2012 - Liceo scientifco di ordinamento, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

PROBLEMA1

Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

 

    3 

   

3

f x 27 x e g x sin x

 

2

1. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i

grafici e in un conveniente sistema di riferimento cartesiano

G G g

f

Oxy.

2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a

1

 Qual è l’ampiezza, in gradi e

G G

e a nel punto di ascissa .

x

g

f 3

primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e s?

G G

3. Sia R la regione del piano delimitata da e . Si calcoli l'area di

g

f

R. ruotando attorno all’asse

4. La regione R, x, genera il solido S e,

ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il

perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi

di S e di T RISOLUZIONE

Punto 1

Una funzione sinusoidale di periodo T può essere scritta come



   

 

2 3 

  

 

sin x ; nel caso in esame la funzione è

g x sin x

 

  2

T  

 

  2 4



 

g x sin x T

equivalente a il cui periodo è .

 

 

4 3

 

3

Alternativamente possiamo sfruttare la definizione di funzione

   

 

g x g x T

periodica: una funzione è periodica di periodo T se e

1

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   

 

3 3

 

 

 

nel caso in esame se ; ricordando che una

sin x sin x T

 

   

2 2

  , l’equazione

funzione seno è periodica di con

2 k k Z

   

 

3 3

 

 

  equivale a imporre

sin x sin x T

 

   

2 2

 

3 3 4

  

   

da cui si ricava ; il periodo minimo lo

x T x 2 k T k

2 2 3

4





si ricava ponendo ed è pari a .

T

k 1 3

   3

Studiamo la funzione .

f x 27x

   3

Il grafico della funzione possiamo ricavarlo da quello

f x 27x

   3

della funzione ribaltando verso le ordinate positive la parte

h x 27x

di sotto dell’asse delle ascisse. Pertanto studiamo la

di grafico al

   3

funzione h x 27x

Dominio: R;      

3

h x 27 x 0 x 0

Intersezione ascisse:  

  

x 0 h 0 0

Intersezioni ordinate: ;

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

     

      

3 3 ;

h x 27 x 27 x h x

   

3

h x 27x

Positività: la cubica è positiva se ;

x 0

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;

   

Asintoti orizzontali: per cui non ve ne sono;

lim h x

 

x  

h x  

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto ;

lim

  x

x    2

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui

h

' x 81

x

all’interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla



x 0

solo in .   

h

' ' x 162 x

Concavità e convessità: per cui la funzione ha concavità

   

  

verso l’alto in 0

, ,

0

e verso il basso in ; poichè

2

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 

     

    F 0

,

0

quindi è un flesso a

h

' 0 0

, h

' ' 0 0

, h

' ' ' 0 162 0 

tangente orizzontale di equazione .

y 0

    

h ' ' x 0 x 0

    

h ' ' x 0 x 0

     x

h ' ' x 0 x 0 - 0

flesso

Il grafico è di seguito

G h

presentato: G

Il grafico , ricavato da

f

quello di , è di seguito

G h

presentato: 3

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 

  3 

  

g x sin x

Studiamo la a funzione  

2

Dominio: R;

Intersezione ascisse:

 

  3 3 2

  

      

 

g x sin x 0 x k x k , k Z

 

2 2 3

 

  

Intersezioni ordinate: ;

x 0 g 0 0

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

   

   

3 3

 

      

    ;

g x sin x sin x g x

   

2 2

Positività: la funzione è positiva se

3 4 2 4

   

       

2 k x 2 k k x k , k Z ;

2 3 3 3

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;

 

  3 3

 

  

g ' x cos x

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per

 

2 2

cui la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui

 

3  

  e strettamente decrescente negli intervalli in cui

cos x 0

 

2

 

3  

  .

cos x 0

 

2 4

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Poiché 

 

3 3 3 3

        

          

 

cos x 0 2 k x 2 k 2 k x 2 2 k

 

2 2 2 2 2

4 1 4 4 4 4

         

k x k 1 k x k , k Z

3 3 3 3 3 3

e  

 

3 3 3 1 4 4

   

           

 

cos x 0 2 k x 2 k k x 1 k , k Z

 

2 2 2 2 3 3 3

deduciamo che la funzione è strettamente crescente negli intervalli

   

4 1 4 4 4 4

    

    con e strettamente

k Z

k , k 1 k , k

   

3 3 3 3 3 3

 

1 4 4 

 

 

decrescente in con ; in conclusione la funzione

k Z

k ,

1 k

 

3 3 3  

1 4



 

presenta massimi relativi in e minimi relativi in

M k ,

1

k  

3 3

 

4

  

  con .

m 1 k , 1 k Z

k  

3

Concavità e convessità: la

derivata seconda è

2

   

  3 3

 

 

   

g ' ' x sin x e

   

2 2

2

 

x k , k Z

si annulla in 3

 

2

 

per cui i punti sono

k ,

0

 

3

flessi. 5

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Punto 2

    1

  

 

3 3

Per . La tangente in alla

x 0

, x

f x 27 x 27 x 3

 

   

  1 1 1

   

 

   

3

funzione ha equazione dove

f x 27x y f ' x f

 

   

3 3 3

 

   

1 1

  

    per cui l’equazione della tangente è

2

f 1

, f ' 81

x 9

1



x

   

3 3 3

 

1

    

  .

y 9 x 1 9 x 2

 

