2001. Liceo scientifico di ordinamento, sessione suppletiva

Sessione suppletiva 2000 – 2001 Liceo di ordinamento. Soluzione di Nicola De Rosa

Esame di Stato di liceo scientifico

a.s. 2000/2001

Tema di matematica

Sessione suppletiva corso di ordinamento

Problema 1

Si consideri la funzione reale f di variabile reale x tale che:

m

2

x

= ,

f m − +

x 2 m m

dove m è un parametro reale non nullo.

a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.

la curva rappresentativa della funzione f (x) corrispondente ad m=1, studiarla e

b) Indicata con C 1 1

disegnarla in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in

particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel punto A di ascissa 2.

c) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva C e dalla retta parallela

1

all’asse delle ascisse condotta per il punto A.

Problema 2

Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è 24 a ,

AB 3

=

dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che e che il piano della faccia VAB della

5

BC 12

ϕ

ϕ =

tale che .

piramide forma col piano della base ABC un angolo sin 13

a) Calcolare l’altezza della piramide.

24

b) Controllato che essa è , calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB.

a

5 α

c) Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano che sechi la piramide e considerato il

α

prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di dalla

base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo.

d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?

Questionario

1

Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), si prendano in esame le due seguenti

proposizioni:

A: condizione necessaria e sufficiente affinché f(x) sia definita in un punto a è che sia continua in a.

B: condizione necessaria e sufficiente affinché f(x) sia continua in un punto a è che sia derivabile in

a. 1

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Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un’esauriente giustificazione

della risposta:

a) A vera – B vera; b) A vera – B falsa; c) A falsa – B vera; d) A falsa – B falsa.

2

Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i quadrati

ABCD e A’B’C’D’. Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpendicolare

a DE condotta per C. I piani D’DE e C’CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale

frazione del cubo equivale ciascuna di esse.

3

Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti:

 

n n

∑   = 1048576 .

 

k

 

= 0

k

4

Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo

x ( )

∫ −

f t dt x

0

reale, tale che: f(0) = 1 ed f’(0) = 2. Calcolare: .

lim −

→ cos 2 x 1

x 0 x

5

Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione a , dove a è un numero reale positivo

x ln a .

diverso da 1, è a

6

Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima.

7

Una primitiva della funzione f(x) è x + 2 x . Se è possibile calcolare , determinare il

2

0

valore dell’integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile.

8

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sia T un trapezoide di base

[a,b] relativo alla funzione f(x), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il

volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all’asse x.

9

Calcolare la derivata della funzione sen 2x rispetto alla variabile x, ricorrendo alla definizione di

derivata di una funzione

10

Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), derivabile almeno due volte in un dato

punto a, affinché la funzione f(x) abbia in a un punto di flesso la condizione f "(a) = 0 è:

a) necessaria e sufficiente;

b) necessaria ma non sufficiente;

c) sufficiente ma non necessaria.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta. 2

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Problema 1

Punto 1

• Dominio di definizione 2

x − + ≠

= x : x 2 m m 0

Il dominio della funzione è dato da . Si presentano 2

f m − +

x 2 m m

possibilità:

− + ≠

> x : x 2 m m 0

1. : la condizione è sempre soddisfatta;

m 0 { }

− ≠ ± ⇒ ≠

− + ≠

< x 2 m m x m

,

3

m

x : x 2 m m 0

2. : la condizione è soddisfatta per .

m 0 >



2 R se m 0

x

= 

Il dominio di definizione di è dunque D : .

f { }

− <

m f

− + R m

,

3

m se m 0



x 2 m m

Dominio di continuità

Per quanto riguarda la continuità possiamo affermare che la funzione è continua in

>

 R se m 0 = =



D : e nei punti presenta due discontinuità di seconda specie.

x m

, x 3

m

{ }

− <

c R m

,

3

m se m 0



Dominio di derivabilità

2

x

=

La funzione è riscrivibile nel modo seguente:

f m − +

x 2 m m

 2

x ≥ ∧ ≠

x m x m

se 2





2 −

x x m

= =  ; di conseguenza la derivata prima è

f m − + 2

x m m

2 x

 < ∧ ≠

x m x m

se 2 3

 −

 m x

3

 −

2

x xm

2 ≥ ∧ ≠

se x 2 m x m

 ( )

− 2

 x m

=

’  ; nei punti in cui la funzione non è continua non è

f m − 2

 6 mx x < ∧ ≠

se x 2 m x 3

m

 ( )

− 2

 3

m x = . Si ha:

nemmeno derivabile, ed inoltre va analizzata la natura del punto x m

2

 

−

2

x 2 xm

= =

’  

lim f lim 0

( )

m − 2

+ +

→ →  

x m

x 2 m x 2 m  

− 2

6 mx x

= =

’  

lim f lim 8

m

( )

m − 2

− −

→ →  

3

m x

x 2 m x 2 m ≠ =

Ricordando che per ipotesi, il punto è un punto angoloso e quindi di non

m x m

0 2 3