2010 - Liceo scientifico di ordinamento, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

Problema 1

Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e γ la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza λ passante per C e tangente esternamente a γ.

1. Se AP = x si provi che il raggio di λ in funzione di x è dato da

f(x) = ^{1 − x}⁄_{1 + x}

2. Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad x dal problema geometrico, il grafico di f(x). La funzione f(x) è invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?

3. Sia g(x) = ^{|1 − x|}⁄_{|1 + x|}, x ∈ R; quale è l'equazione della retta tangente al grafico di g(x) nel punto R(0,1)? E nel punto S(1,0)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g(x) nel punto S?

4. Si calcoli l’area del triangolo mistilineo ROS, ove l’arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

Risoluzione

Punto 1

La figura rappresenta la geometria del problema.

Indichiamo con E il punto di contatto delle due circonferenze; il segmento PQ passerà per E. Indicando con CQ = QE = y, 0 < y < 1, il raggio della circonferenza λ, si ha:

D

C

A

B

E

Q

1

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QP = x + y   PB = 1 − x   QB = 1 − y

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PQB si ha:

OP² = PB² + QB²

(x + y)² = (1 − x)² + (1 − y)²

x² + y² + 2xy = 1 + x² − 2x + 1 + y² − 2y

2y · (1 + x) = 2 · (1 − x)

y = ^{1 − x}⁄_{1 + x}

Punto 2

Studiamo la funzione y = ^{1 − x}⁄_{1 + x}

Dominio: 1 + x = 0, x = −1, x (-, -1) (-1, +);

Intersezione asse ascisse: y = ^{1 − x}⁄_{1 + x} = 0, x = 1;

Intersezione asse ordinate: x = 0, y = 1;

Simmetrie: la funzione è simmetrica rispetto alla retta y = x cosa che è dimostrata anche per via algebrica dall'equazione

(x + y)² = (1 − x)² + (1 − y)²

Positività:

N: 1 − x > 0, x < 1

D: 1 + x > 0, x > −1

1 − x: +   +   −

1 + x: −   +   +

Risultato: −   +   −

−1      +1      x

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y = (1 − x)/(1 + x) > 0 −1 < x < 1

Asintoti verticali: lim_{x −1} (1 − x)/(1 + x) = 2/0⁻ = −, lim_{x +1} (1 − x)/(1 + x) = 2/0⁺ = + per cui x = −1 è asintoto verticale;

Asintoti orizzontali: lim_{x ±} (1 − x)/(1 + x) = −1 per cui y = −1 è asintoto orizzontale;

Asintoti obliqui: trattandosi di funzione razionale fratta, la presenza dell'asintoto orizzontale esclude la presenza di quelli obliqui;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è y' = −2/(1 + x)² che è sempre negativa nel dominio x (-1) (-1, +); quindi la funzione è strettamente decrescente nel dominio;

Concavità e convessità: la derivata seconda è y'' = 4/(1 + x)³ per cui la funzione presenta concavità verso l'alto in (-1, +) e verso il basso in (-, -1); non esistono flessi.

Il grafico è a lato presentato.

Alternativamente avremmo potuto ricavare il grafico ricordando che la funzione y = (1 − x)/(1 + x) rientra nell'ambito delle funzioni omografiche y = (ax + b)/(cx + d) che si ottengono per traslazione di una iperbole equilatera

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riferita ai propri asintoti, per cui è definita per x != −d/c = −1, ha asintoto verticale x = −d/c = −1 ed orizzontale y = a/c = −1, con centro di simmetria in C(−1,−1).

In altro modo effettuando la trasformazione: X = x + 1, Y = y + 1, la funzione trasformata nel nuovo riferimento cartesiano (X,Y) sarà

Y − 1 = [1 − (X − 1)]/[1 + (X − 1)] -> Y − 1 = (2 − X)/X -> Y = 2/X -> XY = 2, cioè una iperbole equilatera di asintoti X = 0, Y = 0; applicando quindi la trasformazione, la funzione di potenza sarà una iperbole equilatera traslata di asintoti x = X − 1 = −1, y = Y − 1 = −1.

Affinché una funzione f: D_f -> C_f sia invertibile deve essere suriettiva ed iniettiva; la suriettività è dimostrata dal fatto che nel caso in esame il dominio e il codominio della funzione