2009 - liceo scientifico pni e sperimentazioni varie prova suppletiva

Sessione suppletiva PNI 2008 – 2009. Soluzione a cura di Nicola De Rosa.

Esame di Stato di liceo scientifico

Indirizzo Y: P.N.I. + scientifico autonomia + scientifico e scientifico-tecnologico Brocca + Proteo.

Corso sperimentale. Sessione suppletiva 2009.

Tema di matematica.

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

Si consideri la funzione:

⎧ + <

2

ln 1 se 0

x x

⎪

⎪

( ) = =

0 se 0

⎨

f x x

⎪ ( ) >

arctan sin se 0

⎪ x x

⎩

1. Si provi che essa è continua, ma non derivabile, nel punto x = 0.

2. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy). Per quel che riguarda le ascisse positive, ci si limiterà all’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.

3. Si calcoli l’area della superficie piana, situata nel II quadrante, delimitata dalla curva γ, dall’asse x e dalla retta di equazione x = -1.

4. Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si calcoli un valore approssimato dell’area della superficie piana, delimitata dall’asse delle x e dall’arco di γ i cui estremi hanno ascisse 0 e π.

Problema 2

Si consideri la funzione: ( ) a b

= + +

2

f x ( )

+ 2

+

1 1

x x

1. Si determinino le costanti a e b in modo che risulti:

2

3 ⎞

⎛

10 5

( )

∫ = − ⎟

⎜

6 ln

f x dx 3 3 ⎠

⎝

0

2. Si studi la funzione così ottenuta e se ne tracci il grafico γ.

3. Si conduca la tangente a γ nel punto di ascissa x = 0 e si calcoli l’area del triangolo che essa determina con i due asintoti.

4. La retta y = k incontri γ in due punti di ascissa e . Si esprimano, in funzione di k, la somma e il prodotto di tali ascisse.

x x

1 2

e il prodotto di tali ascisse. Si dimostri che la quantità

1 1

= +

S + +

1 1

x x

1 2

è indipendente dal valore di k e se ne calcoli il valore.

Questionario

1. Nel gioco del lotto, qual è la probabilità dell’estrazione di un numero assegnato? Quante estrazioni occorre effettuare perché si possa aspettare, con una probabilità p = 1/2 assegnata, di vederlo uscire almeno una volta?

2. Sul diametro MN di un cerchio, si considerino due punti P e Q, e su MP, MQ, NP, NQ come diametri si descrivano quattro semicerchi, i primi due posti in una stessa parte rispetto alla retta MN, gli altri due posti nell’altra parte. Si dimostri che il perimetro del quadrilatero curvilineo (pelecoide) così ottenuto, ha la stessa lunghezza della circonferenza data.

3. Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:

⎛ ⎞

x

⎜ ⎟

sin 2

⎝ ⎠

2 t

( ) e

∫

= dt

f x + 1

t

2

2

nel punto P di ascissa x = π/2. , il cubo in essa inscritto e il cono circolare retto inscritto nel cubo.

4. Siano dati una sfera di raggio r

Si scelga a caso un punto all’interno della sfera: si determini la probabilità che tale punto risulti interno al cono.

5. Nell’omotetia di centro O(0,0) e rapporto k = -4, si determini l’equazione della circonferenza

+ − + =

2 2 . Si confrontino fra di loro i centri e i raggi delle due

x y x y

circonferenze.

6. Dati due punti A e B distanti tra loro 5 cm, si dica qual è il luogo dei punti C dello spazio tali che il triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area uguale a 1

2

cm

7. Si discuta il seguente sistema lineare omogeneo in relazione al parametro reale λ e si determinino in ogni caso le eventuali soluzioni:

+ + =

⎧ 2 3 0

x y z

⎪

( )

λ λ

− + + =

1 4 0

⎨ x y z

⎪

( )

λ λ

+ + + =

5 2 1 0

⎩ x y z

8.

Le lunghezze dei lati di un triangolo sono numeri interi consecutivi e l’angolo di maggior ampiezza è il doppio di quello di ampiezza minore. Si calcolino la lunghezza del lato minore e il coseno dell’angolo minore.

9.

Si consideri un cerchio di centro O e raggio r e sia A un punto della circonferenza. Sia inoltre OB un raggio mobile che forma l’angolo 2x con OA. Facendo ruotare la figura attorno ad OA, il segmento AB genera la superficie laterale di un cono. Come deve essere scelta in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezza x dell’angolo perché quest’area sia massima?

10.

