2009 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero: Europa

Sessione ordinaria all’estero (Europa) 2008-2009

Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Esami di Stato di liceo scientifico

Scuole italiane all’estero: Europa

Corso di ordinamento

Indirizzo: Scientifico

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

Problema 1

x² + y² = 25.

Nel piano cartesiano Oxy è data la circonferenza C di equazione x² + y² = 25.

y = 3.

a) Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ordinata y = 3.

b) Si tracci una corda perpendicolare al diametro AB con A(0,-5) e B(0,5). Si trovino le coordinate dei punti M ed N di C in modo che l’area del triangolo AMN sia massima.

Con l’aiuto di una calcolatrice, si calcoli la lunghezza dell’arco tra i punti P(5,0) e Q(4,3) di C.

c) Il settore circolare POQ è la base di un solido W che, tagliato con piani perpendicolari all’asse x, dà tutte sezioni quadrate. Si calcoli il volume di W.

Problema 2

Nel piano riferito a un sistema Oxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: y² = 2ax e x² = 2ay, con a > 0.

a) Si disegnino le due parabole e si denoti con A il loro punto di intersezione diverso dall’origine O.

b) Sia B la proiezione ortogonale di A sull’asse x. Si dica se il segmento OB risolve il problema della duplicazione del cubo di spigolo a. Posto a = 2 e non disponendo di una calcolatrice come si può procedere per avere l’approssimazione di a^1/3 meno di 10^-2?

c) Sia D la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determini l’area di D.

d) Si calcoli il volume del solido generato da D in una rotazione completa attorno all’asse y.

Questionario

1) Un tetraedro regolare e un cubo hanno superfici equivalenti. Calcolare il rapporto dei rispettivi spigoli.

2) Si dimostri che l’equazione: 11x² + 11x + 5 = 0 ha una sola radice compresa fra −1 e 0.

3) Si determini il campo di esistenza della funzione:

f: x → ln(2x² − 4x + 6).

4) Qual è il periodo della funzione y = cos 3x + 1? Si dia ragione della risposta.

α = · k

5) Si sa che una grandezza fisica y dipende da un’altra x secondo una legge y = k · x^α dove k e α sono costanti incognite. Una misura simultanea di x e y, eseguita in due diverse situazioni, ha dato i risultati riportati nella tabella seguente:

α

k

Si calcolino α e k.

6) Si calcoli:

lim_{x → 0} (1 − cos x) / x².

7) Dati due punti A e B distanti tra loro 4 dm, si dica qual è il luogo dei punti C dello spazio tali che il triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area uguale a 2 cm²?

8) Si determini il cilindro di massimo volume inscrivibile in una sfera di 60 cm di raggio. Qual è la capacità di tale cilindro, espressa in litri?

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Problema 1

x² + y² = 25

Nel piano cartesiano Oxy è data la circonferenza C di equazione x² + y² = 25.

Punto a =

y = 3.

Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ordinata y = 3.

I punti di intersezione tra la circonferenza di equazione x² + y² = 25 e la retta y = 3 si ricavano dal sistema:

x² + y² = 25

y = 3

da cui:

Q(4, 3),

R(−4, 3).

Nel primo e secondo quadrante, cioè nel semipiano y > 0, la semicirconferenza è in forma esplicita rappresentata dalla curva y = √(25 − x²), la cui derivata è y′ = −x / √(25 − x²).

Calcoliamo le tangenti:

1. La tangente in Q(4, 3) ha equazione y = m x + 3 − 4m con m = −4 / 3 da cui:

t_Q: y = −4 / 3 x + 25 / 3.

2. La tangente in R(−4, 3) ha equazione y = m x + 3 + 4m con m = 4 / 3 da cui:

t_R: y = 4 / 3 x + 25 / 3.

Analogamente si può procedere nella maniera classica in cui si mette a sistema l’equazione della circonferenza e la generica retta tangente e poi si impone che il delta dell’equazione risultante sia nullo.

Per la tangente in Q(4, 3) si ha:

x² + y² = 25

y = mx − 4m + 3

da cui x² + (mx − 4m + 3)² = 25, ovvero:

(1 + m²)x² + (−8m² + 6m)x + 16m² − 24m − 16 = 0.

Imponendo Δ = 0 si ha:

(−8m² + 6m)² − 4(1 + m²)(16m² − 24m − 16) = 0

da cui m = −4 / 3.

t_Q: y = −4 / 3 x + 25 / 3.

R

Per la tangente in R(−4, 3) si ha: