2007 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero (Europa)

Sessione ordinaria 2007 LS_ORD Europa Soluzione di De Rosa Nicola

( )

− 2

( ) ( ) a b

2

− + − = ⇒

2 2

a b

1 2 5

( ) ( ) ( )

− + + − + − − = ⇒

2

2 2

a a b b a b

5 2 1 5 4 4 2 0

( ) ( ) ( )

− + + − + − + − = ⇒

2 2 2 2

a a b b a b ab

5 2 1 5 4 4 4 4 0

( )

+ + − + + = ⇒

2 2

a b ab a b

4 4 10 ( 2 ) 25 0

[ ]

+ − = ⇔ + − = ⇔

2

a b a b

( 2 ) 5 0 ( 2 ) 5 0

− +

a 5

=

b 2

Quindi il luogo geometrico, posto =

⎧ a x

⎨ =

⎩

b y

sarà: −

5 x

Λ =

: y 2 −

5 x

Λ =

= : y altrimenti il punto

Ovviamente il punto A (

1

, 2 ) non dovrà appartenere al luogo 2

di tangenza corrisponderebbe col centro e si avrebbe una circonferenza degenere con raggio

nullo.

Il grafico sottostante rappresenta quattro situazioni corrispondenti a 4 centri differenti della

circonferenza; in ognuno dei grafici è rappresentata la parabola, la circonferenza, la retta

−

5 x

− =

= Λ = .

t x y ed il luogo

tangente in A (

1

, 2 ) di equazione : 2 0 : y 2 4

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Punto 3 1 1

= =

g x

Studiamo la funzione ( ) + 2

f x

( ) 1 x

Dominio:R;

Intersezione asse delle ascisse: non ce ne sono;

= → =

x 0 y 1

Intersezioni asse delle ordinate: ; 1 1

− = = =

g x

( ) g ( x )

Eventuali simmetrie: è una funzione pari, infatti ;

( ) +

+ − 2 2

1 x

x

1

1

= > ⇒ ∀ ∈

( )

Positività: g x 0 x R ;

+ 2

1 x

Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il dominio è tutto R;

1 =

=

Asintoti orizzontali: per cui la retta y 0 è asintoto orizzontale;

lim 0

+ 2

→ ±∞ 1 x

x 1

=

Asintoti obliqui: essendo g x una funzione razionale fratta, la presenza degli

( ) + 2

1 x

asintoti orizzontali esclude la presenza di asintoti obliqui (e viceversa); ( )

2 x

= − > ⇒ ∈ − ∞

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g ' ( x ) 0 x ,

0 per

( )

2

+ 2

1 x

( ) ( )

− ∞ +∞

cui la funzione è strettamente crescente in e strettamente decrescente in ;

, 0 0

, 5

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( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + 2 1 3 1 3

x

2 1 3 1 ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

= = ⇒ = ± , , ,

per cui

la derivata seconda è g x

' ' ( ) x

0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

( )

3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ 4 4

2 3 3

3

x

1 = − <

g ' ' ( 0

) 2 0 ( 0

,

1

)

sono due flessi a tangente obliqua; inoltre per cui è un massimo

relativo ed assoluto. Il grafico è sotto presentato:

Punto 4 t [ ]

1

∫

= = =

t

F (

t ) dx arctan( x ) arctan(

t )

+ 0

2

1 x

0

π

= +∞ =

Quindi lim ( ) arctan( )

F t che geometricamente rappresenta l’area sottesa dalla curva

→ +∞ 2

t 1 1

= =

g x nel primo quadrante.

( ) + 2

f x

( ) x

1 6

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PROBLEMA2

Punto 1

Il grafico della funzione ⎧ − 2

x

3 ≤

⎪ x 1

⎪ 2

= ⎨

f x

( ) ⎪ 1 ≥

x 1

⎪

⎩ x ] ]

− ∞

è l’unione di due grafici; il primo nell’intervallo è il grafico di una parabola con concavità

,

1 ( )

⎛ ⎞

3 −

= ⎜ ⎟

verso il basso, vertice in 3 ,

0 , mentre il

V 0

, e che interseca l’asse delle ascisse in

⎝ ⎠

2 =

secondo è il ramo nel primo quadrante di iperbole equilatera di equazione 1 . Il grafico della

xy

funzione richiesta è rappresentato nella figura seguente:

Nella figura soprastante sono stati rappresentati entrambi i grafici delle due funzioni componenti la

f (x ) ; in particolare la parte tratteggiata sottilmente rappresenta la parte di grafico di

funzione [ [

+∞

iperbole equilatera da non considerare in quanto non facente parte dell’intervallo , mentre la

1

,

parte di grafico tratteggiata meno sottilmente rappresenta la parte di grafico della parabola da non

] ]

− ∞

considerare in quanto non facente parte dell’intervallo . Il grafico in rosso è quello che

,

1

rappresenta la funzione richiesta.

Punto 2

Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è

continua in un intervallo [ ; ] e derivabile in ( ; ), esiste almeno un punto interno all'intervallo in

a b a b 7

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cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico

corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b]. Questa è l’interpretazione geometrica del teorema di

Lagrange.

In modo più formale:

→

• f : [ a , b ] R

Sia

• continua in [a, b]

• derivabile in (a, b) −

( ) ( ) ( ) ( )

f b f a

∃ ∈ =

'

allora in queste ipotesi .

, :

c a b f c −

b a

Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange ed averlo interpretato geometricamente, mostriamo

come esso sia applicabile alla funzione ⎧ − 2

3 x ≤

⎪ 1

x

⎪ 2

= ⎨

( )

f x ⎪ 1 ≥ 1

x

⎪

⎩ x

=

La funzione è continua in ; infatti

x 1 1

= =

f x

lim ( ) lim 1

+ +

→ → x

x x

1 1 − 2

x

3

= =

f x

lim ( ) lim 1

− +

→ → 2

x x

1 1

Inoltre la derivata della funzione è − ≤

⎧ x x 1

⎪

= ⎨

f x

' ( ) 1

− ≥

x 1

⎪⎩ 2

x

per cui ⎛ ⎞

1 = −

= −

⎜ ⎟

lim f ' ( x ) lim 1

⎝ ⎠

2

+ +

→ → x

1 1

x x ( )

= − = −

lim f ( x ) lim x 1

− +

→ →

1 1

x x

= . Quindi la funzione f (x ) è continua e derivabile

da cui si ricava la derivabilità in x 1

nell’intervallo chiuso e limitato [0,2]; ergo ad essa è applicabile il teorema di Lagrange.

Per ricavare i valori medi forniti dal teorema suddetto, suddividiamo l’intervallo [0,2] in due

= ∪ e separatamente

sottointervalli la cui unione fornisce l’intervallo [0,2], cioè [ 0

, 2

] [ 0

,

1

] [

1

, 2 ]

ricaviamo i valori medi nei due sottointervalli. 8

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• Consideriamo l’intervallo [0,1]: applicando il teorema di Lagrange si ha:

1 1

− = − = − ⇒ =

c f (

1

) f ( 0

) c

2 2

1

=

che risulta accettabile in quanto è incluso in [0,1].

c 2 ⎛ ⎞

3

⎜ ⎟

0

, , (

1

,

1

) ha

Ora la retta passante per i punti estremi dell’intervallo [0,1] e cioè per i punti ⎝ ⎠

2

⎛ ⎞

1 11

x 3

= − + ⎜ ⎟

equazione , mentre la retta tangente alla parabola nel punto , ha equazione

y ⎝ ⎠

2 8

2 2

⎛ ⎞

1 1 11 x 13

= − − + ⇒ = − +

⎜ ⎟

y x y ; da ciò si nota che le due rette, quella passante per i punti

⎝ ⎠

2 2 8 2 8

⎛ ⎞

3

⎜ ⎟

0

, , (

1

,

1

) , e quella tangente alla parabola nel punto medio ricavato col teorema di Lagrange

