2010 - Liceo scientifico PNI, sessione suppletiva

Corso sperimentale - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010

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Esame di stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Sessione suppletiva

Tema di: matematica

a. s. 2009-2010

Problema 1

AB 2.

O.

È data una circonferenza di centro e diametro AB. Sul prolungamento del diametro dalla parte di B si prenda un punto P e da esso si conduca una tangente alla circonferenza.

T Q.

1. Detti T il punto di tangenza e Q il punto di intersezione di questa tangente con la tangente in A alla circonferenza, si calcoli il rapporto:

TQ² + TP²,

AP²

x BP

=

espresso in funzione di x, controllando che risulta:

x² + 1

f(x) =

x² + x²

2. Prescindendo dalla questione geometrica, si studi la funzione f(x) e se ne tracci il grafico γ.

a, b, c.

3. Si calcolino i numeri a, b, c in modo che risulti:

x² + b x + c

1

(1) a = + +

x² + x²

4. Tenendo presente la scomposizione (1), si calcoli l’area della regione piana, limitata da γ, dal suo asintoto orizzontale e dalla retta d’equazione x = 2.

Problema 2

In un sistema di riferimento cartesiano Oxy, si denoti con Γ il grafico della funzione

a x

2 - a

f(x) = (x - a)e

a

dove a è un parametro reale positivo ed e è il numero di Nepero.

1. Si dimostri che, al variare di a, le curve Γ tagliano l’asse delle x secondo lo stesso angolo α. Si determini l’ampiezza di α in gradi e primi sessagesimali.

a,

2. Si dimostri che la tangente a Γ nel punto di flesso descrive, al variare di a, un fascio di rette parallele. Si determini l’equazione di tale fascio.

f(x)

a ( )

3. Posto a = 1, si studi f(x) e si tracci Γ₁.

S(k) x

4. Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da Γ₁, dall’asse x = k, k > 1, e dalla retta con k → +∞. Cosa si può dire di S(k) quando k → +∞?

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Questionario

1. In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una torretta d’osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18° e 24°. Si determini la larghezza del fiume in quel punto.

x x

3 a

3 − a

2. Considerata la funzione f(x), dove a è una costante reale positiva, si determini tale costante, sapendo che:

f(x) = x³ − a

x⁶ − x⁵

lim f(x) = 2

x → 0

3. Su un piano orizzontale α si pongono un cono circolare retto, il cui raggio di base è r e l’altezza 2r, e una sfera di raggio r. A quale distanza dal piano α bisogna segare questi due solidi con un piano orizzontale β, perché la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima?

x²

4. Si dimostri che per gli zeri x₁ e x₂ di una funzione f(x) = ax² + bx + c vale la relazione

f′(x₁) + f′(x₂) = 0

e si dia una interpretazione geometrica della affermazione dimostrata.

e^{(1 − x)}

5. Si calcoli il valore medio della funzione f(x), nell’intervallo 1 ≤ x ≤ 2.

f(x) = 2

x²

6. Si determini il punto della parabola 4y = x² più vicino al punto di coordinate (6, -3).

7. Si consideri l’equazione

x³ − 3x² + 6x − 6 = 0.

Si dimostri che essa ammette una soluzione reale x₀ tale che 1 < x₀ < 2. Avvalendosi di un qualsiasi procedimento iterativo si determini x₀ a meno di 1/100.

Oxy C r

8. Nel piano cartesiano è dato il cerchio C con centro nell’origine e raggio r = 3; siano P(0, 3) e Q(2, 3) punti di C. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all’asse x del quadrilatero mistilineo PORQ, con proiezione di R sull’asse x.

9. Siano dati un ottaedro regolare di spigolo l e la sfera in esso inscritta; si scelga a caso un punto all’interno dell’ottaedro. Si determini la probabilità che tale punto risulti interno alla sfera.

10. Un’urna contiene 20 palline, che possono essere rosse o azzurre. Quante sono quelle azzurre, se, estraendo 2 palline senza riporre la prima estratta, la probabilità di estrarre almeno una pallina azzurra è 27/38?

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

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Problema 1

Punto 1

Consideriamo la figura di seguito.

Q T

A O B P

   

2 2 2

x

Banalmente si ha AP² = AB² + BP² = 2 + x²; applicando il teorema di Pitagora al triangolo OTP si ricava:

TP² = OP² − OT² = (x² + 1)² − 1 = x² + x².

Per il teorema delle tangenti a una circonferenza, per cui AQ = TQ, applicando il teorema di Pitagora al triangolo AQP si ottiene:

AQ² + QP² = AP² → AQ² + TQ² = AP² + TP² →

→ AQ² + AP² = AP² + TP² + 2 · AQ · TP →

→ AP² − TP² = 2 · AQ · TP → AQ =

AP² − TP²

2 · TP

 

  2 2

x x x x

2 2 2

   

AQ

→ = =

2 2

x x x x

2 2 2

· + +

La funzione richiesta è quindi

 

x² + 2

     2

x² + 2

  

  2

x x

2

  2

x x

2

 

 

2

x x

2



  2

x x

2



f(x) = = =

   

2 2

x x

2 2

 

 

     

2 2 2

2 2

x x x x x

2 2 2 1

  ·   ·   

2

x² + 1

2 2

x x x x

2 2

 

  

   

2 2 2

x x

2



x x

2 2

 

Punto 2

 

2

x² + 1

 

f(x)

Studiamo la funzione f(x) =

2

x x

2

      

• Dominio: x² + 2x ≠ 0 → x ≠ 0 ∧ x ≠ −2 → x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, +∞);

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• Intersezione asse ascisse: non ve ne sono in quanto x² + 1 è una quantità sempre positiva;
• Intersezione asse ordinate: non ve ne sono in quanto x = 0 non appartiene al dominio;
• Simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;
• Positività: f(x) > 0 → x² + 1 > 0 → x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, +∞);
• Asintoti verticali:

 

2

x x

1 1

lim , lim

 ∞  −∞

2 2

x x x x

2 2

 

− +

x x

2

 −