3  

  3

1 



  

g x sin x

La tangente in alla funzione ha equazione

x  

2

3

 

   

1 1 1

  

 

   

y g ' x g dove

 

   

3 3 3



 

     

1 1 3 3 

  

      per cui l’equazione della

 

g 1

, g ' cos x 0

     

 

3 3 2 2 1



x 3 1



 D’altronde l’ascissa

tangente è . è ascissa di massimo per

x

y 1 3

1



cui la tangente in è orizzontale e pari al valore massimo che può

x 3

assumere una funzione sinusoidale, cioè 1. , l’angolo acuto formato

Date due rette di coefficienti angolari tra

m

, m

' 

  m m

'

 

le due può essere ricavato dalla formula da cui,

tan 

1 mm

'



  m m

'



   

sapendo che , ricaviamo per cui

m 9

, m

' 0 tan 9



1 mm

'

 

    

arctan 9 1

, 46 rad 83 40

' 6

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Punto 3  

    3 

   

3

Le due funzioni si intersecano

f x 27 x e g x sin x

 

2  

1 1

  . Nell’intervallo

solamente nei punti di ascisse la

x 0

, x 0

,

 

 

3 3

 

  3 

  

funzione sta al di sopra di

g x sin x

 

2

   

  

3 3 3

e in questo intervallo . La regione R

f x 27x f x 27 x 27 x

di cui calcolare l’area è di seguito raffigurata in grigio:

richiesta vale

L’area 1 1  

 

3 3

 

      3

  

    

  3

 

S R g x f x dx sin x 27 x dx

 

 

2

0 0 1 

  

   

4

2 3 27 x 1 2 8

3



      

   

 

cos x

  

   

 

3 2 4 12 3 12

0 7

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Punto 4

Il volume S del solido generato dalla rotazione della regione R attorno

all’asse delle x può essere ottenuto come differenza tra il volume del

V

1

solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla

 

  1

3  

   e dall’asse attorno all’asse

curva , dalla retta x

x

g x sin x

  3

2

x, e il volume del solido generato dalla rotazione della parte di piano

V 2   1



 dall’asse

3

delimitata dalla curva , dalla retta e x

x

f x 27x 3

attorno all’asse x . Pertanto si ha:

1 1

2

   

 

3 3

  3

 

   2

   

  3

 

V S V V sin x dx 27 x dx

1 2  

 

2

0 0

Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a

l’integrale definito soprastante:

risolvere 1 1 1  

2 

  

 

   

3 3 3

  3 1 cos 3 x

  

   

2

    

  3 6

 

V S sin x dx 27 x dx 729 x dx

 

   

 

2 2

0 0 0

1

 



   

x sin 3 x 729 1 1 5

3

  

     

 

7

x

 



   

2 6 7 6 21 42

0

Il volume T del solido generato dalla rotazione della regione R attorno

all’asse delle V

y può essere ottenuto come differenza tra il volume del

3

solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla

y

3

 

   e dall’asse attorno all’asse

1

f y y 1

curva , dalla retta y y, e

3

V

il volume del solido generato dalla rotazione della parte di piano

4  

  2 arcsin y

  

1

g y

delimitata dalla curva , dalla retta e

y 1



3

dall’asse attorno all’asse

y y . Pertanto si ha:

8

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 

2

  2

 

1 1

y

3

  2 arcsin y

 

 

 

   

V T V V dy dy

 

  

3 4 3 3

 

0 0

Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a

definito soprastante iniziando

risolvere l’integrale a calcolare

2

 

1 y

3

 



 ; esso è pari a

dy

 

3

 

0  

2

2 1

   

   

5

1 1

y

3 3

y 3

 

 

 

    

 

  3

dy dy y ;

 

3 9 9 5 15

   

 

0 0   0

applicando l’integrazione per parti si ha

  2

 

1 1

2 arcsin y 4  

 

  

2

  dy arcsin y dy

 

 

3 9

0 0 1

4  

   

    

2 2

2 1 y arcsin y 2 y y arcsin y

 



9 0

 

 

  

2 2

4 8

   

 

 

2

 

 

9 4 9

 

In conclusione  

2 2

      

1 1 2

2 arcsin y

y

3 8

   

 

      

   

V T V V dy dy

   

3 4  

3 3 15 9

 

0 0



 2

40 2

 

45  

V T

Alternativamente, il calcolo del volume può essere effettuato

attraverso l’applicazione del metodo dei gusci cilindrici. Il solido

generato dalla rotazione attorno all’asse y di una regione piana può

essere visto come somma di tanti “gusci cilindrici”, cioè cilindri cavi di

 

  f x

raggio interno x, raggio esterno ed altezza . Consideriamo

x x

 di un “guscio” come volume infinitesimo

il volume finito ,

V dV

9

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

quindi trattiamo come infinitesimo dx ; esso può essere espresso

x

nella forma:  

         

  

          

2 2

2

dV x dx x f x 2 x dx f x dx f x

 

2

Poiché è un infinitesimo di ordine superiore a , allora il

dx

dx  

    

   

 

2

termine è trascurabile rispetto a , pertanto

2 x dx f x

dx f x

 

     

 

       

2 2

dV x dx x f x 2 x dx f x

Il volume del solido dovuto alla rotazione intorno all’asse delle

ordinate, pensato come somma di tanti volumetti relativi

dV

b b

   

 



 