⎝ ⎠

2

sono parallele;

• Consideriamo l’intervallo [1,2]: applicando il teorema di Lagrange si ha:

1 1 1

− = − = − = − ⇒ = ⇒ = ±

2

( 2

) (

1

) 1

f f c 2 c 2

2 2 2

c =

di cui l’unico accettabile è in quanto incluso in [1,2].

c 2 ⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

Ora la retta passante per i punti estremi dell’intervallo [1,2] e cioè per i punti (

1

,

1

), 2

, ha

⎝ ⎠

2

⎛ ⎞

x 3 2

⎜ ⎟

= − +

y , mentre la retta tangente alla parabola nel punto

equazione 2 , ha equazione

⎜ ⎟

2 2 2

⎝ ⎠

( ) x

1 2

= − − + ⇒ = − +

y x y

2 2 ; da ciò si nota che le due rette, quella passante per i

2 2 2

⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

(

1

,

1

), 2

, , e quella tangente alla parabola nel punto medio ricavato col teorema di

punti ⎝ ⎠

2

Lagrange sono parallele.

Il grafico sottostante evidenzia l’interpretazione geometrica del teorema di Lagrange: 9

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Punto 3 − 2

x

3

=

g x

La funzione può essere espressa in forma implicita nel modo seguente:

( ) 2

= ± − e la determinazione negativa è quella che a noi interessa in quanto facente parte del

x 3 2 y

secondo quadrante. 3

= − − ≤ ≤

l y y y

La sezione piana del solido è il quadrato di lato e la cui area è

( ) 3 2 con 0 2

( ) ( ) 3

2

= − − = − ≤ ≤

A y y y y , per cui il volume del solido richiesto è:

( ) 3 2 3 2 con 0 2

3 [ ]

3

2 ( ) 9 9 9

∫

= − = − = − =

2 2

V y dx y y

3 2 3 0 2 4 4

0 10

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QUESTIONARIO

Quesito 1 −

⋅ =

x x

1

L’equazione da risolvere è 5 3 10 . Essa può essere riscritta e risolta nel modo seguente:

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( ) ( )

5 10 10 5

−

⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = = + = +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x x x

5 3 3 10 log log log 2 1 log 2 .

5 5 5 5

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 3 3

3 3 3 3

Quesito 2 = x

y

I grafici da disegnare si possono tutti ricondurre al grafico della funzione 2 sotto presentato:

Studiamo i 4 grafici.

+

= = ⋅ = =

x x x

1

f x y y

( ) 2 2 2 2 per cui il grafico lo si ricava dal grafico di 2

1. moltiplicando ogni ordinata per 2 :

= + = + =

x x

g x y y

( ) 2 1 1 per cui il grafico lo si ricava dal grafico di 2 traslandolo

2. rigidamente verso l’alto di una unità, cioè aggiungendo una unità ad ogni ordinata del

= x

y 2 :

grafico di 11

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⎧ ≥

⎪ x

2 0

x −

= = =

x x

⎨

( ) 2

h x . Ora la funzione ( ) 2 non è altro che la funzione pari

k x

3. ⎪⎩ − <

x

2 0

x −

= = =

x x x

2 , per cui il grafico di ( ) 2 lo si ricava da quello di 2

della funzione y k x y

rendendolo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate come sotto presentato:

−

= =

x x

4. ( ) 2 : come detto nel punto 3 tale grafico lo si ricava da quello di 2

k x y

rendendolo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate: 12

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Quesito 3

In generale il numero di cifre di un numero nella rapprersentazione in base è pari a

K N M

[ ]

{ ( ) } ( )

= + ⋅

dove la funzione è la funzione parte intera di un numero. Nel caso di

1 int log int

K N

M [ ]

{ ( ) } [ ] [ ]

{ ( ) } { }

= = = + = + ⋅ = + + =

60 60

si ha .

