Matematica Naturale, tesina

T

Premessa

Ho deciso di proporre questa tesi, perché nutro una grande passione

verso la fotografia e ho deciso di unire quello che mi appassiona con

ciò che mi ha incuriosito di più durante l’anno. Reputo che possa essere

un argomento interessante e appassionante da parte di chi lo legge.

Introduzione

La Natura ha a che fare con il rigore matematico. Nikki Graziano ha

cercato di far cambiare idea con il suo progetto “Found Functions”, una

collezione di foto di vegetazione, case, nuvole e distese di sabbia,

“spiegate” matematicamente con funzioni in grado di descrivere le

forme del mondo che ci circonda. “Non c’è nulla di così sognante e

poetico, nulla di così radicale, sovversivo e psichedelico della

matematica. La matematica è la forma d’arte più pura oltre che quella

più fraintesa” disse Lockhart, astronauta statunitense.

Nikki Graziano afferma: “Volevo creare qualcosa che potesse

comunicare quanto sia impressionante la matematica, per tutti.”

La Natura, pur essendo caotica, segue regole ben precise per la

creazione dei suoi elementi e da sempre l’uomo cerca di spiegare e

quantificare gli elementi naturali, attraverso l’esplorazione, per

spiegarne la struttura. La realtà, attraverso i ragionamenti fisici,

matematici e chimici che perdono la loro attinenza visiva, si trasforma

in astrazione. Il mio progetto consiste nell’individuare una funzione a

caso, ricavarne il grafico, attraverso lo studio di funzione, e sovrapporlo

a una foto scattata da me, per dimostrare che un grafico può avere

significato visivo, attinente alla realtà, e che la natura è colma,

appunto, di ragionamenti fisici e matematici.

Tesi

FUNZIONI

Prendo delle funzioni a caso, le studio e ricavo il grafico di ciascuna.

−1 3 2

( )= +

F x x x

3 ∀ ∈

D. f . : x R

Ricavo il dominio della funzione: ;

|

{ }

−∞ +

P. F . ∞

I punti di frontiera saranno:

Ora calcolo le intersezioni con gli assi:

1 {

{ { y=0

y=0 y=0 ( )

−1

−1 −1

asse x: ; ; ;

2

3 2 3 2 =0

+ + =0 x x+1

y= x x x x 3

3 3

{ y=0 ;

=0; =3

x x

1 2

{ {

x=0 x=0 { x=0

−1 −1

asse y: ; ; .

3 2

+

y= x x y= 0+ 0=0 y=0

3 3

Dopo di che calcolo i limiti della funzione per i punti di frontiera:

−1 3 2

+ =+∞

lim x x

3

x →−∞ −1 3 2

+ =−∞

lim x x

3

x →+∞

Ora calcolo la derivata prima e ne studio il segno, per controllare se

esistono massimi o minimi nel grafico della funzione:

' 2

( )=−x +2

f x x > <2.

x 0∪ x

2 (−x +2)>

x 0

; ;

−x +2 x> 0 1 2

Tabella dello studio: 0 2

∪ ∩

- min + max

-

Calcolo l’ordinata dei minimi e dei massimi della funzione sostituendo i

valori trovati alla funzione:

−1 3 2

( )= + =0

f 0 0 0 il punto di minimo assoluto coincide con l’origine

3

degli assi cartesiani O (0;0)

−1 −8 4

3 2

( )= +2 = +

f 2 2 4= il punto di massimo assoluto ha coordinate

3 3 3

4

M (2; ).

3

Calcolo la derivata seconda e ne studio il segno, per controllare se

esistono eventuali flessi:

f (x)=-2x+ 2

( )

−2 +2>0 +1 >0

x ;−2 x ; x< 1.

Tabella dello studio: 1

+ F -

Calcolo l’ordinata del flesso sostituendo il valore trovato alla funzione:

−1 2 2

3 2

( )= + =

f 1 1 1 il flesso avrà coordinate F (1; ).

3 3 3

Trovo il grafico della funzione: 3

Lo sovrappongo alla foto di una foglia e noto che approssimativamente

la foglia descrive la funzione appena studiata, limitandola all’intervallo

[0;3]: 2

( )=x

f x ln x >0

D. f . : x

Calcolo il dominio della funzione:

Il suo grafico non ha simmetrie perché interessa solo la parte di ascisse

positive. +¿ ;+∞

¿

0

I punti di frontiera sono: P . F :¿

Controllo se sono presenti intersezioni con gli assi:

{ {

y=0 y=0 ;

asse x ;

2 2

y=x ln x x ln x=0

{ y=0

2 ( )

=0 =0 =1

1. x ; x=0 non accettabile perchè fuori dal dominio ; 2. ln x ; ln x=ln 1 ; x

4 x> 0

Non si hanno intersezioni con l’asse y perché per il dominio,

x=0

quindi non fa parte del grafico.

Calcolo i limiti agli estremi del dominio

2

lim x ln x=+ ∞

x→∞ ( )

2

−x

1

+¿ =0

x → 0 x 2

1

x

+¿ =lim ¿

x → 0 2

−2 x ¿

42

x

ln x

+¿ =lim ¿

x → 0 1 ¿

2

x

+¿ 2 ' ¿

x → 0 x ln x=0∙ ∞ →applico de L Hospital , perchè forma indeterminata → lim

¿

¿

lim

¿

Determino eventuali massimi o minimi, studiando il segno della

derivata prima:

1

' 2

( )=2

f x x ln x+ x

x 2 x ln x+ x> 0

Studio il segno:

+1

x −1 −1

−1 1 2 2

¿>0 >0 +1>0 > >¿− > >e

2 ln ; 1. x 2. 2 ln x ; ln x ; ln x ln e ; ln x ln e ; x .

