2010 - Liceo scientifico di ordinamento, sessione suppletiva

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

PROBLEMA 1

Data una circonferenza di centro O e raggio unitario, si prendano su di

essa tre punti A, B, C, tali che AB = BC.

Si calcoli, in funzione dell’angolo AÔB = x , la quantità:

1.  

2 2 2

AB BC CA

controllando che risulti:    

2

f ( x ) 4 cos x 4 cos x 8

Si studi la funzione f(x) e si tracci il suo grafico γ nell’intervallo 0 ≤

2.

x ≤ 2π

Si verifichi che la curva γ è simmetrica rispetto alla retta di equazione

3.

x = π nell’intervallo 0 ≤ x ≤

4. Si calcoli il valore medio della funzione f (x )

2π. RISOLUZIONE

Punto 1 B

Consideriamo la figura di seguito.



A

Ô

B x

Posto si ha  

 

x 

     

  e

A

B̂

C 2 A

B̂

O 2 x O

 

2

x

  .

B

Â

C B

Ĉ

A A C

2

Applicando il teorema della corda al

triangolo ABC si ha:  

    x



       

AC 2 sin x 2 sin x , AB BC 2 sin  

2

Quindi: 1

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

 

x 1 cos x

2 2 2  

       

2 2 2

AB BC CA 4sin x 8sin 4 1 cos x 8

   

 

2 2

   

   

2

4 cos x 4 cos x 8

Punto 2

Studiamo la funzione  

   

          

       

2 in 0

, 2

f x 4 cos x 4 cos x 8 4 cos x 2 1 cos x

 



Dominio: ;

0

, 2

Intersezione asse ascisse:    

cos x 2 0

 

      

 

      



    x 0,2

f x 0 cos x 2 1 cos x 0

   

  

    

cos x 1 x 0 x 2  

  

Intersezione asse ordinate: x 0 f 0 0 



Simmetrie: la funzione è periodica di periodo e pari in quanto

T 2

           

           

2 2 ;

f x 4 cos x 4 cos x 8 4 cos x 4 cos x 8 f x

       



        

f x 0 1 cos x 0 cos x 1 x 0

, 2

Positività: ;

Asintoti verticali: nessuno perché la funzione è periodica e limitata;

Asintoti orizzontali: nessuno, la funzione è periodica e limitata;

Asintoti obliqui: nessuno, la funzione è periodica e limitata;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

 

           

    

f ' x 8 sin x cos x 4 sin x 4 sin x 2 cos x 1 ; di seguito lo

studio dei segni della derivata.

  

   

sin x 0 0 x  

1 2 4

  

       

cos x 0 x x 2

2 3 3 2

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  

sin x 0

   

2cos x 1 0 



  2 x

4

0 2 3

3

 

2 4

  

      

f ' x 0 0 x x

3 3

Dal quadro soprastante deduciamo che la funzione presenta un minimo

 





m ,

8

relativo in e due massimi relativi in

 

   

2 4

 

    ;

M ,

9 , M ,

9

1 2

   

3 3

Concavità e convessità: la derivata seconda è

 

     

  

2 per cui

f ' ' x 4 4 cos x cos x 2

   

     

1 33 1 33

     

f ' ' x 0 cos x cos x

8 8

 

 

1 33

 

  

0 x arccos  

8

 

   

 

1 33 1 33

   

 

   

arccos x arccos

   

8 8

   

 

 

1 33

 

 

  

2 arccos x 2

 

8

 

la funzione presenta concavità verso l’alto in

Quindi 3

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 

 

 

1 33

 

  

0

, arccos  

 

8

 

 

 

   

 

1 33 1 33

 

   

 

  

arccos , arccos

   

 

8 8

   

 

 

 

 

1 33

 

 

 



2 arccos , 2

 

 

8

 

 

e presenta quattro flessi a tangente obliqua in

   

  

1 33 1 33

   



      

x arccos 53

,

6 , x arccos 147

,

5 ,

   

8 8

   

   

  

1 33 1 33

   

 

       

x arccos 212

,

5 , x 2 arccos 306

, 4

   

8 8

   

Il grafico è di seguito presentato: 4

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Punto 3 

Una funzione è simmetrica rispetto alla retta se

x k

   

  . Nel caso in esame

f x f 2

k x

     

  

       

2

f 2 x 4cos 2 x 4cos 2 x 8

     

    

2

4cos x 4cos x 8 f x

  



per cui è simmetrica rispetto alla retta .

x

f x

Punto 4 b

   

  1 



V f x dx

Il valor medio di una funzione in è .

f x a, b 

M b a a

Nel caso in esame



2

1   

    

2

V 4 cos x 4 cos x 8 dx

 



M 2 0  

 

 

2 1 cos 2 x

1 

     

 

4 4 cos x 8 dx

  

2 2

0



2

1  