2007 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero (Europa)

Sessione ordinaria 2007 LS_ORD Europa Soluzione di De Rosa Nicola

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PROBLEMA1

Punto 1 Γ = +

2

y x ha concavità verso l’alto, non incontra mai l’asse delle

La parabola di equazione : 1

=

V ( 0

,

1

) .

ascisse ed ha vertice in ( ) = +

= ∈

∈ Γ 2

a n Z

Dobbiamo mostrare che se con , allora b n 1 non è mai divisibile per 3.

a, b { }

− +

2 2 2

Dimostriamolo considerando i tre numeri consecutivi n 1

, n , n 1 . Sicuramente solo uno dei

tre è divisibile per 3, trattandosi di 3 numeri consecutivi. Ora

( )

+

2 2

1. Se n è multiplo di 3 anche n lo sarà ed n 1 non è divisibile per 3;

( )

−

2

2. Se n non è multiplo di 3, n 1 sicuramente sarà divisibile per 3 dal momento che risulta

( ) ( )( )

− = + −

2

scomponibile come n 1 n 1 n 1 ed uno dei tre termini consecutivi tra

( )

{ } +

− + 2

dovrà essere divisibile per 3; ergo anche in tal caso n 1 non è divisibile

n 1

, n , n 1

per 3.

Punto 2 ( ) ( )

= − + − =

2 2 2

r

L’equazione generica della circonferenza di centro C ( a , b ) e raggio è .

x a y b r

( ) ( )

= − + − =

2 2 2

A (

1

, 2 ) 1 a 2 b r . Inoltre la

Il passaggio per comporta una prima condizione

=

A (

1

, 2 )

circonferenza è tangente alla parabola nel punto e questo significa che in questo punto

= − + = =

t : y m ( x 1

) 2 m f ' (

1

) 2

hanno la stessa tangente. L’equazione di tale tangente è con da

− = = − =

t : 2 x y 0 C ( a , b ) t : 2 x y 0

. Ora la distanza del centro dalla retta non è altro che il

cui −

2 a b

=

r , per cui si

raggio della circonferenza; per cui ricordando la distanza punto-retta si ha 5

hanno due condizioni da verificare:

( ) ( ) ( ) ( )

⎧ ⎧

− + − =

2 2 − + − =

2 2 2 2

1 2

a b r a b r

1 2

⎪ ⎪

⇔ ( )

−

⎨ ⎨ − 2

a b

2 a b

2

= =

⎪

⎪ 2

r r

⎩

⎩ 5

5

da cui 3

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( )

− 2

( ) ( ) a b

2

− + − = ⇒

2 2

a b

1 2 5

( ) ( ) ( )

− + + − + − − = ⇒

2

2 2

a a b b a b

5 2 1 5 4 4 2 0

( ) ( ) ( )

− + + − + − + − = ⇒

2 2 2 2

a a b b a b ab

5 2 1 5 4 4 4 4 0

( )

+ + − + + = ⇒

2 2

a b ab a b

4 4 10 ( 2 ) 25 0

[ ]

+ − = ⇔ + − = ⇔

2

a b a b

( 2 ) 5 0 ( 2 ) 5 0

− +

a 5

=

b 2

Quindi il luogo geometrico, posto =

⎧ a x

⎨ =

⎩

b y

sarà: −

5 x

Λ =

: y 2 −

5 x

Λ =

= : y altrimenti il punto

Ovviamente il punto A (

1

, 2 ) non dovrà appartenere al luogo 2

di tangenza corrisponderebbe col centro e si avrebbe una circonferenza degenere con raggio

nullo.

Il grafico sottostante rappresenta quattro situazioni corrispondenti a 4 centri differenti della

circonferenza; in ognuno dei grafici è rappresentata la parabola, la circonferenza, la retta

−

5 x

− =

= Λ = .

t x y ed il luogo

tangente in A (

1

, 2 ) di equazione : 2 0 : y 2 4

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Punto 3 1 1

= =

g x

Studiamo la funzione ( ) + 2

f x

( ) 1 x

Dominio:R;

Intersezione asse delle ascisse: non ce ne sono;

= → =

x 0 y 1

Intersezioni asse delle ordinate: ; 1 1

− = = =

g x

( ) g ( x )

Eventuali simmetrie: è una funzione pari, infatti ;

( ) +

+ − 2 2

1 x

x

1

1

= > ⇒ ∀ ∈

( )

Positività: g x 0 x R ;

+ 2

1 x

Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il dominio è tutto R;

1 =

=

Asintoti orizzontali: per cui la retta y 0 è asintoto orizzontale;

lim 0

+ 2

→ ±∞ 1 x

x 1

=

Asintoti obliqui: essendo g x una funzione razionale fratta, la presenza degli

( ) + 2

1 x

asintoti orizzontali esclude la presenza di asintoti obliqui (e viceversa); ( )

2 x

= − > ⇒ ∈ − ∞

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g ' ( x ) 0 x ,

0 per

( )

2

+ 2

1 x

( ) ( )

− ∞ +∞

cui la funzione è strettamente crescente in e strettamente decrescente in ;

, 0 0

, 5

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( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + 2 1 3 1 3

x

2 1 3 1 ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

= = ⇒ = ± , , ,

per cui

la derivata seconda è g x

' ' ( ) x

0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

( )

3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ 4 4

2 3 3

3

x

1 = − <

g ' ' ( 0

) 2 0 ( 0

,

1

)

sono due flessi a tangente obliqua; inoltre per cui è un massimo

relativo ed assoluto. Il grafico è sotto presentato:

Punto 4 t [ ]

1

∫

= = =

t

F (

t ) dx arctan( x ) arctan(

t )

+ 0

2

1 x

0

π

= +∞ =

Quindi lim ( ) arctan( )

F t che geometricamente rappresenta l’area sottesa dalla curva

→ +∞ 2

t 1 1

= =

g x nel primo quadrante.

( ) + 2

f x

( ) x

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PROBLEMA2

Punto 1

Il grafico della funzione ⎧ − 2

x

3 ≤

⎪ x 1

⎪ 2

= ⎨

f x

( ) ⎪ 1 ≥

x 1

⎪

⎩ x ] ]

− ∞

è l’unione di due grafici; il primo nell’intervallo è il grafico di una parabola con concavità

,

1 ( )

⎛ ⎞

3 −

= ⎜ ⎟

verso il basso, vertice in 3 ,

0 , mentre il

V 0

, e che interseca l’asse delle ascisse in

⎝ ⎠

2 =

secondo è il ramo nel primo quadrante di iperbole equilatera di equazione 1 . Il grafico della

xy

funzione richiesta è rappresentato nella figura seguente:

Nella figura sopras