2008 - Liceo scientifico, scuole italiane in America Latina

Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca

Scuole italiane all’estero

Esami di Stato di liceo scientifico

Sessione ordinaria 2008

Calendario australe

Seconda prova scritta

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario.

Problema 1

Σ + = ≥

2 2

L’ellisse ha equazione x 4 y 4 e, con b 0, è un suo punto.

Σ

1. Si determini l’equazione della tangente a in P e se ne indichi con Q l’intersezione con l’asse y.

2. Si determini l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto medio M del

Ω

segmento PQ al variare di P. ( )

− 2

2 x

=

y

3. Si studi e si rappresenti avendo trovato che la sua equazione è:

Ω − 2

2 1 x

Problema 2

Il trapezio ABCD è isoscele e circoscritto ad un cerchio di raggio 1. Si ponga la base minore

=

CD 2 x 2

=

1. Si provi che è: AB x

2. Si dimostri che il volume del solido, ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno

2

=

x

alla base maggiore, assume il valore minimo per 2

3. In corrispondenza di tale valore di x, si calcoli l’area del quadrilatero avente per vertici i quattro punti in cui il trapezio è tangente al cerchio. 1

Questionario

1. Le misure dei lati di un triangolo sono 10, 24 e 26 cm. Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali.

2. Si calcoli e si interpreti geometricamente l’integrale definito:

+ 1 1

∫ dx

+ 2

1 x

−

1

3. La capacità di una damigiana di vino è pari a quella del massimo cono circolare retto inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Si dica quanti litri di vino la damigiana può contenere.

=

4. Si dia un esempio, almeno, di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y 3 in 3 punti distinti.

5. Quanti sono i numeri di quattro cifre (distinte tra loro) che è possibile scrivere utilizzando le cifre dispari? ( ) = + +

2

6. Si determinino le costanti a, b, c in modo che le curve di equazioni f x x ax b e

( ) = +

3

g x x c siano tangenti nel punto A(1, 0). Si determini l’equazione della tangente comune.

7. Il cono W e il cilindro T, circolari retti, hanno uguale raggio r di base e uguale altezza h. Si calcoli il limite del rapporto delle rispettive superfici totali al tendere di r a zero.

π

  ( ) ( )

= +

= +

  e y 3 sin x cos x definiscono la stessa

8. Si provi che le espressioni y 2 sin x

 

6

funzione f. Di f si precisi: dominio, codominio e periodo.

_________________________

Durata della prova: 6 ore.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile. 2

Problema 1

Σ + =

2 2

L’ellisse ha equazione x 4 y 4 e, con, è un suo punto.

Punto 1

Si determini l’equazione della tangente a in P e se ne indichi con Q l’intersezione con l’asse y.

 

( ) 1

= ≥ = − 2

 

P a, b b 0 P a, 4 a

, essendo

Il punto. L’equazione dell’ellisse in

, ha coordinate  

2

1

= ± − 2

y x

4

forma implicita è e la parte di essa che ci interessa è quella con determinazione

2  

−

1 1 x

 

= − = ⋅

2

y 4 x y '  ; il coefficiente angolare della retta

positiva la cui derivata è −

2 2 2

 

4 x

 

−

 

1 1 a

 

= − = ⋅

2

 

P a, 4 a m  

è. La retta tangente ha equazione

tangente all’ellisse in   −

2 2 2

 

4 a

     

− −

( )

1 a 1 1 ax 2

     

= ⋅ − + − = ⋅ +

2

y x a 4 a

     . Il punto Q di intersezione della

− − −

2 2 2

2 2 2

     

4 a 4 a 4 a

 

2

 

=

Q 0

,

 

tangente con l’asse delle ordinate è.

− 2

 

4 a 3

Punto 2

Si determini l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto medio M del

Ω

segmento PQ al variare di P. + +  

  − 2

x x y y a 8 a

 

= =

 

P Q P Q

Il punto M, medio tra P e Q, ha coordinate.

M, ,

   

−

2 2 2

  2

 

4 4 a