2010 - Liceo scientifico di ordinamento, sessione suppletiva

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

  

sin x 0

   

2cos x 1 0 



  2 x

4

0 2 3

3

 

2 4

  

      

f ' x 0 0 x x

3 3

Dal quadro soprastante deduciamo che la funzione presenta un minimo

 





m ,

8

relativo in e due massimi relativi in

 

   

2 4

 

    ;

M ,

9 , M ,

9

1 2

   

3 3

Concavità e convessità: la derivata seconda è

 

     

  

2 per cui

f ' ' x 4 4 cos x cos x 2

   

     

1 33 1 33

     

f ' ' x 0 cos x cos x

8 8

 

 

1 33

 

  

0 x arccos  

8

 

   

 

1 33 1 33

   

 

   

arccos x arccos

   

8 8

   

 

 

1 33

 

 

  

2 arccos x 2

 

8

 

la funzione presenta concavità verso l’alto in

Quindi 3

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

 

 

 

1 33

 

  

0

, arccos  

 

8

 

 

 

   

 

1 33 1 33

 

   

 

  

arccos , arccos

   

 

8 8

   

 

 

 

 

1 33

 

 

 



2 arccos , 2

 

 

8

 

 

e presenta quattro flessi a tangente obliqua in

   

  

1 33 1 33

   



      

x arccos 53

,

6 , x arccos 147

,

5 ,

   

8 8

   

   

  

1 33 1 33

   

 

       

x arccos 212

,

5 , x 2 arccos 306

, 4

   

8 8

   

Il grafico è di seguito presentato: 4

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

Punto 3 

Una funzione è simmetrica rispetto alla retta se

x k

   

  . Nel caso in esame

f x f 2

k x

     

  

       

2

f 2 x 4cos 2 x 4cos 2 x 8

     

    

2

4cos x 4cos x 8 f x

  



per cui è simmetrica rispetto alla retta .

x

f x

Punto 4 b

   

  1 



V f x dx

Il valor medio di una funzione in è .

f x a, b 

M b a a

Nel caso in esame



2

1   

    

2

V 4 cos x 4 cos x 8 dx

 



M 2 0  

 

 

2 1 cos 2 x

1 

     

 

4 4 cos x 8 dx

  

2 2

0



2

1  



    

 

2 cos 2 x 4 cos x 6 dx

 



2 0

1 

  2

    

 

sin 2 x 4sin x 6 x

 

 0

2

1 

  

12 6



2 5

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

PROBLEMA 2   2

f ( x ) x 1 x

Sia data la funzione

1. Si determini il dominio di e si dica se la funzione è continua e

f (x )

derivabile in ogni punto di esso. tracci il grafico γ.

2. Si studi la funzione e se ne

f (x )

Si calcoli l’area della racchiusa dal grafico γ e dal

3. parte di piano R

semiasse positivo delle ascisse.

genera, nella rotazione attorno all’asse delle ascisse, un

4. La regione R vertice nell’origine.

solido S. In S si inscriva un cono circolare retto con

Si determinino raggio e altezza del cono, affinché il suo volume sia

massimo. RISOLUZIONE

Punto 1     2

Il dominio della funzione è dato da:

f x x 1 x

     

2

1 x 0 1 x 1 .

Nel dominio la funzione è continua.

La derivata prima è   

2 2

  x x 1 2 x

 

        

2 2 da cui

f ' x 1 x x 1 x

 

  

 

2 2 2

1 x 1 x 1 x

 

deduciamo che la funzione non è derivabile nei punti in cui

x 1

   

  

lim f ' x lim f ' x

presenta una tangente verticale; infatti . In

 

  

x 1 x 1

conclusione la funzione è derivabile in tutti i punti del dominio esclusi i

 

x 1

punti con ascisse . 6

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

Punto 2     2

Studiamo la funzione f x x 1 x

  

Dominio: ;

1 x 1            

2

Intersezione asse ascisse: f x x 1 x 0 x 0 x 1 x 1

 

  

Intersezione asse ordinate: x 0 f 0 0

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

     

         

2 2

f x x 1 x x 1 x f x

Positività:



x 0

     

2 Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto

1 x 0 1 x 1

     

f x 0 0 x 1

   

 

lim f x lim f x 0 ;

 

  

x 1 x 1 + -

-

+ + 

 x

1 1

0

- + -  

 1

,

1

Asintoti orizzontali: non esistono visto il dominio chiuso ;

 

 1

,

1

Asintoti obliqui: non esistono visto il dominio chiuso ;

 2

  1 2 x



f ' x

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ;

 2

1 x

dal quadro dei segni deduciamo la presenza di un minimo relativo

   

2 1 2 1

 

   

ed un massimo relativo ;

m , M ,

2 2 2 2

   

7

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

 

2

1 2 x 0  1

1 x

2

2

 2

2

Concavità e convessità: la derivata seconda è



  x

   

2 2

4 x 1 x 1 2 x  2

  1 x

 

f '' x  2

1 x

   

   

2 2 

4 x 1 x x 1 2 x 3

2 x 3 x

 

3 3

   

 

2 2

1 x 1 x

2 2

  

per cui, ricordando che il dominio è , si ha

1 x 1

 3 3

       



3

2 x 3 x 0

  x 0 x

      

 

f ' ' x 0 1 x 0

2 2

  

 

1 x 1   

 1 x 1  



funzione presenta concavità verso l’alto in 1

,

0

cioè la e verso il

 

0

,

1

basso in ; la funzione presenta quindi un flesso a tangente obliqua

 

 

F 0

,

0 con tangente inflessionale di equazione .

y x

Di seguito il grafico: 8

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

Punto 3

L’area richiesta è 1

 

    3

 

1 1 2 2

1 d 1 x 1 1 x 1

 

2

 

       

2 2

S x 1 x dx 1 x dx  

3

2 dx 2 3

 

 

0 0 2 0

Punto 4 

   

2

Sia con un punto generico appartenente al

P x

, x 1 x 0 x 1     2

ramo del primo quadrante della funzione .

f x x 1 x

del cono inscritto sarà pari all’ordinata del punto P e cioè

Il raggio

  

mentre l’altezza sarà pari all’ascissa e cioè

2

R x 1 x .

h x

Il volume del cono sarà allora

  

     

2

  R h

        

2 2 3 5

V x x 1 x x x x .

3 3 3

Studiamo la derivata per trovare il massimo

  

    

2 4

V' x 3 x 5 x

3

per cui la funzione volume, ricordando la limitazione geometrica

 

3

 

  è strettamente crescente in e strettamente

0 x 1 0

,

 

5

 

 

3

 

decrescente in da cui deduciamo che il volume è massimo

,

1

 

5

  3 6

 

quando l’altezza è pari a x R

ed il raggio è pari a . Il valore

5 5

   

 

3 3 3 9 3 2 3

   

   

massimo è pertanto pari a .

V

   

5 3 5 5 25 5 25 5

   

9

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

QUESTIONARIO

Quesito 1

In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una

torretta d’osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli di

depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate

rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18°

e 24°. Si determini la larghezza del fiume in quel punto.

T

Consideriamo la

figura a lato. 11

Dobbiamo calcolare m

la lunghezza H

del segmento PO.

Applicando il

teorema dei 24

triangoli rettangoli ° 18

ai triangoli POT e °

O P

POH si ha la

relazione

   

      da cui

PO tan 24 PO tan 18 11

11

 

PO 91 m

   

  

tan 24 tan 18 10

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

Quesito 2 

3 x x

3 a



f ( x ) ,

Considerata la funzione dove a è una costante reale



x x

6 5 

positiva, si determini tale costante, sapendo che .

lim f ( x ) 2



x 0 0

Il limite richiesto si presenta nella forma indeterminata per cui

0

possiamo applicare il teorema di de l’Hospital: 27

ln

    

3 x x 3 x x

3 a 3 ln 3 3 ln a a 3 ln 3 ln a a

  

lim lim .



