2009 - liceo scientifico pni

Sessione ordinaria sperimentale 2008 – 2009

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE

PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sia f la funzione definita da ⎞

⎛ 2 n

x x

( ) ⎟

⎜ −

= + + + + x

"

f x x e

1 ⎟

⎜ n

2

! ! ⎠

⎝

∈

dove n è un intero positivo e x R n

x

( )

( ) −

= − x

1. Si verifichi che la derivata di è: f ' x e

f x n

!

2. Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando

n è dispari, f (x) ≤ 1 per ogni x reale.

3.Si studi la funzione g ottenuta da f quando n = 2 e se ne disegni il grafico.

2 ( )

∫

4. Si calcoli e se ne dia l’interpretazione geometrica.

g x dx

0

PROBLEMA 2

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy , si consideri la funzione f : R → R definita

( ) = +

3

da f x x kx , con k parametro reale.

1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k ( k positivo, negativo o nullo).

( ) γ γ

= 3

g x x e il suo grafico. Si dimostri che e la retta d’equazione y = 1− x hanno un

2. Sia

solo punto P in comune. Si determini l’ascissa di P approssimandola a meno di 0,1 con un

metodo iterativo di calcolo.

3. Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da γ e dal grafico della funzione inversa

di g . Si calcoli l’area di D.

4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice

del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima.

Si calcoli il volume di W.

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QUESTIONARIO b

[ ] ∫

< < ∈ − − = +

2 2

1. Sia e . Si provi che

0 a b x b , b x a dx a b

− b

{ } { }

= =

A 1

, 2

,

3

, 4 B a , b , c

2. Sono dati gli insiemi e Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A

in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?

3. Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto

con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire

internamente ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati).

4. “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è

vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

5. Si considerino le seguenti espressioni: 0 0 1 0

; ; ;

0

0

1 0

A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

6. Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione

= , con punto iniziale 0 = 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?

x

sin x 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

n n n k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Si dimostri l’identità con e naturali e

7. = n k n > k.

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +

1

k k 1

k

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8. Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media

uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e

quello delle donne?

9. Nei , Galileo Galilei

“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”

descrive la costruzione di un solido che chiama scodella

considerando una semisfera di raggio e il cilindro ad

r

essa circoscritto. La si ottiene togliendo la semisfera

scodella

dal cilindro.

Si dimostri, utilizzando il principio di , che la

Cavalieri

ha volume pari al cono di vertice V in figura.

scodella

10. “

Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa

ˆ

P

A

B e

parte rispetto ad una retta AB e gli angoli

ˆ hanno somma minore di 180°, allora le semirette

O

B

A

AP e BQ, prolungate adeguatamente al di là dei punti

P e Q, si devono intersecare”. Questa proposizione è

stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di

matematici. Si dica perché e con quali risultati.

___________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

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PROBLEMA 1

Sia la funzione definita da

f ⎛ ⎞

2 n

x x

( ) ⎜ ⎟ −

= + + + + x

"

1

f x x e

⎜ ⎟

2

! !

n

⎝ ⎠

∈

dove è un intero positivo e x R

n

Punto 1 n

x

( )

( ) −

= − x

f x e

'

Si verifichi che la derivata di è

f x n

!

⎛ ⎞

2 n

x x

( ) ⎜ ⎟ −

= + + + + x

La funzione può essere scritta nel modo seguente:

"

1

f x x e

⎜ ⎟

2

! !

n

⎝ ⎠

i

n x

( ) ∑

−

= ⋅

x

f x e la cui derivata, utilizzando la regola di derivazione del prodotto e sfruttando la

i

!

=

i 0

linearità dell’operatore derivata, è

− −

⋅ ⋅

i i i i

1 1

n n n n

i x x i x x

( ) ∑ ∑ ∑ ∑

− − − −

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

x x x x

f x e e e e

' i i i i

! ! ! !

= = = =

i i i i

0 0 1 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− −

⋅ 1 1

i i i i

n n n n

i x x x x

∑ ∑ ∑ ∑ = −

− −

= ⋅ − = − ⎯

⎯

⎯

→

1

k i

x x

e e

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

( )

−

i i i i

! ! 1 ! !

