Matematica Naturale, tesina

MAT

Premessa

Ho deciso di proporre questa tesi, perché nutro una grande passione verso la fotografia e ho deciso di unire quello che mi appassiona con ciò che mi ha incuriosito di più durante l’anno. Reputo che possa essere un argomento interessante e appassionante da parte di chi lo legge.

Introduzione

La Natura ha a che fare con il rigore matematico. Nikki Graziano ha cercato di far cambiare idea con il suo progetto “Found Functions”, una collezione di foto di vegetazione, case, nuvole e distese di sabbia, “spiegate” matematicamente con funzioni in grado di descrivere le forme del mondo che ci circonda.

“Non c’è nulla di così sognante e poetico, nulla di così radicale, sovversivo e psichedelico della matematica. La matematica è la forma d’arte più pura oltre che quella più fraintesa” disse Lockhart, astronauta statunitense.

Nikki Graziano afferma: “Volevo creare qualcosa che potesse comunicare quanto sia impressionante la matematica, per tutti.”

La Natura, pur essendo caotica, segue regole ben precise per la creazione dei suoi elementi e da sempre l’uomo cerca di spiegare e quantificare gli elementi naturali, attraverso l’esplorazione, per spiegarne la struttura. La realtà, attraverso i ragionamenti fisici, matematici e chimici che perdono la loro attinenza visiva, si trasforma in astrazione.

Il mio progetto consiste nell’individuare una funzione a caso, ricavarne il grafico, attraverso lo studio di funzione, e sovrapporlo a una foto scattata da me, per dimostrare che un grafico può avere significato visivo, attinente alla realtà, e che la natura è colma, appunto, di ragionamenti fisici e matematici.

Tesi

Funzioni

Prendo delle funzioni a caso, le studio e ricavo il grafico di ciascuna.

−1 3 2

( ) = +

F x x x

3 ∀ ∈

D. f. : x R

Ricavo il dominio della funzione:

;

|

{ }

−∞ +∞

P. F. −∞ +∞

I punti di frontiera saranno:

Ora calcolo le intersezioni con gli assi:

1 {

{ { y=0

y=0 y=0 ( )

−1

−1 −1

asse x: ; ; ;

2

3 2 3 2 =0

+ + =0 x x+1

y= x x x x 3

3 3

{ y=0 ;

=0; =3

x x

1 2

{ {

x=0 x=0 { x=0

−1 −1

asse y: ; ; .

3 2

+

y= x x y= 0+ 0=0 y=0

3 3

Dopo di che calcolo i limiti della funzione per i punti di frontiera:

−1 3 2

+ =+∞

lim x x

3

x →−∞ −1 3 2

+ =−∞

lim x x

3

x →+∞

Ora calcolo la derivata prima e ne studio il segno, per controllare se esistono massimi o minimi nel grafico della funzione:

′ 2

( )=−x +2

f x x > <2.

x 0 ∪ x

2 (−x +2)>

x 0

; ;

−x +2 x> 0 1 2

Tabella dello studio: 0 2

∪ ∩

- min + max

-

Calcolo l’ordinata dei minimi e dei massimi della funzione sostituendo i valori trovati alla funzione:

−1 3 2

( )= + =0

f 0 0 0 il punto di minimo assoluto coincide con l’origine

3

degli assi cartesiani O (0;0)

−1 −8 4

3 2

( )= +2 = +

f 2 2 4= il punto di massimo assoluto ha coordinate

3 3 3

4

M (2; ).

3

Calcolo la derivata seconda e ne studio il segno, per controllare se esistono eventuali flessi:

f (x)=-2x+ 2

( )

−2 +2>0 +1 >0

x ;−2 x ; x< 1.

Tabella dello studio: 1

+ F -

Calcolo l’ordinata del flesso sostituendo il valore trovato alla funzione:

−1 2 2

3 2

( )= + =

f 1 1 1 il flesso avrà coordinate F (1; ).

3 3 3

Trovo il grafico della funzione: 3

Lo sovrappongo alla foto di una foglia e noto che approssimativamente la foglia descrive la funzione appena studiata, limitandola all’intervallo [0;3]: 2

( )=x

f x ln x >0

D. f. : x

Calcolo il dominio della funzione:

Il suo grafico non ha simmetrie perché interessa solo la parte di ascisse positive. +∞ ;+∞

∞

0

I punti di frontiera sono: P. F.: ∞

Controllo se sono presenti intersezioni con gli assi:

{ {

y=0 y=0 ;

asse x;

2 2

y=x ln x x ln x=0

{ y=0

2 ( )

=0 =0 =1

1. x; x=0 non accettabile perché fuori dal dominio; 2. ln x; ln x=ln 1; x

4 x> 0

Non si hanno intersezioni con l’asse y perché per il dominio, x=0 quindi non fa parte del grafico.

Calcolo i limiti agli estremi del dominio

2

lim x ln x=+∞

x→∞ ( )

2

−x

1

+∞ =0

x → 0 x 2

1

x

+∞ =lim ∞

x → 0 2

−2 x ∞

42

x

ln x

+∞ =lim ∞

x → 0 1 ∞

2

x

+∞ 2 ′ ∞

x → 0 x ln x=0∙∞ →applico de L’Hospital, perché forma indeterminata → lim

∞

∞

lim

∞

Determino eventuali massimi o minimi, studiando il segno della derivata prima:

1

′ 2

( )=2

f x x ln x+ x