Un turista, che osserva un lago scozzese dalla cima di un fiordo alto 100 metri, vede spuntare la testa di un mostro acquatico in un punto per il quale misura un angolo di depressione di 18,45°. Il mostro, che nuota in linea retta allontanandosi dall’osservatore, si immerge, per riemergere cinque minuti più tardi in un punto per cui l’angolo di depressione vale 14,05°. Con che velocità, in metri all’ora, sta nuotando il mostro?

________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili. Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.

Problema 1

Si consideri la funzione:

⎧ + <

2

ln 1 se 0

x x

⎪

⎪

( ) = =

0 se 0

⎨

f x x

⎪ ( ) >

arctan sin se 0

⎪ x x

⎩

Punto 1

Si provi che essa è continua, ma non derivabile, nel punto x = 0.

⎧ + <

2

ln 1 se 0

x x

⎪

⎪

( ) = = =

Proviamo che la funzione calcolando i limiti

è continua in

0 se 0 0

⎨

f x x x

⎪ ( ) >

arctan sin se 0

⎪ x x

⎩ ( ) ( )

±

→ + = = = =

2

per 0 . Si ha per cui la funzione è

lim ln 1 ln 1 0

, lim arctan sin arctan 0 0

x x x

− +

→ →

0 0

x x ⎧ x <

se 0

x

⎪

⎪ +

2 1

( ) x

=

= '

continua in . La derivata prima è per cui

0 ⎨

f x

x cos x

⎪ >

se 0

x

⎪ +

⎩ 2

1 sin x

cos

x x

= = =

da cui deduciamo la non derivabilità della funzione in . In

lim 0

, lim 1 0

x

+ +

2 2

1 1 sin

− +

→ →

x x

0 0

x x =

conclusione la funzione presenta un punto angoloso in .

0

x

Punto 2

Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy). Per quel che riguarda le ascisse positive, ci si limiterà all’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.

( ) = + <

2

Studiamo prima il ramo ln 1 definito per .

0

g x x x

< 0

Dominio: x ( ) = + = ⇒ + = ⇒ =

2 2

ln 1 0 1 1 0 ;

la funzione g x x x x

Intersezione asse delle ascisse: = → =

0 0

Intersezione asse delle ordinate: x y

( ) = + <

2

la funzione ln 1 è positiva in tutto il dominio ;

0

Positività: g x x x

non esistono;

Asintoti verticali: ( ) = +∞ per cui non esistono asintoti orizzontali;

lim

Asintoti orizzontale: g x

→ −∞

x non esistono in quanto

Asintoti obliqui: ( )

( ) + + ∞

2 2

ln 1 1 ln 1

g x x x x

= = = ⎯

⎯ ⎯ ⎯

⎯

→ =

De L'Hospital;

lim lim lim f.i lim 0

∞ +

2

2 1

→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞

x x x x

x x x x

( ) x

=

' per cui la funzione è strettamente decrescente in tutto il

Crescenza e decrescenza: g x +

2 1

x

< ;

dominio 0

x ( )

− 2

1

( ) ( ) ( )

x

= − − ∞

' ' 1

, 0 ,− 1

per cui in la funzione volge la concavità verso l’alto e in

g x

Flessi: ( )

2

+

2 1

x ⎛ ⎞

ln 2

= −

⎜ ⎟

1

, è un flesso a tangente obliqua.

verso il basso per cui F 2

⎝ ⎠

Studio del ramo positivo

[ ]

( ) ( ) π

= >

Studiamo il ramo definito per in .

arctan sin 0

, 2

0

h x x x

> 0

Dominio: x ( ) ( ) π π

= ⇒ = ⇒ = = = ;

arctan sin 0 0

, , 2

h x x x x x x

Intersezione asse delle ascisse: = → =

0 0

x y

Intersezione asse delle ordinate:

( ) ( ) ( )

π

= > ⇒ > ⇒ ∈ ;

arctan sin 0 sin 0 0

,

Positività: h x x x x

non esistono;

Asintoti verticali: non esistono asintoti orizzontali in quanto la funzione seno è una funzione limitata; non esistono in quanto la funzione seno è una funzione limitata;

Asintoti orizzontale:

Asintoti obliqui: cos

( ) x

=

' per cui la funzione è strettamente crescente in

h x

Crescenza e decrescenza: + 2

1 sin x π π

π π

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎞

⎛

3 3

π

∪ ⎜⎝ ⎟⎠

0

, , 2 e strettamente decrescente in ;

,

⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦

2 2 2 2

( )

− − 2

sin 3 sin

( ) ( )

x x π π

= per cui in la funzione volge la concavità verso l’alto e in

, 2

' '

h x

Flessi: ( )