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = = =

1 0 1 0

i i i i

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎞

⎛

− k i k n i n

1

n n n n

x x x x x x

( ) ∑ ∑ ∑ ∑

⎟

⎜

− − −

= − − = − ⋅

= −

x x x

f x e e e

' ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎟

⎜

k i k n i n

! ! ! ! ! !

⎣ ⎦ ⎠

⎝

⎣ ⎦

= = = =

0 0 0 0

k i k i

Punto 2

Si dica se la funzione ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando

f n

è dispari, (x) ≤ 1 per ogni reale.

f x ( ) −

= x

Se n=0 la funzione diventa f x e che è sempre positiva e strettamente decrescente e non

presenta estremi relativi ed assoluti. n

x

( ) −

= − x

La derivata prima della funzione, secondo quanto ricavato al punto 1 è f x e

' e

n

!

n

x

( ) −

− > ∀ ∈

= − ≥ ⇒ ≤ x

x n e 0 x R

f ' x e 0 x 0 in quanto . Ora distinguiamo i casi in cui n è pari o

n

!

dispari: < = ⇒ =

n n

1. n pari: la disequazione x 0 non è mai verificata e x 0 x 0 , quindi la funzione

⎛ ⎞

n

2

x x

( ) ⎜ ⎟ −

= + + + + x è strettamente decrescente in tutto il suo dominio, non

"

1

f x x e

⎜ ⎟

2

! !

n

⎝ ⎠ = .

presenta estremi relativi e presenta un flesso a tangente orizzontale in x 0

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≤ ≤

n

2. n dispari: la disequazione x 0 è verificata per , quindi la funzione

x 0

⎛ ⎞

n

2

x x

( ) ( )

⎜ ⎟ − − ∞

= + + + + x è strettamente crescente in e strettamente

" , 0

1

f x x e

⎜ ⎟

2

! !

n

⎝ ⎠

( )

+∞ =

per cui essa presenta un massimo relativo ed assoluto per e vale

decrescente in 0

, x 0

( ) =

f 0 1 . Poiché il massimo relativo coincide con quello assoluto ed è unitario deduciamo

( ) ≤

che per ogni x reale.

f x 1

Punto 3

Si studi la funzione ottenuta da quando = 2 e se ne disegni il grafico.

g f n

⎛ ⎞

+ +

2

x x

2 2

( ) ⎜ ⎟ −

= x

g x e

⎜ ⎟

2

⎝ ⎠

Dominio: R ( ) −

+ + x

2

Intersezione asse ascisse: non ve ne sono in quanto sia x 2 x 2 che e sono fattori sempre

positivi; = → =

Intersezione asse ordinate: x 0 y 1

Positività: la funzione è sempre positiva in tutto il dominio R

Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è tutto R ⎛ ⎞

+ +

2 ⎛ ⎞

2 2 1

x x

⎜ ⎟ = =

⎜ ⎟

Asintoti orizzontali: applicando De L’Hospital 2 volte si ha lim lim 0

⎜ ⎟

x x

⎝ ⎠

2 e e

→ +∞ → +∞

⎝ ⎠

x x

⎛ ⎞

+ +

2

x 2 x 2 ( )

⎜ ⎟ − =

= +∞ ⋅ + ∞ = +∞

x y 0

mentre per cui è asintoto orizzontale destro;

lim e

⎜ ⎟

2

→ −∞ ⎝ ⎠

x ( )

⎡ ⎤

g x [ ]

( )

= = −

= + m lim , q lim g x mx .

Asintoti obliqui: se esistono hanno equazione con

y mx q ⎢ ⎥⎦

x

⎣

→ ±∞ → ±∞

x x

Nel nostro caso

( ) ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + +

2 2

⎡ ⎤

g x x 2 x 2 x 2 x 2 ( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− −

= = ⋅ = −∞ ⋅ + ∞ = −∞

x x

lim lim e lim lim e mentre

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥

x 2 x 2 x

⎣ ⎦

→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x x x

⎣ ⎦

applicando De L’Hospital 2 volte

( ) ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

+ + +

2

⎡ ⎤ 2 2 2 2 1

g x x x x

⎜ ⎟

= = = =

lim lim lim l