2009 - liceo scientifico - sessione suppletiva

Sessione suppletiva di ordinamento 2008 – 2009. Soluzione a cura di Nicola De Rosa

Esame di Stato di liceo scientifico

Indirizzo M: ordinamento + liceo della comunicazione

Corso di ordinamento

Sessione suppletiva 2009

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

I due segmenti adiacenti OA, AB sono uguali ed hanno una lunghezza data a. Nel medesimo semipiano rispetto alla retta OB si descrivano due semicirconferenze di diametri rispettivi OA ed OB, e per il punto O si conduca la semiretta tangente comune, sulla quale si prenda il segmento OC = a. Con origine O, si conduca una semiretta, che forma con OB un angolo α e interseca in P e Q le semicirconferenze.

1. Si calcoli il rapporto: 2 2 2

+ +

CP PQ QC

( )

1 2

2 a

( )

α

=

e lo si esprima in funzione di , controllando che risulta:

x tan − +

2

x 3 x 4

( ) =

f x +

2

x 1

2. Prescindendo dalla questione geometrica, si studi la funzione f(x) e se ne tracci il grafico γ.

3. Si dica per quale valore di α si hanno rispettivamente il massimo e il minimo del rapporto (1).

4. Si determini l’area della superficie piana, finita, delimitata dall’asse delle ordinate, dalla curva γ e dal suo asintoto.

Problema 2

Sia data la funzione: ( )

− >

⎧ x 2 ln x per x 0

( ) =

f x ⎨ =

0

, per x 0

⎩

1. Questa funzione è continua nel punto di ascissa 0? È derivabile in tale punto?

2. Si studi la funzione f(x) e se ne tracci il grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy). ( )

>

3. Si calcoli l’espressione, in funzione di , dell’integrale

t t 0

2

e

( ) ( )

∫

= −

I t x 2 ln x dx

t

4. Si faccia vedere che I(t) tende verso un limite finito quando t tende a 0. Cosa rappresenta questo limite nel grafico precedente?

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Questionario

1. Una piramide, avente area di base B e altezza h, viene secata con un piano parallelo alla base. Si calcoli a quale distanza dal vertice si deve condurre tale piano, affinché il prisma che ha per basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione ortogonale sul piano di base della piramide abbia volume massimo. + −

2

ln x x 1

2. Si calcoli il limite della funzione quando x tende a 1.

( )

− + −

2 2

x x sin x 1

3. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x della porzione di piano

x = =

= x 1

, x 3.

, dall’asse x e dalle rette

limitata dalla curva y + 2

1 x

4. Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi come diametri ed esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato semicerchio sono determinati due menischi, detti lunule d’Ippocrate. Si dimostri che la loro somma ha la stessa area del triangolo.

5. Si determini il luogo γ dei punti di intersezione delle due rette di equazioni:

λx – y – (λ + 2) = 0,

(1 – λ) x + y + 2 = 0,

descritto al variare di λ, parametro reale qualunque. Si disegni la curva γ.

π 2 radianti e un angolo β di 539 gradi. Si verifichi che sono entrambi

6. Sono dati un angolo α di

maggiori di un angolo giro e minori di due angoli giro. Si dica quale dei due è il maggiore. Si dica inoltre se è più grande il seno di α o il seno di β.

7. Il comandante di una nave decide di raggiungere il porto B partendo dal punto A e seguendo un percorso rettilineo. A causa di un errore, però, la nave inizia la sua navigazione lungo una rotta leggermente diversa da quella prevista. Dopo 5 ore ci si accorge dello sbaglio e il comandante ordina di virare di un angolo di 23° in modo da dirigere ora esattamente verso il porto B, che viene raggiunto dopo 3 ore. Se l’imbarcazione ha mantenuto sempre una velocità costante, quanto tempo si è perso a causa dell’errore?

= − +

2 (con a > 0), si determini per quale valore di a l’area della parte

8. Data la parabola x ay 3 y

finita di piano compresa tra il suo grafico e l’asse y è uguale a 72.

9. Si dimostri che un numero di quattro cifre tutte uguali è divisibile per 101.

10. Si enunci il teorema di Rolle e si mostri, con opportuni esempi, che se una qualsiasi delle tre condizioni previste non è soddisfatta, il teorema non è valido.

____________ _

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.

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Problema 1

I due segmenti adiacenti OA, AB sono uguali ed hanno una lunghezza data a. Nel medesimo semipiano rispetto alla retta OB si descrivano due semicirconferenze di diametri rispettivi OA ed OB, e per il punto O si conduca la semiretta tangente comune, sulla quale si prenda il segmento OC = a. Con origine O, si conduca una semiretta, che forma con OB un angolo α e interseca in P e Q le semicirconferenze.

Punto 1

Si calcoli il rapporto: 2 2 2

+ +

CP PQ QC

( )

1 2

2 a

( )

α

=

e lo si esprima in funzione di , controllando che risulta:

x tan − +

2

x x

3 4

( ) =

f x +

2

x 1

Si consideri la figura seguente:

α α

= ° < < °

Posto con , applicando il teorema dei triangoli rettangoli ai triangoli OPA e

P Ô

A 0 90

( ) ( ) ( )

α α α

= = = − =

OP a cos, OQ 2 a cos, PQ OQ OP a cos. Applicando il teorema di

OQB si ha

Carnot ai triangoli OCP e OCQ si ha:

( )

2 2 2 α

= + − · · · ° − =

CP OC OP 2 OC OP cos 90 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α α α α α

= + − · · · = + −

2 2 2 2 2

a a cos 2 a a cos sin a 1 cos sin 2

( )

2 2 2 α

= + − · · · ° − =

QC OC OQ 2 OC OQ cos 90 [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α α α α α

= + − · · · = + −

2 2 2 2 2

a 4 a cos 2 a 2 a cos sin a 1 4 cos 2 sin 2

Allora si ha: [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 α α α α α

+ + + − + + + −

2 2 2 2 2 2

a a a

CP PQ QC 1 cos sin 2 cos 1 4 cos 2 sin 2

= =

2 2

a a

2 2

[ ]

( ) ( )

α α

− +

2

6 cos 3 sin 2 2

= 2 ( )

α

1 2 tan

( ) ( )

α α

= =

2

cos, sin 2 per cui

Ricordiamo che ( )

( )

α α

+ +

2 2

1 tan 1 tan

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( )

α

⎡ ⎤

6 6 tan

− + 2

[ ] ⎢ ⎥

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 α α

+ +

α α 2 2

+ + − +

2 1 tan 1 tan

CP PQ QC 6 cos 3 sin 2 2 ⎣ ⎦ =

= =

2 2 2

2 a

( ) ( ) ( ) ( )

α α α α

− + − +

2 2

2 tan 6 tan 8 tan 3 tan 4

= =

( ) ( )

( ) ( )

α α

+ +

2 2

2 1 tan 1 tan

2 2 2

+ + − +

2

CP PQ QC 3 4

x x

( )

( )

α = =

= si ha f x.

Per x tan +

2 2

2 x 1

a

Punto 2

Prescindendo dalla questione geometrica, si studi la funzione f(x) e se ne tracci il grafico γ.

− +

2 3 4

x x

( ) =

Studiamo la funzione f x +

2

x 1

Dominio: R − +

2 3 4

x x

( ) =