   

x x x x 6

  ln 6 ln 5

6 5 ln 6 6 ln 5 5

x 0 x 0 ln 5



3 x x

3 a 

Imponendo si ha

lim 2



x x

 6 5

x 0

27

ln 27 6 27 36 27 36 75

a         

2 ln 2 ln ln ln a .

6 a 5 a 25 a 25 4

ln 5 11

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

Quesito 3

Su un piano orizzontale α si pongono un cono circolare retto, il cui

e l’altezza

raggio di base è r 2r, e una sfera di raggio r. A quale distanza

dal piano α bisogna segare questi due solidi con un piano orizzontale

x

ß, perché la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima?

Si consideri la figura seguente:

A O

L

K E

D

B C

H F

 

 

Indichiamo con x, , la distanza tra piani e .

0 x 2

r



Le intersezioni del piano con il cono e la sfera sono due

 

R KL R DE

circonferenze rispettivamente di raggio e . La

C S

 

   

2 2

somma delle aree delle sezioni è quindi .

S R R

C S

Calcoliamo ora i due raggi:

 R

Raggio C

I triangolo AKL e AHC sono simili essendo entrambi rettangoli con un

angolo in comune per cui vale la seguente proporzione tra lati



AK : KL AH : HC

omologhi: da cui

12

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

 

    

AK HC 2 r x r x

   

  per cui l’area della

KL r

 

2 r 2

AH 2

 

 

x x

 

      

 

  2

circonferenza di raggio è ;

KL r A R r

C C  

  2

2

 Raggio R S

Il triangolo ODE è rettangolo per cui

 

2 2

       

2 per cui l’area

2 2

R DE OE OD r r x 2

rx x

S    2

della circonferenza di raggio è

R DE 2

rx x

S

 

 

    

2 2 .

A R 2

rx x

S S

La somma delle aree è quindi

2  

   

  x 3

  

          

   

2 2 2 con

S x r 2 rx x x rx r

   

2 4

 

  S x

. Notiamo che la funzione è una parabola con

0 x 2

r

concavità verso il basso che presenta il massimo nell’ascissa del vertice

b r 2

     ; quindi la somma delle due aree è massima

x r

V 3

2 a 3

 2    

2 2 3 4 2 4

 

        

   

2 2 2

per e vale .

x r S r r r r r r

V    

3 3 4 9 3 3

Alternativamente possiamo proseguire mediante derivazione: la

 

    3



   

 

S x

derivata prima della funzione è per cui

S ' x x r

 

2

 

  2

   S x

S ' x 0 x r da cui deduciamo che è strettamente crescente

3  

  2

2

   

r , 2 r

in e strettamente decrescente in ; inoltre

0

, r

   

3 3

  3 2



    è l’ascissa del massimo.

S ' ' x 0 x r

per cui

2 3 13

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2010, matematicamente.it

Quesito 4   

2

Si dimostri che per gli zeri e di una funzione f ( x ) ax bx c

x x

1 2

 

' '

vale la relazione e si dia una interpretazione

f ( x ) f ( x ) 0

1 2

geometrica della affermazione dimostrata.

  

Gli zeri dell’equazione 2 sono

ax bx c 0

     

2 2

b b 4 ac b b 4 ac

 

x , x ;

1 2

2 a 2 a  

   

  

2 f ' x 2

ax b

la derivata prima di è per cui

f x ax bx c

 

  

2

  b b 4 ac

 

    

2

f ' x 2 a b b 4 ac

 

1 2 a

 

 

  

2

  b b 4 ac

 

    

2

f ' x 2 a b b 4 ac

 

2 2 a

 

   

 

da cui deduciamo che .

f ' x f ' x 0

1 2

Per dare un’interpretazione geometrica al risultato ottenuto riscriviamo

 

   



f ' x f ' x

la somma : essa è pari a

1 2

         

       

f ' x f ' x 2

ax b 2

ax b 2