7 , 10

N M 1 int log 7 1 int 60 log 7 1 int 50

.

7 1 50 51

K 10 10

Quesito 4

Per dimostrare quanto richiesto, ricordiamo la formula del teorema binomiale o del binomio di

Newton. Tale formula si scrive nel seguente modo: ⎞

⎛ n

n

( ) ∑ −

⎟

⎜

+ =

n n k k

a b a b

⎟

⎜ ⎠

⎝ k

= 0

k n

⎛ ⎞

1

+

⎜ ⎟

1 si ha:

Sfruttando tale formula, ed applicandola alla successione ⎝ ⎠

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n

⎛ ⎞ n n n n

1 1 1 1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ = + + + + + =

⎜ ⎟ "

"

1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2 3 n

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

1 2 3

n n n n n

n n n n

! ! ! 1 !

= + + + + =

"

"

1 ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ n

n n n n n n n n n n

1

! ( 1

)! 2

! ( 2 )! 3

! ( 3

)! ! n

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

"

n n n n n n n n n

! 1 ( 1

) 1 ( 1

) ( 2 ) 1 ( 1

) ( 2 ) 2 1

= + + + + + =

"

"

1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n

n n n n n n n

1

! ! 2

! 3

! ! n

− − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅

"

n n n n n

1 1 ( 1

) 1 ( 1

) ( 2 ) 1 ( 1

) ( 2 ) 2 1

= + + + + + =

"

"

1 −

⋅ n 1

n n n n

1

! 2

! 3

! ! n −

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ n

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1

−

= + + − + − − + + − −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

"

" "

1 1 1 1 1 1 1

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

n n n n n n n

1

! 2

! 3

! !

Se ora applichiamo il limite ad ambo i membri si ha:

⎡ ⎤

− n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 1 1 1 2 1 n

1 2 1 1

+ + − + − − + + − − − = +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

"

" "

⎢ ⎥

lim 1 1 1 1 1 1 1 lim 1

⋅ ⋅

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

→ +∞ → +∞

1

! 2

! 3

! !

n n n n n n n n

n n 13

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n

⎞

⎛ 1 =

+ ⎟

⎜

Ora, sapendo per ipotesi che e

lim 1 si ricava:

⎠

⎝

→ +∞ n

n ⎤

⎡ − ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

1 1 1 1 1 2 1 1 2 1

n =

−

−

+ + −

−

+ −

+ + − ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜ "

" " ⎥⎦

⎢

lim 1 1 1 1 1 1 1

⋅

⋅ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎣

→ +∞ 1

! 2

! 3

! !

n n n n n n n

n n

1 1 1 1 1

∑

= + + + + + = =

"

"

1 e

1

! 2

! 3

! ! !

n k

=

k 0

come volevasi dimostrare.

Quesito 5 ( )

{ } + + + =

= 2 2 2

Indichiamo con le due radici dell’equazione x 2 h 1 x m h 0 . Innanzitutto

x , x 2 x

1 2 1

dobbiamo imporre che le due radici siano reali altrimenti non avrebbe senso la relazione d’ordine

richiesta dalla traccia, per cui va imposto che il delta sia strettamente positivo:

( ) ( )

( )

Δ + + +

2

( ) h

h 1 h 1 1

= + − > ⇔ < ⇒ − < <

2 2 2 2 . Per avere una radice doppia

h 1 m h 0 m m

2

4 h h

h

dell’altra va imposto che: = = −

≠ x 0

, x 2

altrimenti avremo due soluzioni non accettabili;

1. h 0 ( )

= = − +

≠ x 0

, x 2 h 1

altrimenti avremo due soluzioni non accettabili;

2. m 0 = ± ⋅

≠ − altrimenti avremo due soluzioni complesse coniugate

3. x m i

h 1 + + =

2

x sx p a somma delle soluzioni