2009 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero: Americhe

Sessione ordinaria all’estero (Americhe) 2008-2009. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Esami di Stato di liceo scientifico

Scuole italiane all’estero Americhe

Corso di ordinamento

Indirizzo: Scientifico

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

Problema 1

r = 3.

Nel piano cartesiano Oxy è data la circonferenza C con centro O e raggio r = 3.

a) Si tracci una corda CD perpendicolare al diametro AB con A(-3,0) e B(3,0). Si trovino le coordinate dei punti C ed D di C in modo che l’area del triangolo ACD sia massima.

b) Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ascissa x = 1.

c) Si calcoli con l’aiuto di una calcolatrice, l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo POQ, con P(0,3) e Q(2,5).

d) Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione del settore circolare attorno all’asse x.

Problema 2

1. Si trovi l’espressione generale di un polinomio P(x) di 4° grado tale che P(-2) = P(2) = 0 e P(x) ≥ 0 per ogni x.

Sia P(x) = x⁴ - 2x².

2. In un sistema di riferimento cartesiano Oxy si rappresenti l’andamento di P(x), determinandone in particolare i valori massimi e minimi e flessi.

3. Si determini l’area della regione piana finita R compresa tra il grafico di P(x) e l’asse x.

4. Si inscriva in R un rettangolo, con uno dei lati sull’asse x. Come va scelto tale rettangolo affinché esso abbia area massima? Come va scelto tale rettangolo affinché, ruotandolo di un mezzo giro attorno all’asse y, si ottenga un cilindro di volume massimo?

Questionario

1) Si dimostri che l’equazione: x¹⁹ + x¹¹ + 19 = 0 ha una sola radice compresa fra -1 e 0.

2) Si determini il periodo della funzione y = cos 7x.

3) Si scrivano le equazioni di almeno due funzioni razionali fratte che hanno un asintoto obliquo.

4) Si trovi il valore del parametro k in modo che la curva d’equazione y = kx³ - x⁴ abbia nel punto d’ascissa x = 1 la tangente orizzontale.

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5) Si dia una definizione di poliedro regolare. Si dimostri che i poliedri regolari sono, a meno di similitudini, solo 5 e si dica quali sono.

6) Quanti sono i numeri di quattro cifre (distinte tra loro) che è possibile scrivere utilizzando le cifre pari, diverse da zero?

7) Si calcoli: lim_{x → 0} (1 - cos 3x) / x².

8) Si risolva in R la seguente equazione: e^2x + e^x = 2.

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema. 2

Sessione ordinaria all’estero (Americhe) 2008-2009. Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

Problema 1

r = 3.

Nel piano cartesiano Oxy è data la circonferenza C con centro O e raggio r = 3.

Punto a. Si tracci una corda CD perpendicolare al diametro AB con A(-3,0) e B(3,0). Si trovino le coordinate dei punti C ed D di C in modo che l’area del triangolo ACD sia massima.

L’equazione della circonferenza C è x² + y² = 9. Per trovare il triangolo ACD di area massima, innanzitutto facciamo la seguente considerazione. Il triangolo ACD è isoscele su base CD per simmetria ed inoltre ha il vertice sull’asse negativo delle ascisse. Il triangolo di area massima dovrà avere la base CD nel primo e quarto quadrante in quanto se la base fosse nel secondo e terzo quadrante il triangolo non avrebbe area massima in quanto esisterebbe il triangolo rettangolo isoscele di base il diametro ed altezza pari al raggio con area maggiore di quella del triangolo ACD.

Quindi i punti C ed D si troveranno rispettivamente nel primo e quarto quadrante ed avranno coordinate C(x, √(9 - x²)), D(x, -√(9 - x²)) con 0 < x < 3. La figura seguente mostra la geometria del problema.

Il triangolo ACD per simmetria è isoscele su base CD ed altezza 3 + x. L’area è

S(x) = (CD · altezza) / 2 = √(9 - x²) · (3 + x) = √((3 + x)(3 - x)) · (3 + x) = √((3 + x)³(3 - x)).

Il fattore 3 + x è stato portato sotto radice in quanto 0 < x < 3.

La massimizzazione di S equivale alla massimizzazione di g(x) = (3 + x)³(3 - x), la cui derivata prima è

g′(x) = 3(3 + x)²(3 - x) - (3 + x)³ = (3 + x)²[3(3 - x) - (3 + x)] = (3 + x)²(6 - 4x).

g′(x) > 0 ⇔ 0 < x < 3/2.

e g′(x) = (3 + x)²(6 - 4x) > 0 ⇔ 0 < x < 3/2; da queste considerazioni deduciamo che la funzione area è strettamente crescente in (0, 3/2), e strettamente decrescente in (3/2, 3), quindi l’area massima si ha per x = 3/2 e vale S = 27√3/4, cui corrispondono C(3/2, 3√3/2), D(3/2, -3√3/2).

In questo caso notiamo che CD = DA = AC = 3√3, cioè il triangolo di area massima è un triangolo equilatero.

Punto b

x = 1

Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ascissa x = 1.

I punti di intersezione tra la circonferenza di equazione x² + y² = 9 e la retta x = 1 si ricavano dal sistema

x² + y² = 9

x = 1

da cui si ha x = 1 e y = ±2√2.

Q(1, 2√2), R(1, -2√2).

Nel primo e secondo quadrante, cioè nel semipiano y > 0, la semicirconferenza è in forma esplicita rappresentata dalla curva y = √(9 - x²), mentre nel terzo e quarto, cioè nel semipiano y < 0, la semicirconferenza è in forma esplicita rappresentata dalla curva y = -√(9 - x²), le cui derivate sono

y′ = -x / √(9 - x²) per y > 0 e y′ = x / √(9 - x²) per y < 0.