2011 - Liceo scientifico estero (scuole italiane all'estero Europa), sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all’estero Europa sessione ordinaria 2011, matematicamente.it

PROBLEMA1

Nel sistema di riferimento cartesiano Oxy si consideri il quadrato

OABC, dove A= (1; 0) e C=(0; 1).

1. Sia P un punto appartenente al lato AB. Si considerino le parabole,

con asse parallelo all’asse y, passanti per O e per P e tangenti al lato

BC. Quali sono i possibili vertici di tali parabole, al variare di P su AB?



2. Tra quelle sopra indicate, si dimostri che la parabola , tale che il

1

segmento parabolico limitato dalla corda OP abbia area pari alla metà

  

2

del quadrato OABC, ha equazione: y 3 x 2 3 x

 

Si determini l’equazione della parabola

3. simmetrica di rispetto

2 1

all’asse y e si calcoli l’area della regione piana delimitata dalle due

parabole e dalla comune retta tangente nei loro vertici.

 



4. Sia r una retta di equazione y = k, e siano Q e R i punti (più

k 0

,

1  

vicini all’asse y) in cui r taglia, rispettivamente, le parabole e . Si

1 2

per cui risulti massima l’area del triangolo QCR.

determini il valore di k RISOLUZIONE

Punto 1  



B 1

,

1

Il punto B ha coordinate e il punto P appartenente alla retta

   

 P 1, t , 0 t 1

AB di equazione ha coordinate .

x 1

Una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate ha equazione

 



  

2 O 0

,

0

y ax bx c . Imponendo il passaggio per otteniamo

 

   

P 1

, t

; imponendo il passaggio per otteniamo e

c 0 a b c t

     

ricordando che la condizione diventa .

c 0 a b t b t a

Quindi l’equazione della famiglia di parabole diventa

 

  

2

y ax t a x .

La tangenza al lato BC impone tre condizioni sulla famiglia di parabole

 

  

2

y ax t a x

di equazione : 1

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 

devono avere concavità verso il basso e cioè , altrimenti se

a 0

avessero concavità verso l’alto, il passaggio per O e P

escluderebbe la tangenza al lato BC e viceversa;

  

l’ascissa del vertice deve essere compresa tra 0 ed 1, ,

0 x 1

V

altrimenti le parabole potrebbero essere tangenti alla retta di

 esternamente al lato BC, cioè l’ascissa del

equazione y 1  

vertice non apparterrebbe all’intervallo ;

0

,

1

 l’ordinata del vertice sarà pari a 1 in quanto solo nel vertice la

famiglia di parabole può essere tangente al lato BC di equazione

 .

y 1 

L’intersezione di con la famiglia di parabole di equazione

y 1

     

          

2 2 2

fornisce

y ax t a x ax t a x 1 ax t a x 1 0

per cui imponendo la condizione di tangenza si ha:

     

            

2 2 2

t a 4

a 0 a 2

a t 2 t 0 a t 2 2 1 t .

1,2

Le ascisse dei possibili vertici della famiglia di parabole sono quindi:

  

    

    

1 t 1 t 2 2 1 t

a t 1 t 1 1 1 t 1

    

1   

x 

V     

     

2 a t

t 2 2 1 t 1 1 t

t 2 2 1 t t 2 2 1 t

1   

     

     

1 t 1 t 2 2 1 t

a t 1 t 1 1 1 t 1

    

2   

x 

V     

     

2 a t

t 2 2 1 t 1 1 t

t 2 2 1 t t 2 2 1 t

2     , l’ascissa del

0 x 1

e poiché per ipotesi deve aversi con 0 t 1

V

 

1 1 t 1

 

x

vertice accettabile è in quanto

V  

t 1 1 t  

  1

   

     ; l’ordinata

0 1 t 0

,

1

per cui

1 1 t 1 t 0

,

1  

1 1 t

del vertice come già osservato è pari a 1 e possiamo ricavarlo anche

attraverso il calcolo diretto: infatti 2

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2

   

     

1 1 1

      

     

y t 2 2 1 t 2 2 1 t

     

     

1 1 t 1 1 t 1 1 t

   

1 1

        

   

t 2 2 1 t 2 1 1 t

    

2 t 2 1 t 1 1 t

   

1 1

            

   

2 t 2 1 t 2 1 1 t 1 2 1

    

2 t 2 1 t 1 1 t

 

Quindi al variare di , i possibili vertici sono

0 t 1

 

  1

  

V t ,

1 e la famiglia di parabole ha equazione

 

 

 

1 1 t    

      

2

1. y t 2 2 1 t x 2 2 1 t x

Punto 2  . L’area del segmento parabolico

La retta OP ha equazione y tx

limitato dalla corda OP e dalla parabola di equazione

   

      

2 è pari a:

y t 2 2 1 t x 2 2 1 t x

   

1  

       

2

t 2 2 1 t x 2 2 1 t x tx dx

 

0    

1  



        

2

t 2 2 1 t x t 2 2 1 t x dx

 

0 1

 

   

1 3 2

  x x



          

2  

t 2 2 1 t x x dx t 2 2 1 t  

3 2

0 0

 

  

   

1 2 t 2 1 t

       

 

t 2 2 1 t  

6 6

 

L’area del quadrato di lato unitario è pari a 1, per cui imponendo che

l’area del segmento parabolico sia la metà di quella del quadrato si ha:

3

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 

  

2 t 2 1 t 1

            .

2 t 2 1 t 3 2 1 t 1 t

 

6 2

   

Tale equazione ha senso di esistere in quanto per ipotesi , per

0 t 1

cui elevando ambo i membri al quadrato si ha:

   

          

2 2 e la soluzione

4 1 t 1 t t 6

t 3 0 t 3 2 3

     

accettabile che rispetta la condizione è . Con

0 t 1 t 3 2 3



tale valore di t, calcoliamo i coefficienti della parabola dati dalle

seguenti espressioni:  

 

                

t 2 2 1 t 3 2 3 2 2 4 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3

   

t 3 2 3  

 

        

2 2 1 t 2 2 4 2 3 2 2 3 1 2 3

   

t 3 2 3    <