2010 - Liceo scientifico di ordinamento, sessione straordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria 2010, matematicamente.it

Problema 1

In un triangolo ABC, l'angolo B è doppio dell'angolo C e inoltre è BC = a.

1. Dette BH e CL, rispettivamente, le altezze del triangolo uscenti dai vertici B e C, si consideri il rapporto:

(BH² + CL²) / a²

espresso in funzione di x = ABC.

2. Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico nell'intervallo 0 < x < 2π, mettendo in evidenza poi la parte di grafico compatibile con i dati del problema.

3. Si dimostri che è simmetrica rispetto alla retta x = π.

4. Si calcoli il valore medio della funzione f(x) nell'intervallo 0 < x < π.

Risoluzione

Punto 1

Consideriamo la figura a lato.

Posto ABC = x, ACB = x / 2, si ha:

BH² = a² · sin²(x / 2)

CL² = a² · sin²(x)

A H L B C

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f(x) = (BH² + CL²)/a² = sin²(x/2) + sin²(x) = (1 - cos(x))/2 + 1 - cos²(x) =

= -cos²(x) - cos(x)/2 + 3/2 = (-2cos²(x) - cos(x) + 3)/2 = (1 - cos(x))(2cos(x) + 3)/2

Punto 2

Studiamo la funzione f(x) = (1 - cos(x))(2cos(x) + 3)/2 in [0, 2π].

Dominio: [0, 2π];

Intersezione asse ascisse: f(x) = 0 (1 - cos(x))(2cos(x) + 3)/2 = 0

Tenendo conto che

2cos(x) + 3 > 0 ∀ x ∈ [0, 2π]

cos(x) = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 2π

Intersezione asse ordinate: x = 0, f(0) = 0

Simmetrie: la funzione è periodica di periodo T = 2π e pari in quanto

f(-x) = (1 - cos(-x))(2cos(-x) + 3)/2 = (1 - cos(x))(2cos(x) + 3)/2 = f(x)

Positività: f(x) > 0 ⇔ 1 - cos(x) > 0 ⇔ cos(x) < 1 ⇔ x ∈ (0, 2π).

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata;

Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata;

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata;

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Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

f'(x) = 2sin(x)cos(x) + sin(x)/2 = 2sin(x)[cos(x) + 1/4]; studiamo il segno dei singoli fattori e poi valutiamo il segno della derivata prima:

sin(x) > 0 = > 0 < x < π

cos(x) > -1/4 = > 0 < x < π - arccos(1/4) ∨ π + arccos(1/4) < x < 2π

Di conseguenza:

f'(x) > 0 = > 0 < x < π - arccos(1/4) ∨ π < x < π + arccos(1/4)

Nel quadro dei segni α = π - arccos(1/4), β = π + arccos(1/4)

sin(x) >= 0

cos(x) + 1/4 >= 0

f'(x) >= 0

Dal quadro dei segni restante deduciamo che la funzione presenta un minimo relativo in (π, 1) e due massimi relativi in

M₁ = (α, 25/16), M₂ = (β, 25/16);

Concavità e convessità: la derivata seconda è

f''(x) = 2cos(2x) + cos(x)/2 = 4cos²(x) + cos(x)/2 - 2 = (8cos²(x) + cos(x) - 4)/2

per cui

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f''(x) > 0 ⇔ cos(x) < (-1 - √33)/8 ∨ cos(x) > (-1 + √33)/8

0 < x < arccos((-1 + √33)/8)

- arccos((1 + √33)/8) < x < - arccos((1 + √33)/8)

2π - arccos((-1 + √33)/8) < x < 2π

Quindi la funzione presenta concavità verso l'alto in

(0, arccos((-1 + √33)/8))

(- arccos((1 + √33)/8), - arccos((1 + √33)/8))

(2π - arccos((-1 + √33)/8), 2π)

e presenta quattro flessi a tangente obliqua in

x = arccos((-1 + √33)/8) 53,6°, x = - arccos((1 + √33)/8) 147,5°,

x = - arccos((1 + √33)/8) 212,5°, x = 2π - arccos((-1 + √33)/8) 306,4°

Il grafico è di seguito presentato nell'intervallo [0, 2π]:

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f(x) = ((1 - cos(x))(2 cos(x) + 3)) / 2

25/16

1

- arccos(1/4)

+

arccos(1/4)

2π

x

Se consideriamo i limiti geometrici, dobbiamo imporre che l'angolo al vertice BÂC = π - 3/2 x deve essere compreso tra 0 e π, cioè

0 < π - 3/2 x < π - > 0 < x < 2π/3. Di seguito il grafico per 0 < x < 2π/3:

f(x) = ((1 - cos(x))(2 cos(x) + 3)) / 2

3/2

1

2π/3

x

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Punto 3

Una funzione è simmetrica rispetto alla retta x = k se f(x) = f(2k - x)

Nel caso in esame

f(2π - x) = [1 - cos(2π - x)] · [2 cos(2π - x) + 3] / 2 =

= [(1 - cos x) · (2 cos x + 3)] / 2 = f(x)