2012 - Liceo scientifco di ordinamento, sessione ordinaria

Problema 1

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

f(x) = |27x³|      e      g(x) = sin(3/2 x)

1. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i grafici G_f e G_g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy.

2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a G_f e a G_g nel punto di ascissa x = 1/3. Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e s?

3. Sia R la regione del piano delimitata da G_f e G_g. Si calcoli l’area di R.

4. La regione R, ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.

Risoluzione

Punto 1

Una funzione sinusoidale di periodo T può essere scritta come

sin(2/T x); nel caso in esame la funzione g(x) = sin(3/2 x) è

equivalente a g(x) = sin(2/(4/3) x) il cui periodo è T = 4/3.

Alternativamente possiamo sfruttare la definizione di funzione periodica: una funzione è periodica di periodo T se g(x) = g(x + T) e

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nel caso in esame se sin(3/2 x) = sin[3/2 (x + T)]; ricordando che una funzione seno è periodica di 2kpi con k in Z, l’equazione

sin(3/2 x) = sin[3/2 (x + T)] equivale a imporre

3/2 (x + T) = 3/2 x + 2kpi da cui si ricava T = 4/3 k; il periodo minimo lo

si ricava ponendo k = 1 ed è pari a T = 4/3.

Studiamo la funzione f(x) = |27x³|.

Il grafico della funzione f(x) = |27x³| possiamo ricavarlo da quello della funzione h(x) = 27x³ ribaltando verso le ordinate positive la parte di grafico al di sotto dell’asse delle ascisse. Pertanto studiamo la funzione h(x) = 27x³.

Dominio: R;

Intersezione asse x: h(x) = 27x³ = 0 -> x = 0

Intersezioni ordinate: x = 0 -> h(0) = 0;

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto h(-x) = 27(-x)³ = -27x³ = -h(x);

Positività: la cubica h(x) = 27x³ è positiva se x > 0;

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

Asintoti orizzontali: lim h(x) = +/- infinito per cui non ve ne sono;

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim h(x)/x = +infinito;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è h'(x) = 81x² per cui all’interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla solo in x = 0.

Concavità e convessità: h''(x) = 162x per cui la funzione ha concavità verso l’alto in (0,+infinito) e verso il basso in (-infinito,0); poiché

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h'(0) = 0, h''(0) = 0, h'''(0) = 162 > 0 quindi F(0,0) è un flesso a tangente orizzontale di equazione y = 0.

h''(x) > 0   x > 0

h''(x) < 0   x < 0

h''(x) = 0   x = 0

−      0

Flesso

Il grafico G_h è di seguito presentato:

h(x) = 27x³

−1      1   x

27

−27

Il grafico G_f, ricavato da quello di G_h, è di seguito presentato:

f(x) = |27x³|

−1      1   x

27

−27

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Studiamo la funzione g(x) = sin(3/2 x).

Dominio: R;

Intersezione ascisse:

g(x) = sin(3/2 x) = 0 3/2 x = k x = 2/3 k, k Z

Intersezioni ordinate: x = 0 g(0) = 0;

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

g(-x) = sin(-3/2 x) = -sin(3/2 x) = -g(x);

Positività: la funzione è positiva se

2k < 3/2 x < + 2k 4/3 k < x < 2/3 + 4/3 k, k Z;

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g'(x) = 3/2 cos(3/2 x) per cui la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui

cos(3/2 x) > 0 e strettamente decrescente negli intervalli in cui

cos(3/2 x) < 0.

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