10 euro.

(c) Calcolare quale vincita (invece di 12 euro) dovrebbe promettervi il signor Umberto

affinché il gioco sia equo, nel senso specificato al punto (b).

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

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PROBLEMA1

Punto 1 ( ) −

= ⋅ − +

x 2

f x e x 3 x 2

Sia data la funzione ( )

f x

Studiare la funzione determinando la natura eventuali punti di non derivabilità,

estremanti e flessi; ] [

( )

− + ≥ ⇔ ∈ − ∞ ∪ +∞

• 2

D : x 3 x 2 0 D : x ,

1 2

,

Dominio: ;

f f

( )

• = → − + = → = ∨ =

2

Intersezione asse ascisse: f x 0 x 3 x 2 0 x 1 x 2 ;

( )

= → =

• x 0 f 0 2

Intersezione asse ordinate: ;

• Simmetrie: la funzione non è nè pari nè dispari; ] [

( )

• ∈ − ∞ ∪ +∞ la funzione è non negativa, in

Positività: all’interno del dominio D : x ,

1 2

,

f - = ∨ =

x 1 x 2

particolare sempre positiva e si annulla solo nel punto ad asicssa ;

( ) ( )

• = =

Asintoti verticali: per cui non vi sono asintoti verticali;

lim f x 0

, lim f x 0

− +

→ →

x 1 x 2 ( )

• → +∞

Asintoti orizzontali: bisogna calcolare ; iniziamo a calcolare il limite per x :

lim f x

→ ±∞

x  

− +

2

x 3 x 2

( )  

= =

x x

in questo caso, poichè , il limite diventa e

lim f x lim  

x

→ +∞ → +∞ e

x x  

applicando il teorema di De L’Hospital ritroviamo

 

 

 

− −

 

2 3 2 3

x x

( ) = → +∞

 

= =    



→

x x se x

lim f x lim lim

   

→ +∞ → +∞ → +∞

⋅ − +

x 2

x x x 3 2

 

e 2 x 3 x 2  

⋅ − +

x 2 1

e x

 

2

 

x x

   

→ →

1 1

   

− −

 

 

2 x 3 2 x 3 1 1 1





= ⋅ ⋅ = =

 

lim lim 0

;

  + ∞

 

x

 

→ +∞ → +∞ 2 x e

x x

3 2 3 2

 

⋅ − + − +

x

e 2 x 1 1

 

  → +∞

2 2 

  

x x

x x

 

− +

2

x 3 x 2

( )  

→ −∞ =

x

analogamente per e applicando il teorema di De

lim f x lim  

− x

→ −∞ → −∞ e

x x  

Soluzione a cura di Nicola De Rosa

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L’Hospital ritroviamo

 

 

 

− −

 

2 x 3 2 x 3

( ) = − → −∞

 

= − = −    



→

x x x

se

lim lim lim

f x    

−

→ −∞ → −∞ → −∞

⋅ − +

x 2

x x x 3 2

 

2 3 2

e x x −

 

⋅ − +

x

e 2 x 1

 

2

 

x x ;

   

→ →

1 1

   

− −

 

 

2 3 2 3 1 1 1

x x

 

= ⋅ ⋅ = =

 

lim lim 0

;

  − + ∞

 

x

 

→ −∞ → −∞ 2 x e

x x

3 2 3 2



 − ⋅ − + − +

x

e 2 x 1 1

 

  → +∞

2 2

   

x x

x x

=

di conseguenza la retta è asintoto orizzontale destro e sinistro;

y 0 = +

• y mx q

Asintoti obliqui: se esistono hanno equazione con

( )

f x [ ]

( ) → +∞

= = − ; calcoliamo il coefficiente angolare m per x :

m lim , q lim f x mx

→ ±∞ → ±∞

x

x x    

3 2 3 2

   

− −

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

x x /

e x 1 e x 1

 

− ⋅ − +

x 2    

2 2

e x 3 x 2 x x

x x

  − ∞

= = = = ⋅ =

m lim lim lim e 1 0

   

  /

→ +∞ → +∞ → +∞

x x x

x x x

     

   

   

→ −∞

x

Analogamente per

   

3 2 3 2

   

− ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

x x /

e x 1 e x 1

 

− ⋅ − +

x 2    

2 2

e x 3 x 2 x x

x x

  − ∞

= = = − = − ⋅ =

m lim lim lim e 1 0

   

  /

→ −∞ → −∞ → −∞

x x x

x x x

     

   

   

Quindi non vi sono asintoti obliqui; ( ) −

• = ⋅ − +

x 2

Crescenza e decrescenza: la funzione f x e x 3 x 2 , considerando il dominio

] [

( )

∈ − ∞ ∪ +∞ può essere riscritta nel seguente modo:

D : x ,

1 2

,

f  − ⋅ − + ≤ ≤ ∨ ≥

x 2



e x 3 x 2 se 0 x 1 x 2

( ) =  e la derivata prima è

f x  ⋅ − + <

x 2

e x 3 x 2 se x 0

( )

−

 ⋅ − + −

x 2

e 2 x 8 x 7 ≤ < ∨ >

se 0 x 1 x 2

 − +

 2

2 x 3 x 2

( ) =  ;

f ' x ( )

⋅ − +

x 2

e 2 x 4 x 1

 <

se x 0

 − +

2

 2 x 3 x 2 [ ] [ )

∪ +∞

0

,

1 2

,

studiamo il segno della derivata prima nell’unione dei due intervalli :

 − + <

2

2 x 8 x 7 0 2

( ) > → → ≤ < +



f x 0 2 x 2 per cui la funzione è strettamente

≤ ≤ ∨ ≥ 2

0 x 1 x 2

 Soluzione a cura di Nicola De Rosa

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   

2 2

( )

   

+ ∪ + +∞

crescente in e strettamente decrescente in per cui

2

, 2 0

,

1 2 ,

   

2 2

   

2

= + è l’ascissa di massimo;

2

x M 2 ( )

− ∞

,

0

studiamo il segno della derivata prima nell’intervallo :

 − + >

2

2 x 4 x 1 0

( ) > → → <



f x 0 x 0 per cui la funzione è strettamente crescente in

<

x 0



( )

− ∞

,

0 ;  

2

( )  

− ∞ ∪ +

In conclusione la funzione è strettamente crescente in e

, 0 2

, 2

 

2

 

 

2

( )  

∪ + +∞

strettamente decrescente in e presenta un massimo relativo

0

,

1 2 ,

 

2

 

2

= +

all’ascissa x 2 .

M 2 =

x 0

Dall’espressione della derivata prima deduciamo che è un punto angoloso in

quanto ( )

 

− ⋅ − + −

x 2

e 2 x 8 x