2 2

¿

x √

0 1/ e

∪

+ - +

Sostituisco l’ascissa del minimo nella funzione per trovare l’ordinata:

e

¿

√

¿ 1 1

¿ 2 ;−

il minimo avrà coordinate m( )

√ 2e

¿ e

( )

1 1

=

f ¿

√ e

Calcolo la derivata seconda per trovare eventuali flessi:

f (x)=(2 ln {x+ {1} over {x}} 2 x )+[(- {1} over {{x} ^ {2}} ) {x} ^ {2} +2 x {1} over {x} ]=2 ln {x

5 −3 −3

−3 −3 1 1

2 2

+3> > > >ln >e > >

2 ln x 0 ; ln x ; ln x ln e ; ln x e ; x ; x ; x .

√

√

2 2 3 e e

e

Sostituisco l’ascissa nella funzione per trovare l’ordinata del flesso:

−3

2

¿

e

1 1 . Il flesso avrà coordinate F(

= ¿

3 3

e

2

e

( )

1 1 1 1

= = ¿

f ln ln

√

√ √

2

√ 3

e e e e

(e e) e

1 3 ¿

;− .

√ 3

e e 2 e

Trovo il grafico della funzione: 6

Lo sovrappongo alla foto di un albero, e trovo che il ramo è descritto da

questa funzione, limitata nell’intervallo [0;3]:

7

3

( )=−x

f x ∀ ∈

D. f . : x

Trovo il dominio della funzione: ; di conseguenza i punti di

frontiera per i quali calcolare i limiti della funzione saranno:

{ }

−∞

P. f : ;+∞ .

Trovo le intersezioni con gli assi:

{ { { {

=0

y=0 y=0 y y=0

; ;

asse x ;

3 3 3 x=0

−x =0 =0

y=−x x

non è necessario trovare le intersezioni con l’asse y perché la funzione

passa per l’origine degli assi O (0;0).

Calcolo i limiti agli estremi della funzione:

3

−x =∞

lim

x →−∞ 3

−x =−∞

lim

x →+∞

Calcolo la derivata prima e studio il segno per trovare gli eventuali

massimi o minimi: 8

' 2

( )=−3

f x x

2 2 ∄ ∈

−3 >0 <0

x ; 3 x ; x R

Non esistono massimi o minimi all’interno della funzione.

Calcolo la derivata seconda per vedere se sono presenti eventuali

flessi:

f (x)=-6

−6 >0 <0

x ; 6 x ; x< 0.

Esiste un flesso nell’origine. Se sostituisco l’ascissa 0 nella funzione,

svolgendo i calcoli ottengo, infatti, l’ordinata 0.

Trovo il grafico della funzione:

Sovrappongo il grafico alla foto di un tronco d’albero e ottengo che

questo è descritto dalla funzione, limitandola all’intervallo [-2;2]:

9

1

( )=

f x 2 +1

x ∀ ∈

D. f . : x R

Calcolo il dominio della funzione: { }

−∞;+

P. F . : ∞

Determino i punti di frontiera:

Controllo se la funzione è pari o dispari:

1 1 '

(−x )= ( )

= =f

f x la funzione è pari, quindi presenta una simetria lungol asse y .

2 2

(−x) +1 +1

x

Trovo le intersezioni con gli assi:

{ {

y=0 y=0 '

; ; la funzione non intersecal asse x

1 1

asse x .

=0

y= 2 2

+1 +1

x x

{ {

x=0 x=0 ' ( )

; la funzione intersecal asse y nel punto A 0 ; 1

1 1

asse y y= =1

y=

2 0+1

+1

x

Calcolo i limiti agli estremi della funzione:

1 =0

lim 2 +1

x

x →± ∞

Calcolo la derivata prima della funzione e ne studio il segno per trovare

i minimi e i massimi: 10

x 2

(¿¿ 2+1)

−2 x

' ( )=

f x ¿ x

x

2 ∀ ∈

(¿¿ >0

2+1) ; x R

2

(¿¿ >0 >0 <0

2+1) ; N :−2 x ; x D :¿

−2 x

¿ 0 ∩max

+ -

Sostituisco l’ascissa nella funzione per trovare l’ordinata e ottengo che

il punto di massimo ha coordinate M (0;1), che coincide con

l’intersezione con l’asse y.

Calcolo la derivata seconda e studio il segno per trovare i punti di

flesso:

f (x)=3 {x} ^ {4} +2 {x} ^ {2} -

1 1

4 2 ∪

+2 −1> ←

3 x x 0; x x>

√ √

3 3 1 1

- √ √

3 3

+ F - F +

Sostituisco le ascisse nella funzione per trovare le ordinate e ottengo

( ) ( )

−1 3 1 3

F ; F ;

che i flessi hanno coordinate .

1 2

√ √

4 4

3 3

Traccio il grafico della funzione: 11

Sovrappongo il grafico alla foto e ottengo che la collina è descritta dal

grafico limitando la funzione all’intervallo [-3;3]:

12

2

( )=

f x 2 +3

x ∀ ∈

D. F . : x R

Calcolo il dominio della funzione:

Controllo se il grafico presenta simmetrie:

2 2

(−x )= ( )

= =f

f x la funzione è pari quindi la curva che la

2 2

(−x) +3 +3

x

rappresenta è simmetrica lungo l’asse delle y.

I punti di frontiera nei quali calcolare i limiti della funzione saranno: P.F:

{ }

−∞;+ ∞

Calcolo le intersezioni con gli assi:

{ {

=0 =0

y y

2 2

Asse x ; ; non sono presenti intersezioni con

=0

y= 2 2

+3 +

x x 3

l&r