2008 - Liceo scientifico sperimentale, prova suppletiva

Corso sperimentale- Sessione suppletiva - a.s. 2007-2008

Soluzione di De Rosa Nicola

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ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE

Tema di: MATEMATICA

a. s. 2007-2008

PROBLEMA 1

Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso inscritto.

1. Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si

_____ _____

+

2 2

PA PB ˆ

=

x tan P

A

B

consideri il rapporto: e lo si esprima in funzione di

_____

2

AB

2. Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti posti dal

problema geometrico.

3. Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva l’equazione della

tangente a γ in C.

4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ, la suddetta tangente e la retta di

equazione x = k, essendo k l’ascissa del punto di massimo relativo.

PROBLEMA 2

Si consideri la funzione: ( ) ( )

= + +

2

y a sin x b sin x c

1. Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico γ passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia in B

+ − =

3 3 x 2 y 5 0 .

tangente parallela alla retta

2. Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.

3. Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la

curva stessa.

4. Tra tutte le primitive della funzione data, si determini quella il cui grafico passa per P(0,6) e si

scriva l’equazione della retta ad esso tangente in detto punto. 1

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QUESTIONARIO

Si determinino le costanti a e b in modo tale che la funzione:

1) + ≤

⎧ ax b x 0

⎪

( ) =

f x ⎨ −

x

e 1 >

x 0

⎪

⎩ x

risulti continua e derivabile nel punto x=0.

Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra l’equatore

2)

e il tropico del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?

Si determini il numero reale positivo λ in modo che la curva rappresentativa della funzione

3)

( ) λ

−

= x

g x e divida in parti equiestese la regione delimitata dalla curva rappresentativa della

( ) λ

= x

funzione f x e , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1.

Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte

4)

testa. ( )

− − =

x

Si dimostri che l’equazione 3 x e 3 0 per x>0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un

5)

valore approssimato con due cifre decimali esatte.

Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio

6)

proporzionale fra il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera.

)

(

= − 2

Si calcoli il valore medio della funzione y arccos 1 x nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1

7) In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(0,1), B(0,4). Si

8)

determini sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con un

angolo di massima ampiezza. ln x t

e

∫

Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: nel punto P di ascissa

9) dt

2

t

1

x = e.

10) Tenuto conto che:

1

π 2 1

∫

= dx

6 − 2

x

1

0

si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati. 2

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PROBLEMA 1

Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso

inscritto.

Punto 1

Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si

_____ _____

+

2 2

PA PB ˆ

=

x tan P A B

consideri il rapporto: e lo si esprima in funzione di

_____

2

AB 2 r , cui corrisponde il lato di

Il quadrato inscritto nella circonferenza ha la diagonale pari al diametro ( )

2 r ˆ

= ⋅

= =

AB r 2

2 AB 2 r sin A

P

B

r

lunghezza . Quindi . Inoltre per il teorema della corda per

2

( ) 2 ˆ

ˆ ˆ

= = ° A

P

B

sin A

P

B (supponendo che sia acuto, assunzione che

A P B 45

cui corrisponde

cui 2 ˆ α

=

non lede la generalità della discussione che porteremo avanti); per differenza, posto P A B ,

ˆ α

= ° − come rappresentato nella figura sottostante:

A B P 135

Sempre per il teorema della corda si ha: [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

α α α α α α

= = ° − = ° − ° = +

PB 2 r sin , PA 2 r sin 135 2 r sin 135 cos cos 135 sin r 2 cos sin

. In tal modo

=

2 2

AB r

2 ( )

α

=

2 2 2

PB r

4 sin

[ ]

( )

α

= +

2 2

PA r

2 1 sin 2

per cui _____ _____

+

2 2

PA PB

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )

) ( ) ( )

α α α α α α α

= = + + = + + − = + −

2

f 1 sin 2 2 sin 1 sin 2 1 cos 2 2 sin 2 cos 2

_____

2

AB ( )

( )

α α

− 2

2 tan 1 tan

( ) ( )

α α

= =

sin 2 , cos 2

Sfruttando le identità goniometriche per cui , la funzione

( )

( )

α α

+ +

2 2

1 tan 1 tan 3

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⎞

⎛ + +

− 2 2

2 1 3 2 1

x x x x

( ) ⎟

⎜ =

= + −

2

f x

diventa .

⎟

⎜ +

+ +

2 2 2

1 1 1

x x x

⎠

⎝

Punto 2

Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti

posti dal problema geometrico. + +

2

x x

3 2 1

( ) =

Studiamo la funzione f x + 2

1 x

Dominio: R + + − ±

2

3 2 1 1 2

x x i

( ) = = ⇒ + + = ⇒ =

2

0 3 2 1 0

f x x x x per cui non

Intersezioni asse ascisse: + 2 3

1 x

ci sono intersezioni con l’asse delle ascisse

( )

= ⇒ =

Intersezioni asse ordinate: 0 0 1

x f

Eventuali simmetrie: la funzione non è né pari né dispari

+ +

2

3 2 1

x x

( ) = > ∀ ∈

0

Positività: f x x R

+ 2

1 x

Asintoti verticali: non ce ne sono ⎞

⎛ + +

2

x x

3 2 1 ⎟

⎜ =

=

Asintoti orizzontali: per cui la retta y 3 è asintoto orizzontale

lim 3

⎟

⎜ + 2

x

1

→ ±∞ ⎠

⎝

t ( ) ( ) ( )

( )

( )

+ + − + + − − −

2 2 2

6 x 2 1 x 2 x 3 x 2 x 1 2 x 2 x 1

( ) = =

Crescenza e decrescenza: per cui la

f ' x ( ) ( )

2 2

+ +

2 2

1 x 1 x

( )

− +

1 2 ,

1 2 , strettamente decrescente in

funzione è strettamente crescente in

( ) ( )

− ∞ − ∨ + +∞ = −

,

1 2 1 2 , e si annulla in in cui presenta un minimo relativo

x 1 2

( ) ( )

− − + +

= +

m 1 2 , 2 2 M 1 2 , 2 2

in cui presenta un massimo relativo

ed in .

x 1 2 ( )

( )

+ − +

2

4 x 1 x 4 x 1

( ) = per cui la funzione presenta tre flessi alle

Concavità e convessità: f ' ' t ( )

3

+ 2

1 x

= − = − = +

ascisse .

x 1

, x 2 3 , x 2 3

1 2 3

Il grafico è di seguito presentato: 4

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Punto 3

Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva

l’equazione della tangente a γ in C. + +

2

3 2 1

x x ( )

=

Il punto C è dato dal la risoluzione dell’equazione 3 .

da cui si ricava C 1

,

3

+ 2

1 x ( )

⎡ ⎤

− − −

2

2 2 1

x x

( )

( )

=